課時(shí)作業(yè)(二十三)　正弦定理和余弦定理 一、選擇題 1．(20xx·昆明一模)已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，則△ABC的面積等于(　　) A.　 B. C. D. 解析：由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈，所以B＝，則△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝。 答案：B 2．(20xx·廣州綜合測(cè)試)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C＝2B，則為(　　) A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC 解析：由于C＝2B，故sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以＝2cosB，由正弦定理可得＝＝2cosB，故選B。 答案：B 3．(20xx·東北三省二模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝，則B＝(　　) A. B. C. D. 解析：由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得：＝?c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝。 答案：C 4．(20xx·煙臺(tái)期末)在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg，則A＝(　　) A．90° B．60° C．120° D．150° 解析：由題意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)， ∴(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)， ∴b2＋c2－a2＝－bc， ∴cosA＝＝－。 又A∈(0，π)，∴A＝120°，選C。 答案：C 5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若3a＝2b，則的值為(　　) A．－ B. C．1 D. 解析：由正弦定理可得＝22－1＝22－1，因?yàn)?a＝2b，所以＝， 所以＝2×2－1＝。 答案：D 6．(20xx·石家莊一模)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC，則sinA＋sinB的最大值是(　　) A．1 B. C. D．3 解析：由csinA＝acosC，所以sinCsinA＝sinAcosC，即sinC＝cosC，所以tanC＝，C＝，A＝－B，所以sinA＋sinB＝sin＋sinB＝sin， ∵0＜B＜，∴＜B＋＜， ∴當(dāng)B＋＝， 即B＝時(shí)，sinA＋sinB的最大值為.故選C。 答案：C 二、填空題 7．(20xx·安徽卷)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，則AC＝________。 解析：因?yàn)椤螦＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得＝，解得AC＝2。 答案：2 8．(20xx·重慶卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，則c＝________。 解析：由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3。由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4。 答案：4 9．(20xx·福建卷)若銳角△ABC的面積為10，且AB＝5，AC＝8，則BC等于__________。 解析：因?yàn)椤鰽BC的面積S△ABC＝AB·ACsinA，所以10＝×5×8×sinA，解得sinA＝，因?yàn)榻茿為銳角，所以cosA＝。根據(jù)余弦定理，得BC2＝52＋82－2×5×8×cosA＝52＋82－2×5×8×＝49，所以BC＝7。 答案：7 三、解答題 10．(20xx·課標(biāo)Ⅱ卷)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍。 (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)。 解析：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD。 因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC。 由正弦定理可得＝＝。 (2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC， 所以BD＝。 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC。 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6。 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1。 11．(20xx·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2。 (1)求tanC的值； (2)若△ABC的面積為3，求b的值。 解析：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C， 所以－cos2B＝sin2C。 又由A＝，即B＋C＝π，得 －cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2。 (2)由tanC＝2，C∈(0，π)得 sinC＝，cosC＝。 又因?yàn)閟inB＝sin(A＋C)＝sin， 所以sinB＝。 由正弦定理得c＝b， 又因?yàn)锳＝， bcsinA＝3，所以bc＝6，故b＝3。 12．(20xx·四川卷)如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角。 (1)證明：tan＝； (2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan＋tan＋tan＋tan的值。 解：(1)tan＝＝＝。 (2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B。 由(1)，有 tan＋tan＋tan＋tan＝＋＋＋ ＝＋。 連接BD。 在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA， 在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC， 所以AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcosA。 則cosA＝ ＝＝。 于是sinA＝＝＝。 連接AC。同理可得 cosB＝ ＝＝， 于是sinB＝＝＝。 所以tan＋tan＋tan＋tan ＝＋ ＝＋ ＝。