課時(shí)作業(yè)(十二)　函數(shù)模型及其應(yīng)用 一、選擇題 1．(20xx·日照模擬)下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函數(shù)模型　 B．冪函數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型 解析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型。 答案：A 2．(20xx·湖州模擬)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國(guó)某部門(mén)為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是(　　) A B C D 解析：由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，故選B。 答案：B 3．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月車(chē)載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比．據(jù)測(cè)算，如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站(　　) A．5千米處 B．4千米處 C．3千米處 D．2千米處 解析：由題意得，y1＝，y2＝k2x，其中x＞0，當(dāng)x＝10時(shí)，代入兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝5時(shí)取等號(hào)，故選A。 答案：A 4．(20xx·安徽名校聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AC平行于x軸，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，記四邊形位于直線x＝t(t＞0)左側(cè)圖形的面積為f(t)，則f(t)的大致圖象是(　　) A B C D 解析：由題意得， f(t)＝ 故其圖象為C。 答案：C 5．(20xx·北京東城期末)某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為(　　) A．10 B．11 C．13 D．21 解析：設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費(fèi)用為y，則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費(fèi)用為y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時(shí)取等號(hào)，所以選A。 答案：A 6．某汽車(chē)運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：10萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示)，則每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)多少年時(shí)，其營(yíng)運(yùn)的平均利潤(rùn)最大(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：由題圖可得營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y＝－(x－6)2＋11， 則營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)＝－x－＋12， ∵x∈N*，∴≤－2＋12＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝5時(shí)取“＝”。 ∴x＝5時(shí)營(yíng)運(yùn)的平均利潤(rùn)最大。 答案：C 二、填空題 7．(20xx·漳州模擬)有一批材料可以建成200 m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形最大面積為_(kāi)_________。(圍墻厚度不計(jì)) 解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，寬為 m，則S＝x·＝(－x2＋200x)。 當(dāng)x＝100時(shí)，Smax＝2 500 m2。 答案：2 500 m2 8．某單位“五一”期間組團(tuán)包機(jī)去上海旅游，其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為30 000元，旅游團(tuán)中的每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算：若旅游團(tuán)中的人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)1 800元。若旅游團(tuán)的人數(shù)多于30人，則給以優(yōu)惠，每多1人，機(jī)票費(fèi)每張減少20元，但旅游團(tuán)的人數(shù)最多有75人，那么旅游團(tuán)的人數(shù)為_(kāi)_______人時(shí)，旅行社獲得的利潤(rùn)最大。 解析：設(shè)旅游團(tuán)的人數(shù)為x人，飛機(jī)票為y元，利潤(rùn)為Q元，依題意， ①當(dāng)1≤x≤30時(shí)，y＝1 800元，此時(shí)利潤(rùn)Q＝y(tǒng)x－30 000＝1 800x－30 000，此時(shí)最大值是當(dāng)x＝30時(shí)，Qmax＝1 800×30－30 000＝24 000(元)； ②當(dāng)30＜x≤75時(shí)，y＝1 800－20(x－30)＝－20x＋2 400，此時(shí)利潤(rùn)Q＝y(tǒng)x－30 000＝－20x2＋2 400x－30 000＝－20(x－60)2＋42 000， 所以當(dāng)x＝60時(shí)，旅行社可獲得的最大利潤(rùn)42 000元。 綜上，當(dāng)旅游團(tuán)的人數(shù)為60人時(shí)，旅行社獲得的利潤(rùn)最大。 答案：60 9．(20xx·濰坊模擬)某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100 kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表： 時(shí)間t 60 100 180 種植成本Q 116 84 116 根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系。 Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt 利用你選取的函數(shù)，求得： (1)西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是________。 (2)最低種植成本是________(元/100 kg)。 解析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)不單調(diào)， 所以Q＝at2＋bt＋c且開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t＝－＝＝120。 代入數(shù)據(jù) 得 所以西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是120。 最低種植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80。 答案：(1)120　(2)80 三、解答題 10．(20xx·長(zhǎng)春模擬)某產(chǎn)品原來(lái)的成本為1 000元/件，售價(jià)為1 200元/件，年銷售量為1萬(wàn)件，由于市場(chǎng)和顧客要求提高，公司計(jì)劃投入資金進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若投入x萬(wàn)元，每件產(chǎn)品的成本將降低x，在售價(jià)不變的情況下，年銷售量將減少萬(wàn)件，按上述方式進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)和銷售，扣除產(chǎn)品升級(jí)資金后的純利潤(rùn)為f(x)(單位：萬(wàn)元)。 (1)求f(x)的函數(shù)解析式； (2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值時(shí)x的值。 解析：(1)依題意，產(chǎn)品升級(jí)后，每件的成本為1 000－元，利潤(rùn)為200＋元， 年銷售量為1－萬(wàn)件， 純利潤(rùn)為f(x)＝－x ＝198.5－－。 (2)f(x)＝198.5－－≤198.5－2×＝178.5， 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝40時(shí)成立。 所以f(x)取最大值時(shí)的x的值為40。 11．某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽(tīng)課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線。當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14,40]時(shí)，曲線是函數(shù)y＝loga(t－5)＋83(a＞0且a≠1)圖象的一部分。根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽(tīng)課效果最佳。 (1)試求p＝f(t)的函數(shù)關(guān)系式； (2)老師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽(tīng)課效果最佳？請(qǐng)說(shuō)明理由。 解析：(1)t∈(0,14]時(shí)， 設(shè)p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c＜0)，將(14,81)代入得c＝－，t∈(0,14]時(shí)，p＝f(t)＝－(t－12)2＋82； t∈[14,40]時(shí)，將(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝， 所以p＝f(t)＝ (2)t∈(0,14]時(shí)，由－(t－12)2＋82≥80， 解得12－2≤t≤12＋2， 所以t∈[12－2，14]， t∈(14,40]時(shí)，由log(t－5)＋83≥80， 解得5＜t≤32，所以t∈(14,32]，所以t∈[12－2，32]， 即老師在t∈[12－2，32]時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽(tīng)課效果最佳。 12．(20xx·徐州模擬)近年來(lái)，某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬(wàn)元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽(yáng)能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位：萬(wàn)元)與太陽(yáng)能電池板的面積x(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.5。為了保證正常用電，安裝后采用太陽(yáng)能和電能互補(bǔ)供電的模式。假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)C(單位：萬(wàn)元)與安裝的這種太陽(yáng)能電池板的面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)＝(x≥0，k為常數(shù))。記F(x)為該企業(yè)安裝這種太陽(yáng)能供電設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)15年共消耗的電費(fèi)之和。 (1)試解釋C(0)的實(shí)際意義，并建立F(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x為多少平方米時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值？最小值是多少萬(wàn)元？ 解析：(1)C(0)的實(shí)際意義是安裝這種太陽(yáng)能電池板的面積為0時(shí)的電費(fèi)，即未安裝太陽(yáng)能供電設(shè)備時(shí)企業(yè)每年消耗的電費(fèi)為C(0)＝＝24，得k＝2 400， 所以F(x)＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)。 (2)因?yàn)镕(x)＝＋0.5(x＋5)－2.5 ≥2－2.5＝57.5， 當(dāng)且僅當(dāng)＝0.5(x＋5)， 即x＝55時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x為55平方米時(shí)， F(x)取得最小值，最小值為57.5萬(wàn)元。