課時作業(yè)(六十四)　直線與圓的位置關(guān)系 　　　　　　　　　　　 1. (20xx陜西卷)如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C。 (1)證明：∠CBD＝∠DBA； (2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直徑。 解析：(1)因為DE為⊙O的直徑，則∠BED＋∠EDB＝90， 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90， 從而∠CBD＝∠BED。 又AB切⊙O于點B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA。 (2)由(1)知BD平分∠CBA， 則＝＝3，又BC＝，從而AB＝3。 所以AC＝＝4，所以AD＝3。 由切割線定理得AB2＝ADAE，即AE＝＝6， 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3。 2. (20xx銀川質(zhì)檢)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且AB是⊙O的直徑，過點D的⊙O的切線與BA的延長線交于點M。 (1)若MD＝6，MB＝12，求AB的長； (2)若AM＝AD，求∠DCB的大小。 解析：(1)因為MD為⊙O的切線，由切割定理知MD2＝MAMB。 又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB， 所以MA＝3，AB＝12－3＝9。 (2)因為AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，連接DB。 又MD為⊙O的切線，由弦切角定理知∠ADM＝∠ABD。 又因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB為直角，即∠BAD＝90－∠ABD。 又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD， 于是90－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30，所以∠BAD＝60。 又四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以∠BAD＋∠DCB＝180， 所以∠DCB＝120。 3. (20xx陜西一檢)如圖，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC＝PD。 (1)求證：l是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑是OA＝5，AC＝4，求CD的長。 解析： (1)連接OP，∵AC⊥l，BD⊥l， ∴AC∥BD。 又OA＝OB，PC＝PD， ∴OP∥BD，從而OP⊥l。 ∵點P在⊙O上， ∴l(xiāng)是⊙O的切線。 (2)由(1)可得OP＝(AC＋BD)， ∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6。 過點A作AE⊥BD，垂足為E，則 BE＝BD－AC＝6－4＝2。 ∴在Rt△ABE中， AE＝＝＝4。 ∴CD＝4。 4. (20xx東北三省四市聯(lián)考)如圖，AB為圓O的直徑，BC為圓O的切線，連接OC。D為圓O上一點，且AD∥OC。 (1)求證：CO平分∠DCB； (2)已知ADOC＝8，求圓O的半徑。 解析：(1)證明：連接OD，BD， ∵AB是直徑，∴AD⊥BD，∴OC⊥BD。 設(shè)BD∩OC＝E，OD＝OB，OE＝OE， ∴△BOE≌△DOE， ∴BE＝DE，同理，△CBE≌△CDE， ∴∠BCO＝∠DCO，∴CO平分∠DCB。 (2)∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， 又∵AD∥OC，∴∠DOC＝∠ODA， ∴∠DOC＝∠OAD， ∴Rt△DBA∽Rt△CDO。 ∴ADOC＝ABOD＝2OD2＝8， 所以所求圓的半徑為2。 5. (20xx邢臺摸底)如圖所示，AC為⊙O的直徑，D為的中點，E為BC的中點。 (1)求證：DE∥AB； (2)求證：ACBC＝2ADCD。 解析：(1)連接BD，因為D為的中點，所以BD＝DC。 因為E為BC的中點， 所以DE⊥BC。 因為AC為圓的直徑，所以∠ABC＝90， 所以AB∥DE。 (2)因為D為的中點，所以∠BAD＝∠DAC， 又∠BAD＝∠DCB，則∠BCD＝∠DAC。又因為AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD。 所以＝，ADCD＝ACCE，所以2ADCD＝ACBC。 6. (20xx南昌一模)如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA＝20，PB＝10，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E。 (1)求證：ABPC＝PAAC； (2)求ADAE的值。 解析：(1)∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP， 又∠P為公共角， ∴△PAB∽△PCA，∴ABPC＝PAAC。 (2)∵PA為圓O的切線，BC是過點O的割線， ∴PA2＝PBPC， ∴PC＝40，BC＝30。 又∵∠CAB＝90，∴AC2＋AB2＝BC2＝900， 又由(1)知＝＝＝，∴PC＝40，BC＝30，AC＝12，AB＝6，連接EC，則∠CAE＝∠EAB， ∴△ACE∽△ADB， ∴＝，ADAE＝ABAC＝612＝360。 7．(20xx貴州模擬)如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點E，AB＝2AC。 (1)求證：BE＝2AD； (2)當(dāng)AC＝1，EC＝2時，求AD的長。 證明：(1)連接DE， 由于四邊形DECA是圓的內(nèi)接四邊形， 所以∠BDE＝∠BCA，∠B是公共角， 則△BDE∽△BCA，則＝。 又因為AB＝2AC，所以BE＝2DE。 又因為CD是∠ACB的平分線， 所以AD＝DE，則BE＝2AD。 (2)由于AC＝1，所以AB＝2AC＝2。 利用割線定理得BDAB＝BEBC。 由于BE＝2AD，設(shè)AD＝t，則2(2－t)＝(2＋2t)2t， 解得：t＝，即AD的長為。 8．(20xx石家莊一模)如圖所示，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點，AD為⊙M的直徑，延長DB交⊙O于C，點G為的中點，連接AG分別交⊙O、BD于點E、F，連接CE。 (1)求證：AGEF＝CEGD； (2)求證：＝。 解析：(1)連接AB、AC， ∵AD為⊙M的直徑， ∴∠ABD＝90， ∴AC為⊙O的直徑， ∴∠CEF＝∠AGD＝90， ∵∠DFG＝∠CFE， ∴∠ECF＝∠GDF， ∵G為的中點，∴∠DAG＝∠GDF， ∴∠DAG＝∠ECF，∠ADG＝∠EFB， ∴△CEF∽△AGD， ∴＝，∴AGEF＝CEGD。 (2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G， ∴△DFG∽△ADG， ∴DG2＝AGGF， 由(1)知＝，∴＝。