課時作業(yè)(五十)　橢　圓 一、選擇題 1．若橢圓C：＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且|PF1|＝4，則∠F1PF2＝(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 解析：由題意得a＝3，c＝，則|PF2|＝2。 在△F2PF1中，由余弦定理得 cos∠F2PF1＝＝－。 又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝。 答案：C 2．橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，如果線段PF2的中點在y軸上，那么|PF2|是|PF1|的(　　) A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 解析：設(shè)線段PF2的中點為D， 則|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x軸， ∴PF1⊥x軸。 ∴|PF1|＝＝＝。 又∵|PF1|＋|PF2|＝4， ∴|PF2|＝4－＝。 ∴|PF2|是|PF1|的7倍。 答案：A 3．在同一平面直角坐標系中，方程ax2＋by2＝ab與方程ax＋by＋ab＝0表示的曲線可能是(　　) A B C D 解析：直線方程變形為y＝－x－a，在選項B和C中，解得 所以ax2＋by2＝ab表示的曲線是焦點在x軸上的雙曲線， 故B和C都是錯誤的； 在選項A中，解得 所以ax2＋by2＝ab表示的曲線是橢圓； 在選項D中， 解得所以ax2＋by2＝ab不可能表示雙曲線，故選項D錯誤。 答案：A 4．已知實數(shù)4，m,9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為(　　) A. B. C.或 D.或 解析：因為已知實數(shù)4，m,9構(gòu)成一個等比數(shù)列，所以可得m2＝36，解得m＝6或m＝－6。 當圓錐曲線為橢圓時，即＋y2＝1的方程為＋y2＝1。 所以a2＝6，b2＝1，則c2＝a2－b2＝5。 所以離心率e＝＝＝。 當是雙曲線時可求得離心率為。 答案：C 5．已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝b2，若在橢圓C1上存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：從橢圓上長軸端點向圓引兩條切線P′A，P′B，則兩切線形成的角∠AP′B最小。 若橢圓C1上存在點P′。令切線互相垂直，則只需∠AP′B≤90，即α＝∠AP′O≤45， ∴sinα＝≤sin45＝。 又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2， ∴e2≥，即e≥。 又∵0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈。 答案：C 6．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點。若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析： ∵＋＝1(a＞b＞0)的離心率為， ∴＝，∴a∶b∶c＝3∶∶。 又∵過F2的直線l交橢圓于A，B兩點，△AF1B的周長為4，∴4a＝4，∴a＝。故c＝1， ∴b＝，∴橢圓方程為＋＝1，選A。 答案：A 二、填空題 7．設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A、B兩點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于__________。 解析：由題意知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝，因為過F2且與x軸垂直的直線為x＝c，由橢圓的對稱性可設(shè)它與橢圓的交點為A，B。因為AB平行于y軸，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D為線段F1B的中點，所以點D的坐標為，又AD⊥F1B，所以kADKF1B＝－1，即＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)。 答案： 8．已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的任意一點，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，則此橢圓的離心率為__________。 解析：cosα＝?sinα＝， 所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝， ∴sinβ＝或－(舍去)。 設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 由正弦定理，得＝＝?＝?e＝＝。 答案： 9．已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合。若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝__________。 解析：取MN的中點G，G在橢圓C上，因為點M關(guān)于C的焦點F1，F(xiàn)2的對稱點分別為A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12。 答案：12 三、解答題 10．已知橢圓C：x2＋2y2＝4。 (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)O為原點。若點A在直線y＝2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值。 解析：(1)由題意，橢圓C的標準方程為＋＝1。 所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2。 因此a＝2，c＝。故橢圓C的離心率e＝＝。 (2)設(shè)點A，B的坐標分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0。 因為OA⊥OB，所以＝0，即tx0＋2y0＝0， 解得t＝－。 又x＋2y＝4，所以 |AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2 ＝2＋(y0－2)2 ＝x＋y＋＋4 ＝x＋＋＋4 ＝＋＋4(0＜x≤4)。 因為＋≥4(0＜x≤4)，且當x＝4時等號成立，所以|AB|2≥8。 故線段AB長度的最小值為2。 11．(20xx陜西卷) 如圖，橢圓E：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點A(0，－1)，且離心率為。 (1)求橢圓E的方程； (2)經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q(均異于點A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2。 解析：(1)由題設(shè)知＝，b＝1，結(jié)合a2＝b2＋c2，解得a＝。 所以橢圓的方程為＋y2＝1。 (2)由題設(shè)知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)， 代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0。 由已知Δ＞0。 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 則x1＋x2＝，x1x2＝。 從而直線AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋ ＝＋ ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k－2(k－1) ＝2。 12．(20xx重慶卷) 如圖，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1。 (1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求橢圓的標準方程； (2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，試確定橢圓離心率e的取值范圍。 解析：(1)由橢圓的定義，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2。 設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2，得 2c＝|F1F2|＝＝＝2， 即c＝，從而b＝＝1。 故所求橢圓的標準方程為＋y2＝1。 (2)如圖，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝＝|PF1|。 由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2a， |QF1|＋|QF2|＝2a，則|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a。 于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a， 解得|PF1|＝， 故|PF2|＝2a－|PF1|＝。 由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2， 從而2＋2＝4c2， 兩邊同除以4a2，得 ＋＝e2。 若記t＝1＋λ＋，則上式變成 e2＝＝82＋。 由≤λ＜，并注意到t＝1＋λ＋關(guān)于λ的單調(diào)性，得3≤t＜4，即＜≤。 進而＜e2≤，即＜e≤。