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1、【導與練】(新課標)2016屆高三數(shù)學一輪復習 第3篇 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
三角函數(shù)的定義域、值域
2、5、10
三角函數(shù)的單調性
1、4、9、13
三角函數(shù)的奇偶性、對稱性
1、3
三角函數(shù)的周期性
6、7、8
綜合應用
6、11、12、14、15、16
基礎過關
一、選擇題
1.(2014懷化二模)下列命題正確的是( C )
(A)函數(shù)y=sin(2x+π3)在區(qū)間(-π3,π6)上單調遞增
(B)函數(shù)y=cos4x-sin4x的最小正周期為2π
(C)函數(shù)y=cos(x+π3)的圖象是關于
2、點(π6,0)成中心對稱的圖形
(D)函數(shù)y=tan(x+π3)的圖象是關于直線x=π6成軸對稱的圖形
解析:當-π3<x<π6時,-π3<2x+π3<2π3,
故y=sin(2x+π3)在(-π3,π6)上不單調,A錯;
y=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos 2x,最小正周期為π,B錯;
正切函數(shù)的圖象不可能關于直線軸對稱,D錯.
2.已知函數(shù)f(x)=3cos(2x-π4)在[0,π2]上的最大值為M,最小值為m,則M+m等于( C )
(A)0 (B)3+322
(C)3-322 (D)32
解析:∵x∈[0,π2],
∴
3、2x-π4∈[-π4,3π4],
∴cos(2x-π4)∈[-22,1],
∴f(x)∈[-322,3],
∴M+m=3-322.
3.(2014廣州測試)若函數(shù)y=cos(ωx+π6)(ω∈N*)的一個對稱中心是(π6,0),則ω的最小值為( B )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:依題意得cos(ω·π6+π6)=0,
π6(ω+1)=kπ+π2,
ω=6k+2(其中k∈Z),
又ω是正整數(shù),
因此ω的最小值是2.
4.(2014阜陽二模)設函數(shù)f(x)=sin(x+π3)(x∈R),則f(x)( A )
(A)在區(qū)間[2π3,7π6]上是增
4、函數(shù)
(B)在區(qū)間[-π,-π2]上是減函數(shù)
(C)在區(qū)間[π8,π4]上是增函數(shù)
(D)在區(qū)間[π3,5π6]上是減函數(shù)
解析:由函數(shù)圖象的變換可知,f(x)=sin(x+π3)的圖象是將f(x)=sin(x+π3)的圖象在x軸下方的部分對折上去,
此時函數(shù)的最小正周期變?yōu)棣?
則函數(shù)在區(qū)間kπ≤x+π3≤kπ+π2,
即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)上為增函數(shù),
當k=1時有2π3≤x≤7π6,
故在區(qū)間[2π3,7π6]上f(x)是增函數(shù).
5.(2014福建南安一中月考)已知函數(shù)f(x)=(cos x-m)2+1在cos x=-1時取得最大值,在cos x=m
5、時取得最小值,則實數(shù)m的取值范圍是( C )
(A)m≤-1 (B)m≥1
(C)0≤m≤1 (D)-1≤m≤0
解析:設t=cos x,則t∈[-1,1],
依題意知g(t)=(t-m)2+1在t=-1時取得最大值,
而在t=m時取得最小值,結合二次函數(shù)的圖象可知g(-1)≥g(1),-1≤m≤1,
即(-1-m)2+1≥(1-m)2+1,-1≤m≤1,
也就是m≥0,-1≤m≤1.
所以0≤m≤1.
6.(2014瀏陽模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+ ),x∈R,其中ω>0,-π< ≤π.若f(x)的最小正周期為6π,且當x=π2時,f(x)取得最
6、大值,則( A )
(A)f(x)在區(qū)間[-2π,0]上是增函數(shù)
(B)f(x)在區(qū)間[-3π,-π]上是增函數(shù)
(C)f(x)在區(qū)間[3π,5π]上是減函數(shù)
(D)f(x)在區(qū)間[4π,6π]上是減函數(shù)
解析:∵T=6π,
∴ω=2πT=2π6π=13,
∴13×π2+ =2kπ+π2,
∴=2kπ+π3(k∈Z).
∵-π< ≤π,
∴令k=0得φ=π3.
∴f(x)=2sin(x3+π3).
令2kπ-π2≤x3+π3≤2kπ+π2,k∈Z,
則6kπ-5π2≤x≤6kπ+π2,k∈Z.
易知f(x)在區(qū)間[-2π,0]上是增函數(shù).
二、填空
7、題
7.(2014高考北京卷)設函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間[π6,π2]上具有單調性,且f(π2)=f(2π3)=-f(π6),則f(x)的最小正周期為 .
解析:∵f(x)在區(qū)間[π6,π2]上具有單調性,
且f(π2)=f(2π3),
∴x=π2和x=2π3均不是f(x)的極值點,
其極值應該在x=π2+2π32=7π12處取得,
∵f(π2)=-f(π6),
∴x=π6也不是函數(shù)f(x)的極值點,
又f(x)在區(qū)間[π6,π2]上具有單調性,
∴x=π6-(7π12-π2)=π1
8、2為f(x)的另一個相鄰的極值點,
故函數(shù)f(x)的最小正周期T=2×(7π12-π12)=π.
答案:π
8.(2014大連模擬)已知f(x)=Asin(ωx+φ),f(α)=A,f(β)=0,|α-β|的最小值為π3,則正數(shù)ω= .
解析:由|α-β|的最小值為π3知函數(shù)f(x)的周期T=43π,
∴ω=2πT=32.
答案:32
9.若函數(shù)f(x)=cos 2x+asin x在區(qū)間(π6,π2)是減函數(shù),則a的取值范圍是 .
解析:f′(x)=-2sin 2x+acos x
=-4sin xcos x+acos x
=co
9、s x(-4sin x+a).
∵x∈(π6,π2)時,f(x)是減函數(shù),
又cos x>0,
∴由f′(x)≤0得-4sin x+a≤0,
∴a≤4sin x在(π6,π2)上恒成立,
∴a≤(4sin x)min(x∈(π6,π2)),
∴a≤2.
答案:(-∞,2]
10.(2014聊城模擬)若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間[0,π3]上的最大值是2,則ω= .
解析:由0≤x≤π3,
得0≤ωx≤ωπ3<π3,
則f(x)在[0,π3]上單調遞增,
且在這個區(qū)間上的最大值是2,
所以2sin ωπ3=2,
10、
且0<ωπ3<π3,
所以ωπ3=π4,
解得ω=34.
答案:34
三、解答題
11.(2014煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π12,π2]上的值域.
解:(1)f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4)
=12cos 2x+32sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=12cos 2x+32sin 2x+sin2x-cos2x
=12cos 2x+32sin
11、 2x-cos 2x
=sin(2x-π6).
∴最小正周期T=2π2=π,
由2x-π6=kπ+π2(k∈Z),
得x=kπ2+π3(k∈Z).
∴函數(shù)圖象的對稱軸為x=kπ2+π3(k∈Z).
(2)∵x∈[-π12,π2],
∴2x-π6∈[-π3,5π6],
∴-32≤sin(2x-π6)≤1.
即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π12,π2]上的值域為[-32,1].
12.(2014高考福建卷)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-12.
(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f(α)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調遞
12、增區(qū)間.
解:法一 (1)因為0<α<π2,sin α=22,
所以cos α=22.
所以f(α)=22(22+22)-12=12.
(2)因為f(x)=sin xcos x+cos2x-12
=12sin 2x+1+cos2x2-12
=12sin 2x+12cos 2x
=22sin(2x+π4),
所以T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ-3π8,kπ+π8],k∈Z.
法二 f(x)=sin xcos x+cos2x-12
=12sin
13、2x+1+cos2x2-12
=12sin 2x+12cos 2x
=22sin(2x+π4).
(1)因為0<α<π2,sin α=22,
所以α=π4,
從而f(α)=22sin(2α+π4)=22sin 3π4=12.
(2)T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ-3π8,kπ+π8],k∈Z.
能力提升
13.已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0)為偶函數(shù)(0<φ<π),其圖象與直線y=2某兩個交點的橫坐標分別為x1,x2,
14、若|x2-x1|的最小值為π,則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間可以是( A )
(A)-π2,-π4 (B)-π4,π4
(C)0,π2 (D)π4,34π
解析:由函數(shù)為偶函數(shù)知=π2+kπ(k∈Z),
又因為0< <π,所以φ=π2,從而y=2cos ωx.
由題意知函數(shù)的最小正周期為π,
故ω=2,因此y=2cos 2x,
經驗證知選項A滿足條件.
14.(2014黃岡模擬)已知過原點的直線與函數(shù)y=|sin x|(x≥0)的圖象有且只有三個交點,α是交點中橫坐標的最大值,則(1+α2)sin2α2α的值為 .
解析:y=|sin x|(x≥0)的圖
15、象如圖,若過原點的直線與函數(shù)y=|sin x|(x≥0)的圖象有且只有三個交點,
則第三個交點的橫坐標為α,
且α∈(π2,3π2),
又在區(qū)間(π,2π)上,y=|sin x|=-sin x,
則切點坐標為(α,-sin α),
又切線斜率為-cos α,
則切線方程為y+sin α=-cos α(x-α),
即y=(-cos α)x+αcos α-sin α.
又直線過原點,把(0,0)代入上式得,α=tan α,
∴(1+α2)sin2α2α=(1+tan2α)2sinαcosα2tanα
=(1+tan2α)cos2α
=(1+sin2αcos2α)cos2α
16、
=cos2α+sin2α
=1.
答案:1
15.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin(2x+π6)+2a+b,當x∈[0,π2]時,-5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a,b的值.
(2)設g(x)=f(x+π2)且lg g(x)>0,求g(x)的單調區(qū)間.
解:(1)∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].
∴sin(2x+π6)∈[-12,1],
∴-2asin(2x+π6)∈[-2a,a].
∴f(x)∈[b,3a+b].
又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得a=2,b=-5,
17、
∴f(x)=-4sin(2x+π6)-1,
g(x)=f(x+π2)=-4sin(2x+7π6)-1
=4sin(2x+π6)-1,
又由lg g(x)>0得g(x)>1,
∴4sin(2x+π6)-1>1,
∴sin(2x+π6)>12,
∴2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z,
其中當2kπ+π6<2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z時,g(x)單調遞增,即kπ<x≤kπ+π6,k∈Z.
∴g(x)的單調增區(qū)間為(kπ,kπ+π6],k∈Z.
又∵當2kπ+π2<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z時,g
18、(x)單調遞減,即kπ+π6<x<kπ+π3,k∈Z.
∴g(x)的單調減區(qū)間為(kπ+π6,kπ+π3),k∈Z.
探究創(chuàng)新
16.(2014卓越聯(lián)盟自主招生試題)設α∈R,函數(shù)f(x)=2sin 2xcos α+2cos 2xsin α-2cos(2x+α)+cos α,x∈R.
(1)若α∈[π4,π2],求f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值;
(2)若f(x)=3,求α與x的值.
解:(1)易知f(x)=2sin(2x+α)-2cos(2x+α)+cos α
=2sin(2x+α-π4)+cos α,
由于α-π4∈[0,π4],
2x+α-π4∈[α-π4,α+3π4],
所以當2x+α-π4=π2,
即x=3π8-α2時,f(x)max=2+cos α.
又f(x)max=2+cos α在α∈[π4,π2]上單調遞減,
所以f(x)max=2+cos α≤2+22,
當α=π4時取到最大值.
綜上可知,當α=π4,x=π4時,f(x)max=2+22.
(2)由于f(x)=2sin(2x+α-π4)+cos α,
且2sin(2x+α-π4)≤2,cos α≤1,
現(xiàn)在已知f(x)=3,則等價于sin(2x+α-π4)=1,cosα=1,
解得α=2kπ,k∈Z,x=(m-k)π+3π8,m∈Z.