課時作業(yè)(五十四)　最值、范圍、證明問題 1．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線x2＝－4y的焦點是它的一個焦點，又點A(1，)在該橢圓上。 (1)求橢圓E的方程。 (2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點B，C，當(dāng)△ABC的面積最大時，求直線l的方程。 解析：(1)由已知得拋物線的焦點為(0，－)，故設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>)。 將點A(1，)代入方程得＋＝1， 整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)， 故所求橢圓方程為＋＝1。 (2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，B，C的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 則Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0， 所以0≤m2<8。 由x1＋x2＝－m，x1x2＝， 得|BC|＝|x1－x2|＝。 又點A到BC的距離為d＝， 故S△ABC＝|BC|·d＝ ≤·＝， 當(dāng)且僅當(dāng)2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號。 當(dāng)m＝±2時，滿足0≤m2<8。 故直線l的方程為y＝x±2。 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與直線x－y＝4相切。 (1)求圓O的方程。 (2)若圓O上有兩點M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，且|MN|＝2，求直線MN的方程。 (3)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求·的取值范圍。 解析：(1)半徑r＝＝2， 故圓O的方程為x2＋y2＝4。 (2)因為圓O上有兩點M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，故MN的斜率等于直線x＋2y＝0斜率的負(fù)倒數(shù)，等于2，設(shè)MN的方程為y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0。由弦長公式可得，圓心O到直線MN的距離等于＝1。 由點到直線的距離公式可得1＝，b＝±， 故MN的方程為2x－y±＝0。 (3)圓O與x軸相交于A(－2,0)，B(2,0)兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列， 所以|PA|·|PB|＝|PO|2，設(shè)點P(x，y)， 則有·＝x2＋y2， 兩邊平方，化簡可得x2＝y(tǒng)2＋2。 由點P在圓內(nèi)可得x2＋y2<4，故有0≤y2<1。 因為·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝2(y2－1)∈[－2,0)， 即·的取值范圍是[－2,0)。 3．(20xx·河北五校二聯(lián))已知拋物線y2＝4x，直線l：y＝－x＋b與拋物線交于A，B兩點。 (1)若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程； (2)若直線l與y軸負(fù)半軸相交，求△AOB(O為坐標(biāo)原點)面積的最大值。 解析：(1)聯(lián)立，消去x并化簡整理得y2＋8y－8b＝0。 依題意有Δ＝64＋32b>0，解得b>－2。 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b， 設(shè)圓心Q(x0，y0)，則應(yīng)有x0＝，y0＝＝－4。 因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r＝|y0|＝4， 又|AB|＝ ＝＝ ＝。 所以|AB|＝2r＝＝8， 解得b＝－。 所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，所以圓心為。 故所求圓的方程為2＋(y＋4)2＝16。 (2)因為直線l與y軸負(fù)半軸相交，所以b<0， 又l與拋物線交于兩點，由(1)知b>－2，所以－2<b<0， 直線l：y＝－x＋b可化為x＋2y－2b＝0，點O到直線l的距離d＝＝， 所以S△AOB＝|AB|d＝－4b＝4 。 令g(b)＝b3＋2b2，－2<b<0，g′(b)＝3b2＋4b＝3b， b － g′(b) ＋ 0 － g(b)  極大值  由上表可得g(b)的最大值為g＝。所以當(dāng)b＝－時，△AOB的面積取得最大值。 4．(20xx·浙江二模) 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點P。過它的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點，l2交橢圓于C，D兩點，且l1⊥l2。 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍。 解析：(1)由＝得a＝2c， 所以a2＝4c2，b2＝3c2， 將點P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c2＝1， 故所求橢圓方程為＋＝1。 (2)當(dāng)l1與l2中有一條直線的斜率不存在時，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為S＝6。 若l1與l2的斜率都存在，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－。 ∴直線l1的方程為y＝k(x＋1)。 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立消去y整理得 (4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0。① ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|x1－x2|＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝。② 注意到方程①的結(jié)構(gòu)特征，或圖形的對稱性，可以用－代替②中的k，得 |CD|＝， ∴S＝|AB|·|CD|＝， 令k2＝t∈(0，＋∞)， ∴S＝ ＝ ＝6－≥6－＝， ∴S∈。 綜上可知，四邊形ACBD的面積S的取值范圍為。