高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第10章 概率 第2節(jié) 古典概型學(xué)案 文 北師大版
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1、 第二節(jié) 古典概型 [考綱傳真] 1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會用列舉法計算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. (對應(yīng)學(xué)生用書第151頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下兩個特征的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型. (1)試驗的所有可能結(jié)果只有有限個,每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果. (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 3.古典概型的概率公式 P(A)==. [基本能力自測] 1.(思考辨析
2、)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.( ) (2)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,這三個結(jié)果是等可能事件.( ) (3)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.( ) (4)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點,這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率.( ) [答案] (1) (2) (3)√ (4) 2.(教材改編)下列試驗中,是古典概型的個數(shù)為( ) ①向上拋
3、一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,觀察正面向上的概率; ②向正方形ABCD內(nèi),任意拋擲一點P,點P恰與點C重合; ③從1,2,3,4四個數(shù)中,任取兩個數(shù),求所取兩數(shù)之一是2的概率; ④在線段[0,5]上任取一點,求此點小于2的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 B [由古典概型的意義和特點知,只有③是古典概型.] 3.(20xx全國卷Ⅲ)小敏打開計算機(jī)時,忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是( ) 【導(dǎo)學(xué)號:00090351】 A. B.
4、 C. D. C [∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)}, ∴事件總數(shù)有15種. ∵正確的開機(jī)密碼只有1種,∴P=.] 4.(20xx全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. C [從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果:(1,2,3
5、),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為.故選C.] 5.甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為________. [甲、乙兩名運(yùn)動員選擇運(yùn)動服顏色的情況為(紅,紅),(紅,白),(紅,藍(lán)),(白,白),(白,紅),(白,藍(lán)),(藍(lán),藍(lán)),(藍(lán),白),(藍(lán),紅),共9種. 而同色的有(紅,紅),(白,白),(藍(lán),藍(lán)),共3種. 所以所求概率P==.] (對應(yīng)學(xué)生用書
6、第151頁) 簡單古典概型的概率 (1)(20xx全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. (2)(20xx全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是( ) A. B. C. D. (1)D (2)C [(1)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖: 基本事件總數(shù)為25,第一張卡片上的數(shù)大
7、于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10, ∴所求概率P==. 故選D. (2)從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中,余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數(shù)有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共4種,故所求概率為P==,故選C.] [規(guī)律方法] 1.計算古典概型事件的概率可分三步,(1)計算基本事件總個數(shù)n;(2)計算事件A所包含的基本事件的個數(shù)m;(3)代入公式求出概率P. 2.用列舉法寫出所有基本事件時,可借助“樹狀圖”列舉,以便做到不
8、重、不漏. [變式訓(xùn)練1] (1)從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為( ) A. B. C. D. (2)(20xx江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________. (1)C (2) [(1)設(shè)正方形的四個頂點分別是A,B,C,D,中心為O,從這5個點中,任取兩個點的事件分別為AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,共有10種,其中只有頂點到中心O的距離小于正方形的邊長,分別是AO,B
9、O,CO,DO,共有4種. 所以所求事件的概率P=1-=. (2)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,所有等可能的結(jié)果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,6),共36種情況.設(shè)事件A=“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”,其對立事件=“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”,包含的可能結(jié)果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6種情況.所以由古典概型的概率公式,得P()==,所以P(A)=1-=.] 復(fù)雜古典概型的概率 (20xx山東高考)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味
10、活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖1021所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下: ①若xy≤3,則獎勵玩具一個; ②若xy≥8,則獎勵水杯一個; ③其余情況獎勵飲料一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項活動. (1)求小亮獲得玩具的概率; (2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號:00090352】 圖1021 [解] 用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤
11、y≤4}一一對應(yīng).
因為S中元素的個數(shù)是44=16,
所以基本事件總數(shù)n=16. 3分
(1)記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件數(shù)共5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為. 5分
(2)記“xy≥8”為事件B,“3 12、以P(C)=.
因為>,
所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 12分
[規(guī)律方法] 1.本題易錯點有兩個:(1)題意理解不清,不能把基本事件列舉出來;(2)不能恰當(dāng)分類,列舉基本事件有遺漏.
2.求較復(fù)雜事件的概率問題,解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義,把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型,必要時將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和,或者先求其對立事件的概率,進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼猓?
[變式訓(xùn)練2] (20xx濰坊質(zhì)檢)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)
參加書法社團(tuán)
未參加書法社團(tuán)
參加演講社團(tuán) 13、
8
5
未參加演講社團(tuán)
2
30
(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率;
(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率. 【導(dǎo)學(xué)號:00090353】
[解] (1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人,
2分
故至少參加上述一個社團(tuán)的共有45-30=15人,
所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率為P==. 5分
(2)從這5名男 14、同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個. 8分
根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2個. 10分
因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=. 12分
古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用
(20xx全國卷Ⅱ)某公司 15、為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.
A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
圖1022①
B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表
滿意度評分分組
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
頻數(shù)
2
8
14
10
6
(1)在圖1022②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可).
B地區(qū)用戶滿意度評 16、分的頻率分布直方圖
圖1022②
(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:
滿意度評分
低于70分
70分到89分
不低于90分
滿意度等級
不滿意
滿意
非常滿意
估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大?說明理由.
[解] (1)如圖所示.
4分
通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散. 6分
(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大. 8分
記CA表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意 17、度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(CB)的估計值為(0.005+0.02)10=0.25. 11分
所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大. 12分
[規(guī)律方法] 1.本題求解的關(guān)鍵在于作出莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖準(zhǔn)確提煉數(shù)據(jù)信息,考查數(shù)據(jù)處理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.
2.有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型,已成為高考考查的熱點,概率與統(tǒng)計結(jié)合題,無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息,準(zhǔn)確從題中提煉信息是關(guān)鍵.
[變式訓(xùn)練3 18、] (20xx湘潭模擬)長沙某購物中心在開業(yè)之后,為了解消費(fèi)者購物金額的分布情況,在當(dāng)月的電腦消費(fèi)小票中隨機(jī)抽取n張進(jìn)行統(tǒng)計,將結(jié)果分成6組,分別是[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500),[500,600],制成如圖1023所示的頻率分布直方圖(假設(shè)消費(fèi)金額均在[0,600]元的區(qū)間內(nèi)).
(1)若按分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為[400,600]元區(qū)間內(nèi)抽取6張電腦小票,再從中任選2張,求這2張小票均來自[400,500)元區(qū)間的概率;
(2)為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動,策劃人員設(shè)計了兩種不同的促銷方案.
方案一:全場商 19、品打八折.
方案二:全場購物滿100元減20元,滿300元減80元,滿500元減120元,以上減免只取最高優(yōu)惠,不重復(fù)減免.利用直方圖的信息分析:哪種方案優(yōu)惠力度更大,并說明理由(直方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值)
圖1023
[解] (1)由題意知,在[400,500)元區(qū)間內(nèi)抽4張,分別記為a,b,c,d,在[500,600]元區(qū)間內(nèi)抽2張,分別記為E,F(xiàn), 2分
設(shè)“2張小票均來自[400,500)元區(qū)間”為事件A,
從中任選2張,有以下選法:ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF,共15種. 4分
20、
其中,2張小票均來自[400,500)元區(qū)間的有ab、ac、ad、bc、bd、cd,共6種,
∴P(A)=. 6分
(2)法一:由頻率分布直方圖可知,各組頻率依次為0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.
方案一:購物的平均費(fèi)用為0.8(500.1+1500.2+2500.25+3500.3+4500.1+5500.05)=0.8275=220(元). 8分
方案二:購物的平均費(fèi)用為500.1+1300.2+2300.25+2700.3+3700.1+4300.05=228(元). 10分
∵220<228,∴方案一的優(yōu)惠力度更大. 12分
法二:由頻率分布直方圖可知,各組頻率依次為0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,
方案一:平均優(yōu)惠金額為0.2(500.1+1500.2+2500.25+3500.3+4500.1+5500.05)=0.2275=55(元). 8分
方案二:平均優(yōu)惠金額為20(0.2+0.25)+80(0.3+0.1)+1200.05=
47(元). 10分
∵55>47.∴方案一的優(yōu)惠力度更大. 12分
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