課時作業(yè)(七)　二次函數(shù)與冪函數(shù) 一、選擇題 1．(20xx孝感調(diào)研)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是(　　) A．－1　　　B．2 C．3 D．－1或2 解析：f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)?m2－m－1＝1?m＝－1或m＝2。 又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以m＝2。 答案：B 2．(20xx松原模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，則(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0 解析：因為f(x)的對稱軸為x＝－，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致圖象如圖所示。 由f(m)＜0，得－1＜m＜0， 所以m＋1＞0，所以f(m＋1)＞f(0)＞0。 答案：C 3．(20xx九江聯(lián)考)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，其中abc＜0，則函數(shù)圖象可能是(　　) A 　B C D 解析：當a＜0時，開口向下， 因為abc＜0，所以b，c同號。 對于A圖象可知c＞0，則b＞0，所以－＞0，A錯； 由B圖可知c＜0，故b＜0，所以－＜0，即函數(shù)的對稱軸在y軸左側(cè)，B錯； 當a＞0時，因為abc＜0，所以b，c異號，由C，D圖象可知c＜0，故b＞0，所以－＜0，即函數(shù)的對稱軸在y軸左側(cè)，故選C。 答案：C 4．設(shè)b＞0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為(　　) A．1 B．－1 C. D. 解析：∵b＞0，∴圖象①②不可能，又∵③④過原點．∴f(0)＝0，即a2－1＝0，a＝1，又b＞0，如 a＝1，－＜0與③④圖形矛盾?！郺＝－1。 答案：B 5．設(shè)a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則(　　) A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b 解析：因為2＞a＝log37＞1，b＝21.1＞2，c＝0.83.1＜1，所以c＜a＜b。 答案：B 6．(20xx北京西城期末)定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當x∈(0,1]時，f(x)＝x2－x，則當x∈[－1,0)時，f(x)的最小值為(　　) A．－ B．－ C．0 D. 解析：設(shè)x∈[－1,0]，則x＋1∈[0,1]， 則f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)， ∵f(x＋1)＝2f(x)，∴f(x)＝(x2＋x)。 ∴當x＝－時，取到最小值為－。 答案：A 二、填空題 7．(20xx株洲模擬)如果函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則函數(shù)f(x)的最小值為__________。 解析：由已知得解得 所以f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，x∈[－4,6]。 故f(x)min＝f(1)＝5。 答案：5 8．(20xx江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________。 解析：根據(jù)題意，得 解得－＜m＜0。 答案： 9．(20xx南通二調(diào))若不等式(mx－1)[3m2－(x＋1)m－1]≥0對任意m∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的值為__________。 解析：根據(jù)題意可令f(m)＝xm－1，易得圖象恒過點(0，－1)，令f(m)＝0，可得m＝。 又令g(m)＝3m2－(x＋1)m－1，易得圖象恒過點(0，－1)， 要使不等式(mx－1)[3m2－(x＋1)m－1]≥0對任意m∈(0，＋∞)恒成立， 則要滿足代入可得x＝1。 答案：1 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈，其中θ∈。 (1)當θ＝－時，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值； (2)求θ的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。 解析：(1)當θ＝－時， f(x)＝x2－x－1＝2－，x∈， ∴x＝時，f(x)的最小值為－。 x＝－1時，f(x)的最大值為。 (2)函數(shù)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ， ∵y＝f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)， ∴－tanθ≤－1或－tanθ≥， 即tanθ≥1或tanθ≤－。 因此，θ的取值范圍是∪。 11．(20xx汕頭月考)已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值為12。 (1)求f(x)的解析式； (2)設(shè)函數(shù)f(x)在[t，t＋1]上的最小值為g(t)，求g(t)的表達式。 解析：(1)因為f(x)是二次函數(shù)，且f(x)＜0的解集是(0,5)，所以可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a＞0)。 所以f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a。 由已知，得6a＝12，所以a＝2。 所以f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)。 (2)由(1)知f(x)＝2x2－10x＝22－，開口向上，對稱軸為x＝， ①當t＋1≤，即t≤時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減， 所以g(t)＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8； ②當t≥時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，所以g(t)＝2t2－10t； ③當t＜＜t＋1，即＜t＜時，f(x)在對稱軸處取得最小值，所以g(t)＝f＝－。 綜上所述，g(t)＝ 12．已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x。若函數(shù)h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍。 解析：根據(jù)已知條件知，g(－x)＝－f(x)＝－x2－2x＝－(－x)2＋2(－x)， ∴g(x)＝－x2＋2x， ∴h(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)＋1＝(－1－λ)x2＋(2－2λ)x＋1， 即h(x)＝(－1－λ)x2＋(2－2λ)x＋1。 ①若λ＝－1，h(x)＝4x＋1，滿足在[－1,1]上是增函數(shù)； ②若λ≠－1，h(x)是二次函數(shù)，對稱軸為x＝， ∴或解得λ＜－1，或－1＜λ≤0。 綜上，實數(shù)λ的取值范圍為(－∞，0]。