課時(shí)作業(yè)(三十)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列1，－，，－，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N*) C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N*) 解析：觀察數(shù)列{an}各項(xiàng)，可寫成：，－，，－，故選D。 答案：D 2．(20xx·貴陽(yáng)模擬)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2－8n＋15，則3(　　) A．不是數(shù)列{an}中的項(xiàng) B．只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng) C．只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng) D．是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)和第6項(xiàng) 解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6。 答案：D 3．(20xx·重慶模擬)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(　　) A．2n－1 B.n－1 C．n2 D．n 解析：因?yàn)閍n＝n(an＋1－an)，所以＝，所以an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝n。 答案：D 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，則a2＋a18＝(　　) A．36 B．35 C．34 D．33 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34。 答案：C 5．已知數(shù)列{an}，an＝－2n2＋λn，若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，6) B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，3] 解析：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n(n∈N*)的二次函數(shù)，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則－≤1，即λ≤4。 答案：B 6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為(　　) A. B. C．10 D．21 解析：因?yàn)閍n＋1－an＝2n，所以an－an－1＝2(n－1)， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋33＝n2－n＋33(n≥2)， 又a1＝33適合上式，所以an＝n2－n＋33， 所以＝n＋－1。 令f(x)＝x＋－1(x＞0)，則f′(x)＝1－， 令f′(x)＝0得x＝。 所以當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′(x)＜0， 當(dāng)x＞時(shí)，f′(x)＞0， 即f(x)在區(qū)間(0，)上遞減；在區(qū)間(，＋∞)上遞增，又5＜＜6，且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，所以f(5)＞f(6)，所以當(dāng)n＝6時(shí)，有最小值。 答案：B 二、填空題 7．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝__________。 解析：將a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再將a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，所以a1＝a7＝。 答案： 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an－1－an＝(n≥2)，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝__________。 解析：∵an－1－an＝(n≥2)， ∴＝。 ∴－＝－。 ∴－＝－，－＝－，…，－＝－。 ∴－＝1－?！啵?－。 ∴an＝。 答案： 9．如圖，一個(gè)類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n≥2)行的第2個(gè)數(shù)為__________。 1 3　3 5　6　5 7　11　11　7 9　18　22　18　9 … 解析：由題意可知：圖中每行的第二個(gè)數(shù)分別為3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…， ∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，∴an＝n2－2n＋3。 答案：n2－2n＋3 三、解答題 10．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。 解析：因?yàn)閍1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝① 則當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝② ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)。 由題意知a1＝，符合上式，所以an＝(n∈N*)。 11．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4。 (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值。 (2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1＞an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。 解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4。 因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3， 所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3。 因?yàn)閍n＝n2－5n＋4＝2－， 由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)， an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2。 (2)由an＋1＞an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列， 又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4， 可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*， 所以－＜，即得k＞－3。 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，數(shù)列{an}滿足f(2an)＝2n(n∈N*)。 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。 (2)證明：數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列。 解析：(1)由f(2an)＝2n(n∈N*)，得log22an－＝2n，即an－＝2n，即a－2nan－1＝0，故an＝n±。由0<x<1，知0<2an<1，即an<0，故an＝n－。 (2)方法一：由an＝n－＝， an＋1＝－>－＝an?？芍猘n＋1>an(n∈N*)，故此數(shù)列為遞增數(shù)列。 方法二：由＝ ＝<1，且an<0，得an＋1>an。