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高中數(shù)學(xué)蘇教版選修21學(xué)案:第1章 章末分層突破 Word版含解析

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1、 精品資料 章末分層突破 [自我校對(duì)] ①逆否命題 ②必要條件 ③p?q ④且q ⑤或 ⑥全稱命題 ⑦存在量詞    四種命題及其相互關(guān)系 四種命題是指原命題、逆命題、否命題和逆否命題.一般地,用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論,用非p和非q分別表示p和q的否定,于是四種命題的形式就是:原命題:若p,則q;逆命題:若q,則p;否命題:若非p,則非q;逆否命題:若非q,則非p. 原命題與它的逆命題、否命題之間的真假是不確定的,而原命題與它的逆否命題(或它的逆命題與它的否命題)之間在真假上是始終保持一致

2、的,即同真同假.正是因?yàn)樵}與逆否命題的真假一致,所以對(duì)某些命題的證明可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題.  已知a,b,c∈R,寫出命題“若ac<0,則方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷這三個(gè)命題的真假. 【精彩點(diǎn)撥】 按照四種命題的定義寫出命題,只需判定原命題及逆命題的真假,利用互為逆否命題的命題是等價(jià)命題,可知否命題與逆否命題的真假. 【規(guī)范解答】 逆命題:“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則ac<0”,是假命題. 如當(dāng)a=1,b=-3,c=2時(shí),方程x2-3x+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1=1,x2=2,但ac=

3、2>0. 否命題:“若ac≥0,則方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”,是假命題. 這是因?yàn)樗湍婷}互為逆否命題,而逆命題是假命題. 逆否命題:“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則ac≥0”,是真命題. 因?yàn)樵}是真命題,而逆否命題與原命題等價(jià). [再練一題] 1.給出下列命題: ①已知a=(3,4),b=(0,-1),則a在b方向上的投影為-4. ②函數(shù)y=tan的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱. ③命題“如果ab=0,則a⊥b”的否命題和逆命題都是真命題. ④若a≠0,則ab=ac是b=c成立的必要不充分條件.

4、 其中正確命題的序號(hào)是________.(將所有正確的命題序號(hào)都填上) 【解析】?、佟遼a|=5,|b|=1,ab=-4,∴cos〈a,b〉=-, ∴a在b方向上的投影為|a|cos〈a,b〉=-4,①正確. ②當(dāng)x=時(shí),tan無(wú)意義, 由正切函數(shù)y=tan x的圖象的性質(zhì)知,②正確. ③∵原命題的逆命題為“若a⊥b,則ab=0”為真, ∴其否命題也為真.∴③正確. ④當(dāng)a≠0,b=c時(shí),ab=ac成立. (當(dāng)a≠0,ab=ac時(shí)不一定有b=c) ∴④正確. 【答案】?、佗冖邰? 充分條件與必要條件的判斷 關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定,實(shí)際上是對(duì)命題真假的

5、判定; 若“p?q”,且“pDq”,則p是q的“充分不必要條件”,同時(shí)q是p的“必要不充分條件”; 若“p?q”,則p是q的“充要條件”,同時(shí)q是p的“充要條件”; 若“pDq”,則p是q的“既不充分也不必要條件”,同時(shí)q是p的“既不充分也不必要條件”.  設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,a<0. q:實(shí)數(shù)x滿足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0. 且非p是非q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【精彩點(diǎn)撥】 非p是非q的必要不充分條件也就是p是q的充分不必要條件(q是p的必要不充分條件).利用集合之間關(guān)系列不等式組求解. 【規(guī)范解答】 設(shè)A={x|p}={x|

6、x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a0} ={x|x<-4或x≥-2}. ∵非p是非q的必要不充分條件, ∴q是p的必要不充分條件. ∴AB, ∴或 解得-≤a<0或a≤-4. [再練一題] 2.是的什么條件?請(qǐng)說明理由. 【解】 當(dāng)x>2且y>2時(shí),有x+y>4,xy>4, 即? 反之,當(dāng)x=1<2,y=5時(shí),有x+y=6>4,xy=5>4, 即D ∴是的必要不充分條件. 含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題 1.“且”“或”“非”這些詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞,不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡(jiǎn)單命題,由

7、簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題有“p或q”、“p且q”、“非p”三種形式. 2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷:“p或q”中有真為真,“p且q”有假為假,非p與p真假相反.  給出兩個(gè)命題:p:函數(shù)y=x2-x-1有兩個(gè)不同的零點(diǎn),q:若<1,則x>1,那么在下列四個(gè)命題中,真命題是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):09390016】 ①(非p)或q;②且q;③(非p)且 (非q); ④(非p)或(非q). 【精彩點(diǎn)撥】 →→ 【規(guī)范解答】 ∵Δ=1+4=5>0,∴p真. ∵x<0時(shí),<0<1但x>1不成立,∴q假, ∴非q真,∴①②③均為假命題,④為真命題. 【答案】?、? [再

8、練一題] 3.(2016山東濰坊高三模擬)已知命題p:若a>1,則ax>logax恒成立;命題q:在等差數(shù)列{an}中,m+n=s+r是am+an=as+ar的充分不必要條件(m,n,s,r∈N*).則下面選擇項(xiàng)中的真命題是________. ①(非p)且(非q);②(非p)或(非q); ③p或(非q);④且q. 【解析】 當(dāng)a=1.1,x=2時(shí),ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.12=2,此時(shí),ax

9、n=s+r,故q是真命題.所以非p是真命題,非q是假命題. 【答案】?、? 全稱命題和存在性命題 1.全稱命題“?x∈M,p(x)”強(qiáng)調(diào)命題的一般性,因此, (1)要證明它是真命題,需對(duì)集合M中每一個(gè)元素x,證明p(x)成立; (2)要判斷它是假命題,只需在集合M中找到一個(gè)元素x,使p(x)不成立即可. 2.存在性命題“?x∈M,p(x)”強(qiáng)調(diào)結(jié)論的存在性,因此, (1)要證明它是真命題,只需在集合M中找到一個(gè)元素x,使p(x)成立即可; (2)要判斷它是假命題,需對(duì)集合M中每一個(gè)元素x,證明p(x)不成立.  判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題,并判斷其真假. (1)

10、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形都內(nèi)接于一個(gè)圓; (2)對(duì)于定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x),若f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上至少有一個(gè)零點(diǎn); (3)?x∈,tan x>sin x; (4)?x∈R,log2(3x+1)≤0; 【精彩點(diǎn)撥】 →→→ 【規(guī)范解答】 (1)全稱命題,是真命題. (2)存在性命題,是真命題. (3)全稱命題,∵tan x=,x∈, ∴0<cos x<1,sin x>0, ∴>1,>sin x,即tan x>sin x, ∴是真命題. (4)存在性命題,∵3x>0,∴3x+1>1,則log2(3x+1)>0,∴是假命題. [再

11、練一題] 4.(2016河南洛陽(yáng)高三模擬)下列命題中假命題是________. ①?x∈R,2x-1>0;②?x∈N*,(x-1)2>0; ③?x0∈R,lg x0<1;④?x0∈R,tan x0=2. 【解析】 對(duì)于①,∵x∈R,∴x-1∈R,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得2x-1>0,故①正確; 對(duì)于②,∵x∈N*,∴當(dāng)x=1時(shí),(x-1)2=0與(x-1)2>0矛盾,故②錯(cuò)誤; 對(duì)于③,當(dāng)x=時(shí),lg =-1<1,故③正確; 對(duì)于④,當(dāng)x∈R,tan x∈R,∴?x0∈R,tan x0=2,故④正確. 【答案】 ② 含一個(gè)量詞的命題的否定 1.全稱命題的否定一定是存在性命題.

12、 p:?x∈M,p(x)成立; 非p:?x∈M,非p(x)成立. 2.存在性命題的否定一定是全稱命題. p:?x∈M,p(x)成立; 非p:?x∈M,非p(x)成立. 3.含有一個(gè)量詞的命題的否定首先要改變量詞,把全稱量詞改為存在量詞;把存在量詞改為全稱量詞,然后再把判斷詞加以否定.  寫出下列命題的否定,并判斷它們的真假. (1)p:?x∈R,x2+x+≥0; (2)q:?x是質(zhì)數(shù),x不是奇數(shù); (3)r:至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x> ; (4)s:所有的周期函數(shù)都有最小正周期. 【精彩點(diǎn)撥】 →→→ 【規(guī)范解答】 (1)非p:?x∈R,使x2+x+<0.由于對(duì)任意的實(shí)

13、數(shù)x,x2+x+=2≥0,故p是真命題,非p是假命題. (2)非q:?x是質(zhì)數(shù),x是奇數(shù). 由于2是質(zhì)數(shù),且2不是奇數(shù),故q是真命題,非q是假命題. (3)非r:?x∈R,x≤. 由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,x≤|x|=<,故r是假命題,非r是真命題. (4)非s:有的周期函數(shù)沒有最小正周期. 由于f(x)=0(x∈R)是周期函數(shù)但沒有最小正周期, 故s是假命題,非s是真命題. [再練一題] 5.(2016哈爾濱高二檢測(cè))命題“?x∈R,x2+2x+3≥0”的否定為________. 【解析】 由于全稱命題的否定是存在性命題,所以命題“?x∈R,x2+2x+3≥0”的否定為:?x∈

14、R,x2+2x+3<0. 【答案】 ?x∈R,x2+2x+3<0 1.(2015山東高考改編)設(shè)m∈R,命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題是________. 【解析】 “若p則q”的逆否命題是“若非q則非p”. 【答案】 若方程x2+x-m=0沒有實(shí)根,則m≤0 2.(2015湖北高考改編)命題“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是________. 【解析】 存在性命題“?x0∈M,p(x0)”的否定是全稱命題“?x∈M,非p(x)”. 【答案】 ?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 3.(2015北京高考改編)設(shè)a,b是非零向量,

15、“ab=|a||b|”是“a∥b”的________條件. 【解析】 因?yàn)閍,b是非零向量,當(dāng)ab=|a||b|時(shí),a與b共線且同向,但當(dāng)a∥b時(shí),ab=|a||b|或ab=-|a||b|. 則“ab=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要條件. 【答案】 充分不必要 4.(2016四川高考)在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′;當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身.現(xiàn)有下列命題: ①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′,則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A; ②單位圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”仍在單位圓上; ③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,則它們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱; ④

16、若三點(diǎn)在同一條直線上,則它們的“伴隨點(diǎn)”一定共線. 其中的真命題是________(寫出所有真命題的序號(hào)). 【解析】?、僭O(shè)A(2,1),則其伴隨點(diǎn)為A′,而A′的伴隨點(diǎn)為(-2,-1),故①錯(cuò). ②設(shè)P(x,y),其中x2+y2=1,則其伴隨點(diǎn)為(y,-x),該點(diǎn)也在圓x2+y2=1上,故②正確. ③設(shè)A(x,y),B(x,-y),則它們的伴隨點(diǎn)分別為A′,B′,A′與B′關(guān)于y軸對(duì)稱,故③正確. ④設(shè)共線的三點(diǎn)A(-1,0),B(0,1),C(1,2),則它們的伴隨點(diǎn)分別為A′(0,1),B′(1,0),C′,此三點(diǎn)不共線,故④錯(cuò). 【答案】 ②③ 5.(2014重慶高考改編)已知命題p:對(duì)任意x∈R,總有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.則下列命題為真命題的是________. ①p且(非q) ;②(非p)且q;③(非p)且(非q); ④p且q. 【解析】 由題意知命題p是真命題,命題q是假命題,故非p是假命題,非q是真命題,由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真值表可知且(非q)是真命題. 【答案】 ①

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