課時作業(yè)(六十六)　參數(shù)方程 　　　　　　　　　　　 1．(20xx陜西卷)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ＝2sinθ。 (1)寫出⊙C的直角坐標方程； (2)P為直線l上一動點，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標。 解析：(1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ， 從而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3。 (2)設(shè)P，又C(0，)。 則|PC|＝ ＝， 故當(dāng)t＝0時，|PC|取得最小值。 此時，P點的直角坐標為(3,0)。 2．(20xx東北三省四市聯(lián)考)已知在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))。 (1)以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求圓C的極坐標方程； (2)已知A(－2,0)，B(0,2)，圓C上任意一點M(x，y)，求△ABM面積的最大值。 解析：(1)圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))。 所以普通方程為(x－3)2＋(y＋4)2＝4。 ∴圓C的極坐標方程為ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0。 (2)點M(x，y)到直線AB：x－y＋2＝0的距離 d＝， △ABM的面積 S＝|AB|d＝|2cosθ－2sinθ＋9|＝。 所以△ABM面積的最大值為9＋2。 3．(20xx南寧二模)已知直線l： (t為參數(shù)，α≠kπ，k∈Z)經(jīng)過橢圓C： (φ為參數(shù))的左焦點F。 (1)求m的值； (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，求|FA||FB|的最小值。 解析：(1)∵橢圓C：的普通方程為＋＝1， ∴F(－1,0)。 直線l：的普通方程為y＝tanα(x－m)， ∵α≠kπ，k∈Z，tanα≠0。 ∴0＝tanα(－1－m)，∴m＝－1。 (2)將直線的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程＋＝1中，并整理， 得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcosα－9＝0。 設(shè)點A，B在直線參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2。 則|FA||FB|＝|t1t2|＝＝。 當(dāng)sinα＝1時，|FA||FB|取最小值。 4．(20xx南昌模擬)已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))。 (1)寫出直線l與曲線C在直角坐標系下的方程； (2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點為M(x0，y0)，求x0＋y0的取值范圍。 解析：(1)直線l的普通方程為x＋y－2－1＝0， 曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝4。 (2)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′的方程為x2＋＝4， 則點M的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 代入x0＋y0得， x0＋y0＝2cosθ＋4sinθ＝2sinθ＋2cosθ＝4sin， ∴x0＋y0的取值范圍是[－4,4]。 5．(20xx鄭州一檢)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝2cos，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l和圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的任意一點。 (1)求圓心的極坐標； (2)求△PAB面積的最大值。 解析：(1)圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2。 所以圓心坐標為(1，－1)，圓心極坐標為。 (2)直線l的普通方程為：2x－y－1＝0，圓心到直線l的距離 d＝＝， 所以|AB|＝2＝， 點P到直線AB距離的最大值為r＋d＝＋＝， 故最大面積Smax＝＝。 6．(20xx南昌一模)以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。 (1)若曲線C在點(1,1)處的切線為l，求l的極坐標方程； (2)若點A的極坐標為，且當(dāng)參數(shù)t∈[0，π]時，過點A的直線m與曲線C有兩個不同的交點，試求直線m的斜率的取值范圍。 解析：(1)∵，∴x2＋y2＝2，又點(1,1)在圓上，∴切線方程為x＋y＝2， ∴ρsinθ＋ρcosθ＝2，l的極坐標方程為ρsin＝。 (2)點A的直角坐標為(2,2)，設(shè)m：y＝k(x－2)＋2，m與半圓x2＋y2＝2(y≥0)相切時＝， ∴k2－4k＋1＝0，∴k＝2－或2＋(舍去)。 設(shè)點B(－，0)，則kAB＝＝2－， 故直線m的斜率的取值范圍為(2－，2－]。 7．(20xx石家莊一模)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2。 (1)分別寫出C1的普通方程，C2的直角坐標方程； (2)已知M，N分別為曲線C1的上、下頂點，點P為曲線C2上任意一點，求|PM|＋|PN|的最大值。 解析：(1)曲線C1的普通方程為＋＝1， 曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝4。 (2)方法一：由曲線C2：x2＋y2＝4，可得其參數(shù)方程為(α為參數(shù))，所以P點坐標為(2cosα，2sinα)，由題意可知M(0，)，N(0，－)。 因為|PM|＋|PN|＝＋＝＋，(|PM|＋|PN|)2＝14＋2。 所以當(dāng)sinα＝0時，(|PM|＋|PN|)2有最大值28。 因此|PM|＋|PN|的最大值為2。 方法二：設(shè)P點坐標為(x，y)，則x2＋y2＝4，由題意可知M(0，)，N(0，－)。 因為|PM|＋|PN|＝＋＝＋， (|PM|＋|PN|)2＝14＋2。 所以當(dāng)y＝0時，(|PM|＋|PN|)2有最大值28， 因此|PM|＋|PN|的最大值為2。 8．(20xx東北三省四市二聯(lián))已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，定點A(0，－)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是圓錐曲線C的左、右焦點。 (1)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求經(jīng)過點F1且平行于直線AF2的直線l的極坐標方程； (2)設(shè)(1)中直線l與圓錐曲線C交于M，N兩點，求|F1M||F1N|。 解析：(1)圓錐曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))， ∴圓錐曲線C的普通方程為＋＝1。 ∴A(0，－)，F(xiàn)2(1,0)，F(xiàn)1(－1,0)。 ∴kAF2＝，l：y＝(x＋1)。 ∴直線l的極坐標方程為ρsinθ＝ρcosθ＋。 即2ρsin＝。 (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))， 代入橢圓方程得5t2－4t－12＝0。 ∴t1t2＝－， ∴|F1M||F1N|＝。