課時(shí)作業(yè)(三十六)　一元二次不等式及其解法 一、選擇題 1．(20xx成都模擬)使不等式2x2－5x－3≥0成立的一個(gè)充分不必要條件是(　　) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3 解析：不等式2x2－5x－3≥0的解集是。 由題意，選項(xiàng)中x的范圍應(yīng)該是上述解集的真子集，只有C滿足。 答案：C 2．(20xx濰坊模擬)函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　) A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 解析：由題意知 即 故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,2)∪(2,3)。 答案：D 3．(20xx長(zhǎng)春模擬)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為(　　) A．{x|x<－1或x>lg2} B．{x|－1<x<lg2} C．{x|x>－lg2} D．{x|x<－lg2} 解析：由題意，得10x<－1，或10x>， 10x<－1無(wú)解； 由10x>，得x>lg，即x>－lg2。 答案：C 4．(20xx杭州模擬)若x＝1滿足不等式ax2＋2x＋1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3) B．(－3，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：因?yàn)閤＝1滿足不等式ax2＋2x＋1<0， 所以a＋2＋1<0， 所以a<－3。故選A。 答案：A 5．(20xx張家界模擬)已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集為{x|－2＜x＜1}，則函數(shù)y＝f(－x)的圖象為(　　) A B C D 解析：由根與系數(shù)的關(guān)系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為。 答案：B 6．(20xx龍巖模擬)已知a∈Z，關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是(　　) A．13 B．18 C．21 D．26 解析：設(shè)f(x)＝x2－6x＋a，其圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是x＝3的拋物線，如圖所示。 若關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)， 則即 解得5＜a≤8，又a∈Z，a＝6,7,8。 則所有符合條件的a的值之和是6＋7＋8＝21。 答案：C 二、填空題 7．(20xx福州期末)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是__________。 解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，1＜a≤3.綜上可得－4≤a≤3。 答案：[－4,3] 8．(20xx銅陵一模)已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)＞0的解集為(1,2)，若f(x)的最大值小于1，則a的取值范圍是__________。 解析：由題意知a＜0，可設(shè)f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，∴f(x)max＝f＝－＜1， ∴a＞－4，故－4＜a＜0。 答案：(－4,0) 9．設(shè)0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0對(duì)x∈R恒成立，則α的取值范圍為_(kāi)_______。 解析：本題考查不等式恒成立問(wèn)題及三角不等式的解法、半角公式等。 由題意知Δ＝64sin2α－32cos2α≤0， ∴2sin2α－cos2α≤0， 即1－cos2α－cos2α≤0， ∴cos2α≥，∴2kπ－≤2α≤2kπ＋，k∈Z。 ∴kπ－≤α≤kπ＋，k∈Z。又α∈[0，π]， ∴α∈∪。 答案：∪ 三、解答題 10．(20xx蘭州模擬)對(duì)任意x∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，求k的取值范圍。 解析：函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－＝。 ①當(dāng)<－1，即k>6時(shí)，f(x)的值恒大于零等價(jià)于f(－1)＝1＋(k－4)(－1)＋4－2k>0，解得k<3，故k∈?； ②當(dāng)－1≤≤1，即2≤k≤6時(shí)， 只要f＝2＋(k－4)＋4－2k>0，即k2<0，故k∈?。 ③當(dāng)>1，即k<2時(shí)，只要f(1)＝1＋(k－4)＋4－2k>0 即k<1，故有k<1， 綜上可知，當(dāng)k<1時(shí)，對(duì)任意x∈[－1,1]， 函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零。 11．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}。 (1)求a，b的值。 (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0。 解析：(1)因?yàn)椴坏仁絘x2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}，所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，b＞1且a＞0。 由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得 (2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0， 即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0。 當(dāng)c＞2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|2＜x＜c}； 當(dāng)c＜2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|c＜x＜2}； 當(dāng)c＝2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為?。 所以，當(dāng)c＞2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|2＜x＜c}； 當(dāng)c＜2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|c＜x＜2}； 當(dāng)c＝2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為?。 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1。 (1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍； (2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍。 解析：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，顯然－1<0； 若m≠0，則?－4<m<0。 所以m的取值范圍為(－4,0] (2)法一：要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，即 m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立。 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]。 當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0， 所以m<，則0<m<； 當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立； 當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)， 所以g(x)max＝g(1)?m－6<0，所以m<6，則m<0。 綜上所述：m的取值范圍是。 法二：由題意得m(x2－x＋1)－6<0， 因?yàn)閤2－x＋1＝2＋>0， 所以m<。 因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m<即可。 所以，m的取值范圍是。