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1、(人教版)精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料
第2課時(shí) 函數(shù)的最大值、最小值
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義(難點(diǎn)).2.會(huì)借助單調(diào)性求最值(重點(diǎn)).3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(重點(diǎn)).
預(yù)習(xí)教材P30,完成下面問(wèn)題:
知識(shí)點(diǎn) 函數(shù)的最大值與最小值
最大值
最小值
條件
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:對(duì)于任意的x∈I,都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I,使得f(x0)=M
結(jié)論
稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值
稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值
幾何
意義
f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)
f(x)
2、圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)
【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 (正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
(1)任何函數(shù)f(x)都有最大值和最小值.( )
(2)若存在實(shí)數(shù)m,使f(x)≥m,則m是函數(shù)f(x)的最小值.( )
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).( )
提示 (1) 反例:f(x)=x既無(wú)最大值,也無(wú)最小值.
(2) 若使m是f(x)的最小值,還需在f(x)的定義域內(nèi)存在x0,使f(x0)=m.
(3)√ 由于f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)的最小值是f(a),最大值
3、是f(b).
題型一 用圖象法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值
【例1】 (1)已知函數(shù)f(x)=則f(x)的最大值、最小值分別為_(kāi)_______,________.
(2)求函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,5]上的最大值與最小值.
(1)解析 作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖).由圖象可知,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最大值為f(1)=1.當(dāng)x=0時(shí),f(x)取最小值f(0)=0,
故f(x)的最大值為1,最小值為0.
答案 1 0
(2)解 任取2≤x10,
4、x1-1>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)
5、x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2).
∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,
∴x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).
(2)解 由(1)可知,f(x)在[1,4]上遞增,
∴當(dāng)x=1時(shí),
f(x)min=f(1)=2,
當(dāng)x=4時(shí),
f(x)max=f(4)=.
綜上所述,f(x)在[1,4]上的最大值是,最小值是2.
題型二 函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用
【例2】 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100
6、元,已知總收益滿足函數(shù):R(x)=其中x是儀器的月產(chǎn)量.
(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?(總收益=總成本+利潤(rùn))
解 (1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái),則總成本為20 000+100x,
從而f(x)=
(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí),f(x)=-(x-300)2+25 000;
∴當(dāng)x=300時(shí),f(x)max=25 000,
當(dāng)x>400時(shí),f(x)=60 000-100x是減函數(shù),
f(x)<60 000-100400<25 000.
∴當(dāng)x=300時(shí) ,f(x)max=25 000.
即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)
7、最大,最大利潤(rùn)為25 000元.
規(guī)律方法 求解實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟
(1)讀題:分為讀懂和深刻理解兩個(gè)層次,把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,找出問(wèn)題的主要關(guān)系(目標(biāo)與條件的關(guān)系).
(2)建模:把問(wèn)題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系,建立函數(shù)解析式,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題.
(3)求解:選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解函數(shù).
(4)評(píng)價(jià):對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估,對(duì)錯(cuò)誤加以改正,最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí),作出解釋或預(yù)測(cè).
特別提醒:求解實(shí)際問(wèn)題的步驟也可認(rèn)為分成“設(shè)元——列式——求解——作答”四個(gè)步驟.
【訓(xùn)練2】 某水廠蓄水池有水450噸,水廠每小時(shí)向蓄水池注水80噸,同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)供水,t小時(shí)內(nèi)供
8、水量為80噸.現(xiàn)在開(kāi)始向池中注水并同時(shí)向居民供水,多少小時(shí)后蓄水池中水量最少?
解 設(shè)t小時(shí)后,池中水量為y噸,則
y=450+80t-80=4(-10)2+50,
當(dāng)=10,即t=5時(shí),ymin=50,
所以5小時(shí)后蓄水池中水量最少,最少為50噸.
互動(dòng)探究
題型三 二次函數(shù)的最值
【探究1】 (1)求函數(shù)y=x2-2x+2的單調(diào)區(qū)間.
(2)求函數(shù)y=-x2-2x+2的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)函數(shù)y=x2-2x+2是開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=1的拋物線,
故其單減區(qū)間是(-∞,1),單增區(qū)間是(1,+∞).
(2)函數(shù)y=-x2-2x+2的圖象是開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=-1
9、的拋物線,故其單減區(qū)間是(-1,+∞),單增區(qū)間是(-∞,-1).
【探究2】 函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[-1,0],[-1,2],[2,3]上的最大值和最小值分別是什么?
解 函數(shù)f(x)=x2-2x+2的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=1,
(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-1,0]上的最大值為f(-1)=5,最小值為f(0)=2;
(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,則f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最小值為f(1)=1,又因?yàn)閒(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在區(qū)間[-1,2
10、]上的最大值為f(-1)=5.
(3)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為f(2)=2,最大值為f(3)=5.
【探究3】 已知函數(shù)f(x)=x2-ax+1,
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在閉區(qū)間[t,t+1](t∈R)上的最小值.
解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-ax+1的圖象開(kāi)口向上,其對(duì)稱軸為x=,
所以區(qū)間[0,1]的哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn),則在哪個(gè)端點(diǎn)取到最大值,
當(dāng)≤,即a≤1時(shí),f(x)的最大值為f(1)=2-a;
當(dāng)>,即a>1時(shí),f(x)的最大值為f(0)=1.
(2)當(dāng)a
11、=1時(shí),f(x)=x2-x+1,其圖象的對(duì)稱軸為x=.
①當(dāng)t≥時(shí),f(x)在[t,t+1]上是增函數(shù),∴f(x)min=f(t)=t2-t+1;
②當(dāng)t+1≤,即t≤-時(shí),f(x)在上是減函數(shù),
∴f(x)min=f(t+1)=t2+t+1;
③當(dāng)t<
12、
對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題,一般有如下幾種類型:
(1)區(qū)間固定,對(duì)稱軸變動(dòng)(含參數(shù)),求最值;
(2)對(duì)稱軸固定,區(qū)間變動(dòng)(含參數(shù)),求最值;
(3)區(qū)間固定,最值也固定,對(duì)稱軸變動(dòng),求參數(shù).
通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論.
課堂達(dá)標(biāo)
1.函數(shù)f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最大值分別為( )
A.3,5 B.-3,5 C.1,5 D.5,-3
解析 因?yàn)閒(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是單調(diào)遞減函數(shù),所以當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)的最小值為-3.當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)的最大值為5.
答案 B
2.函數(shù)y=x2-
13、2x,x∈[0,3]的值域?yàn)? )
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
解析 ∵函數(shù)y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y取得最小值為-1,當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)取得最大值為3,故函數(shù)的值域?yàn)閇-1,3],故選D.
答案 D
3.若函數(shù)y=ax+1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)a的值是( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
解析 由題意a≠0,當(dāng)a>0時(shí),有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;當(dāng)a<0時(shí),有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.綜上知a=
14、2.
答案 C
4.函數(shù)f(x)=-3x在區(qū)間[2,4]上的最大值為_(kāi)_______.
解析 ∵在區(qū)間[2,4]上是減函數(shù),-3x在區(qū)間[2,4]上是減函數(shù),∴函數(shù)f(x)=-3x在區(qū)間[2,4]上是減函數(shù),∴f(x)max=f(2)=-32=-4.
答案?。?
5.已知函數(shù)f(x)=求函數(shù)f(x)的最大值、最小值.
解 作出f(x)的圖象如圖:由圖象可知,當(dāng)x=2時(shí),f(x)取最大值為2;當(dāng)x=時(shí),f(x)取最小值為-.
所以f(x)的最大值為2,最小值為-.
課堂小結(jié)
1.函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的聯(lián)系
(1)對(duì)一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō),其值域是確定的,但它不一定有最
值,如函數(shù)y=.如果有最值,則最值一定是值域中的一個(gè)元素.
(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào),則f(x)的最值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得,即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a).
2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題,一般要先作出y=f(x)的草圖,然后根據(jù)圖象的增減性進(jìn)行研究.特別要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問(wèn)題的主要依據(jù),并且最大(小)值不一定在頂點(diǎn)處取得.