《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 文 北師大版(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三節(jié) 圓的方程
[考綱傳真] 1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
(對應(yīng)學(xué)生用書第114頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.圓的定義及方程
定義
平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)
標(biāo)準(zhǔn)方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圓心(a,b),半徑r
一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
(D2+E2-4F>0)
圓心,
半徑
2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:
(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-
2、a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
[知識拓展]
1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是
2.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈
3、R)表示圓心為(a,b),半徑為t的一個(gè)圓.( )
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.( )
(4)若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x+y+Dx0+Ey0+F>0.( )
[解析] 由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,知(1)(3)(4)正確.
(2)中,當(dāng)t≠0時(shí),表示圓心為(-a,-b),半徑為|t|的圓,不正確.
[答案] (1)√ (2) (3)√ (4)√
2.(教材改編)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是
( )
4、
A.a(chǎn)<-2或a> B.-<a<0
C.-2<a<0 D.-2<a<
D [由題意知a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a<.]
3.(20xx全國卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=( )
A.- B.-
C. D.2
A [圓x2+y2-2x-8y+13=0,得圓心坐標(biāo)為(1,4),所以圓心到直線ax+y-1=0的距離d==1,解得a=-.]
4.(20xx西安質(zhì)檢)若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
x2+(y-1
5、)2=1 [兩圓關(guān)于直線對稱則圓心關(guān)于直線對稱,半徑相等,則圓C的圓心為(0,1),半徑為1,標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1.]
5.圓C的圓心在x軸上,并且過點(diǎn)A(-1,1)和B(1,3),則圓C的方程為________.
【導(dǎo)學(xué)號:00090274】
(x-2)2+y2=10 [設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0),
∵點(diǎn)A(-1,1)和B(1,3)在圓C上,
∴|CA|=|CB|,即=,
解得a=2,所以圓心為C(2,0),
半徑|CA|==,
∴圓C的方程為(x-2)2+y2=10.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第115頁)
求圓的方程
(1)(20xx全國卷Ⅱ
6、)已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為( )
A. B.
C. D.
(2)(20xx天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為________.
(1)B (2)(x-2)2+y2=9 [(1)法一:在坐標(biāo)系中畫出△ABC(如圖),利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|=|AC|=|BC|=2(也可以借助圖形直接觀察得出),所以△ABC為等邊三角形.設(shè)BC的中點(diǎn)為D,點(diǎn)E為外心,同時(shí)也是重心.所以|AE|=|AD|=,從而|OE|===,故選
7、B.
法二:設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則解得
所以△ABC外接圓的圓心為.
因此圓心到原點(diǎn)的距離d==.
(2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上,設(shè)C(a,0),且a>0,
所以圓心到直線2x-y=0的距離d==,解得a=2,
所以圓C的半徑r=|CM|==3,
所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9.]
[規(guī)律方法] 1.直接法求圓的方程,根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程.
2.待定系數(shù)法求圓的方程:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求
8、出a,b,r的值;②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值.
溫馨提醒:解答圓的方程問題,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).
[變式訓(xùn)練1] (1)(20xx鄭州模擬)經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號:00090275】
(2)(20xx青島模擬)圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長為2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
(1)x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2
9、=10) (2)(x-2)2+(y-1)2=4 [(1)法一:∵圓過A(5,2),B(3,-2)兩點(diǎn),
∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上.
易知線段AB的垂直平分線方程為y=-(x-4).
設(shè)所求圓的圓心為C(a,b),則有
解得a=2,且b=1.
因此圓心坐標(biāo)C(2,1),半徑r=|AC|=.
故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.
法二:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
則解得D=-4,E=-2,F(xiàn)=-5,
∴所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-5=0.
(2)設(shè)圓C的圓心為(a,b)(b>0),由
10、題意得a=2b>0,且a2=()2+b2,解得a=2,b=1,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4.]
與圓有關(guān)的最值問題
已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值.
[解] (1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2.
又|QC|==4,
∴|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)可知表示直線MQ的斜率k.
11、設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.
由直線MQ與圓C有交點(diǎn),所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
∴的最大值為2+,最小值為2-.
[母題探究1] (變化結(jié)論)在本例的條件下,求y-x的最大值和最小值.
[解] 設(shè)y-x=b,則x-y+b=0.
當(dāng)直線y=x+b與圓C相切時(shí),截距b取到最值,
∴=2,∴b=9或b=1.
因此y-x的最大值為9,最小值為1.
[母題探究2] (變換條件)若本例中條件“點(diǎn)Q(-2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x+4y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)”,其它條件不變,試求|MQ|的最小值.
[解] ∵圓心C(2,7)到直線
12、3x+4y+1=0上動(dòng)點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x+4y+1=0的距離,
∴|QC|min=d==7.
又圓C的半徑r=2,∴|MQ|的最小值為7-2.
[規(guī)律方法] 1.處理與圓有關(guān)的最值問題,應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,數(shù)形結(jié)合求解.
2.某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求解.
根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求最值是比較常用的.
[變式訓(xùn)練2] 已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3
13、)求x2+y2的最大值和最小值.
[解] 原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,為半徑的圓.
(1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,
所以設(shè)=k,即y=kx.
當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取最大值或最小值,此時(shí)=,解得k=(如圖1).
所以的最大值為,最小值為-.
圖1 圖2 圖3
(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),縱截距b取得最大值或最小值,此時(shí)=,解得b=-2(如圖2).
所以y-x的最大值為-2+,最小值為-2-.
(3)x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,
14、由平面幾何知識知,在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3).
又圓心到原點(diǎn)的距離為=2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.
與圓有關(guān)的軌跡問題
(20xx煙臺模擬)已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.
[解] (1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y).
因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+
15、(2y)2=4,
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y),在Rt△PBQ中,
|PN|=|BN|.
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON(圖略),則ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.
[規(guī)律方法] 求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法
(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解.
(2)定義法:根據(jù)圓的定義列方程求解.
(3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解.
(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法):找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解.
[變式訓(xùn)練3] (20xx武威模擬)設(shè)定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡.
[解] 如圖所示,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分,
故=,=.
從而
又N(x+3,y-4)在圓上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求軌跡為圓:(x+3)2+(y-4)2=4,
但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上的情況).