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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 北師大版

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1、 第八節(jié) 曲線與方程 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法.3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第146頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.曲線與方程 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系: (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解. (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn). 那么,這條曲線叫作方程的曲線;這個(gè)方程叫作曲線的方程. 2.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程

2、的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo). (2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M|p(M)}. (3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0. (4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式. (5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上. 3.圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e. (1)當(dāng)0<e<1時(shí),圓錐曲線是橢圓. (2)當(dāng)e>1時(shí),圓錐曲線是雙曲線. (3)當(dāng)e=1時(shí),圓錐曲線是拋物線. 4.兩曲線的交點(diǎn) 設(shè)曲線C1的方程為f1(x,y)=0,曲線C2的方程為

3、g(x,y)=0,則 (1)曲線C1,C2的任意一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程組 (2)反之,上述方程組的任何一組實(shí)數(shù)解都對(duì)應(yīng)著兩條曲線某一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo). [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)f(x0,y0)=0是點(diǎn)P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.(  ) (2)方程x2+xy=x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.(  ) (3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.(  ) (4)方程y=與x=y(tǒng)2表示同一曲線.(  ) [解析] 對(duì)于(2),由方程得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,所以方程表示兩條

4、直線,錯(cuò)誤;對(duì)于(3),前者表示方程,后者表示曲線,錯(cuò)誤;對(duì)于(4),曲線y=是曲線x=y(tǒng)2的一部分,錯(cuò)誤. [答案] (1)√ (2) (3) (4) 2.(教材改編)已知點(diǎn)F,直線l:x=-,點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn).若過點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是(  ) A.雙曲線    B.橢圓 C.圓 D.拋物線 D [由已知|MF|=|MB|,根據(jù)拋物線的定義知,點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線.] 3.已知點(diǎn)F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為Q,且=,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(  ) A.x2

5、=4y B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x A [設(shè)點(diǎn)P(x,y),則Q(x,-1). ∵=, ∴(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2), 即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y, ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=4y.故選A.] 4.已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|=3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為__________. (x-10)2+y2=36(y≠0) [設(shè)A(x,y), 則D ∴|CD|==3, 化簡(jiǎn)得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形, ∴A不能落在x軸上,即y≠0.

6、] 5.過橢圓+=1(a>b>0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是________. +=1 [設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x,y),則點(diǎn)M(x,2y),又點(diǎn)M在橢圓上,∴+=1,即所求的軌跡方程為+=1.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第147頁) 直接法求軌跡方程  設(shè)F(1,0),M點(diǎn)在x軸上,P點(diǎn)在y軸上,且=2,⊥,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)N的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140299】 [解] 設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), ∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0), ∴(x0,-y0)(1,-y0)=0,∴x0+y=0.

7、 由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0), ∴即 ∴-x+=0,即y2=4x. 故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2=4x. [規(guī)律方法] 用直接法求曲線方程的關(guān)鍵是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,但要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟,但最后的證明可以省略. [跟蹤訓(xùn)練] (1)設(shè)點(diǎn)A為圓(x-1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點(diǎn)的軌跡方程為(  ) A.y2=2x     B.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2 (2)已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊

8、的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程為(  ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x≠2) D.x2+y2=4(x≠2) (1)D (2)D [(1)如圖,設(shè)P(x,y),圓心為M(1,0).連接MA,PM,則MA⊥PA,且|MA|=1, 又∵|PA|=1, ∴|PM|==,即|PM|2=2, ∴(x-1)2+y2=2. (2)設(shè)P(x,y),∵△MPN為以MN為斜邊的直角三角形, ∴|MP|2+|NP|2=|MN|2, ∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16, 整理得x2+y2=4. ∵M(jìn),N,P不共線,∴x≠2, ∴軌跡方程為x2

9、+y2=4(x≠2),故選D.] 定義法求軌跡方程  如圖881所示,已知點(diǎn)C為圓(x+)2+y2=4的圓心,點(diǎn)A(,0).P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在的直線上,且=0,=2 .當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程. 圖881 [解] 由(x+)2+y2=4知圓心C(-,0),半徑r=2. ∵=0,=2, ∴MQ⊥AP,點(diǎn)M為AP的中點(diǎn), 因此QM垂直平分線段AP. 如圖,連接AQ,則|AQ|=|QP|, ∴||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=2. 又|AC|=2>2, 根據(jù)雙曲線的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以C(-,0),A(

10、,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線. 由c=,a=1,得b2=1, 因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2-y2=1.  若將本例中的條件“圓C的方程(x+)2+y2=4”改為“圓C的方程(x+)2+y2=16”,其他條件不變,求點(diǎn)Q的軌跡方程. [解] 由(x+)2+y2=16知圓心C(-,0),半徑r=4. ∵=0,=2 , ∴QM垂直平分AP,連接AQ, 則|AQ|=|QP|, ∴|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=r=4. 根據(jù)橢圓定義,點(diǎn)Q的軌跡是以C(-,0),A(,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓. 由c=,a=2,得b=. 因此點(diǎn)Q的軌跡方程為+=1. [規(guī)律方

11、法] 定義法求軌跡方程的方法、關(guān)鍵及注意點(diǎn) (1)求軌跡方程時(shí),若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型,再寫出其方程. (2)關(guān)鍵:理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵. (3)利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制. [跟蹤訓(xùn)練] (1)若動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x=-5的距離小1,則點(diǎn)M的軌跡方程是(  ) A.x=-4 B.x=4 C.y2=8x D.y2=16x (2)已知A(-5,0),B(5,0),

12、動(dòng)點(diǎn)P滿足||,||,8成等差數(shù)列,則點(diǎn)P的軌跡方程為________. (1)D (2)-=1(x≥4) [(1)依題意可知點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線x=-4的距離,因此點(diǎn)M的軌跡是拋物線,且頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上,p=8,所以點(diǎn)M的軌跡的方程為y2=16x,故選D. (2)由已知得||-||=8, 所以點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支, 且a=4,b=3,c=5, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為-=1(x≥4).] 相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程  (20xx全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足=.

13、 (1)求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且=1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. [解] (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0), 則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由=得x0=x,y0=y(tǒng). 因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以+=1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)證明:由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則 =(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn, =(m,n),=(-3-m,t-n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3

14、m-tn=0. 所以=0,即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. [規(guī)律方法] “相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟 (1)設(shè)點(diǎn):設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1). (2)求關(guān)系式:求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換:將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx武漢模擬)P是橢圓+=1上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足=+,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140300】 +=1 [作P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)M,連接F1M,F(xiàn)2M,則四邊形F1PF2M為平行四邊形, 所以+==-2. 又=+, 所以=-. 設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),則x0=-,且y0=-, 又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓+=1上, 則有+=1,即+=1.]

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