《高中數(shù)學人教版A版必修一學案:第一單元 1.2.2 第2課時 分段函數(shù)及映射 Word版含答案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高中數(shù)學人教版A版必修一學案:第一單元 1.2.2 第2課時 分段函數(shù)及映射 Word版含答案(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(人教版)精品數(shù)學教學資料
第2課時 分段函數(shù)及映射
學習目標 1.理解分段函數(shù)的定義,并能解決簡單的分段函數(shù)問題(重點).2.了解映射的概念以及它與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別(難點).
預習教材P21-P22,完成下面問題:
知識點1 分段函數(shù)
分段函數(shù)的定義:
(1)前提:在函數(shù)的定義域內;
(2)條件:在自變量x的不同取值范圍內,有著不同的對應關系;
(3)結論:這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).
【預習評價】
已知函數(shù)f(x)=,則f=________,f=________.
解析 由題意得f=2-3=-2,f=f(-2)=2(-2)+3=-1.
答案?。??。?
知識點
2、2 映射
映射的定義:
【預習評價】 (正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)函數(shù)是特殊的映射.( )
(2)在映射的定義中,對于集合B中的任意一個元素在集合A中都有一個元素與之對應.( )
(3)按照一定的對應關系,從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射是同一個映射.( )
提示 (1)√ 根據(jù)映射的定義,當映射中的集合是非空數(shù)集時,該映射就是函數(shù),否則不是函數(shù);
(2) 映射可以是“多對一”,但不可以是“一對多”;
(3) 從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射不是同一個映射.
題型一 映射的概念及應用
【例1】 (1)下列對應是集合A到集
3、合B上的映射的是( )
A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3|
B.A=N*,B={-1,1,-2},f:x→(-1)x
C.A=Z,B=Q,f:x→
D.A=N*,B=R,f:x→x的平方根
(2)已知映射f:A→B,在f的作用下,A中的元素(x,y)對應到B中的元素(3x-2y+1,4x+3y-1),求:
①A中元素(-1,2)在f作用下與之對應的B中的元素.
②在映射f作用下,B中元素(1,1)對應A中的元素.
(1)解析 對于選項A,由于A中的元素3在對應關系f的作用下與3的差的絕對值在B中找不到象,所以不是映射;對于選項B,對任意的正整數(shù)x,在集合B中有唯一的1
4、或-1與之對應,符合映射的定義;對于選項C,0在f下無意義,所以不是映射;對于選項D,正整數(shù)在實數(shù)集R中有兩個平方根(互為相反數(shù))與之對應,不滿足映射的定義,故該對應不是映射.
答案 B
(2)解 ①由題意可知當x=-1,y=2時,3x-2y+1=3(-1)-22+1=-6,
4x+3y-1=4(-1)+32-1=1,故A中元素(-1,2)在f的作用下與之對應的B中的元素是(-6,1).
②設在映射f作用下,B中元素(1,1)對應A中的元素為(x,y),
則解之得,即A中的元素為.
規(guī)律方法 1.判斷一個對應是不是映射的兩個關鍵
(1)對于A中的任意一個元素,在B中是否有元素與之
5、對應.
(2)B中的對應元素是不是唯一的.
2.求對應元素的兩種類型及處理思路(映射f:A→B)
(1)若已知A中的元素a,求B中與之對應的元素b,這時只要將元素a代入對應關系f求解即可.
(2)若已知B中的元素b,求A中與之對應的元素a,這時構造方程(組)進行求解即可,需注意解得的結果可能有多個.
【訓練1】 下列各個對應中,構成映射的是( )
解析 對于A,集合M中元素2在集合N中無元素與之對應,對于C,D,均有M中的一個元素與集合N中的兩個元素對應,不符合映射的定義,故選B.
答案 B
典例遷移
題型二 分段函數(shù)求值問題
【例2】 已知函數(shù)f(x)=求f(-5
6、),f(1),f.
解 由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,
f(1)=31+5=8,f=f=f=3+5=.
【遷移1】 (變換所求)例2條件不變,若f(a)=3,求實數(shù)a的值.
解 當a≤-2時,f(a)=a+1=3,即a=2>-2,不合題意,舍去;
當-22x,求x的取值范圍.
7、解 當x≤-2時,f(x)>2x可化為x+1>2x,即x<1,所以x≤-2;
當-22x可化為3x+5>2x,即x>-5,所以-22x可化為2x-1>2x,則x∈?.
綜上可得,x的取值范圍是{x|x<2}.
規(guī)律方法 1.求分段函數(shù)函數(shù)值的方法
(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.
(2)然后代入該段的解析式求值,直到求出值為止.當出現(xiàn)f(f(x0))的形式時,應從內到外依次求值.
2.由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的方法
已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應的自變量的值,可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值,但應注意檢驗函數(shù)解析
8、式的適用范圍,也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍,確定解析式再求解.
【訓練2】 函數(shù)f(x)=若f(x0)=8,則x0=________.
解析 當x0≤2時,f(x0)=x+2=8,即x=6,
∴x0=-或x0=(舍去).
當x0>2時,f(x0)=2x0=8,∴x0=4.
綜上,x0=-或x0=4.
答案?。?
題型三 分段函數(shù)的圖象及應用
【例3】 (1)已知f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為________.
(2)已知函數(shù)f(x)=1+(-2
9、.
(1)解析 當0≤x≤1時,f(x)=-1;
當1
10、列出方程或方程組,求出該段內的解析式.
(4)下結論:最后用“{”表示出各段解析式,注意自變量的取值范圍.
2.作分段函數(shù)圖象的注意點
作分段函數(shù)的圖象時,定義域分界點處的函數(shù)取值情況決定著圖象在分界點處的斷開或連接,特別注意端點處是實心點還是空心點.
【訓練3】 已知f(x)=
(1)畫出f(x)的圖象;
(2)求f(x)的值域.
解 (1)利用描點法,作出f(x)的圖象,如圖所示.
(2)由條件知,函數(shù)f(x)的定義域為R.
由圖象知,當-1≤x≤1時,f(x)=x2的值域為[0,1],
當x>1或x<-1時,f(x)=1,所以f(x)的值域為[0,1].
11、課堂達標
1.已知函數(shù)f(x)=則f(0)=( )
A.2 B. C.1 D.0
解析 因為0∈(-∞,2),所以f(0)==1.
答案 C
2.下列圖形是函數(shù)y=x|x|的圖象的是( )
解析 y=故選D.
答案 D
3.如圖中所示的對應:
其中構成映射的個數(shù)為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由映射的定義知①②③是映射.
答案 A
4.設函數(shù)f(x)=,若f(a)=4,則實數(shù)a=________.
解析 當a≤0時,f(a)=-a=4,即a=-4;當a>0時,f(a)=a2=4,a=2(a=-2舍去),故a=-
12、4或a=2.
答案 -4或2
5.作出y=的圖象,并求y的值域.
解 y= 值域為y∈[-7,7].
圖象如右圖.
課堂小結
1.對分段函數(shù)的理解
(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù).
分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函數(shù)的圖象應分段來作,特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點處函數(shù)的取值情況,以決定這些點的虛實情況.
2.函數(shù)與映射的關系
映射f:A→B,其中A、B是兩個“非空集合”,而函數(shù)y=f(x),x∈A為“非空的實數(shù)集”,其值域也是實數(shù)集.于是,函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射.
由此可知,映射是函數(shù)的推廣,函數(shù)是一種特殊的映射.