第六課時(shí) 不等關(guān)系與不等式 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.掌握不等式的性質(zhì)；結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識(shí)考查不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用． 2.不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用，要弄清條件和結(jié)論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大． 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1．不等式的定義 在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式． 2．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小 兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的， 有a－b＞0? ；a－b＝0? ；a－b＜0? . 另外，若b＞0，則有＞1? ；＝1? ；＜1? . 概括為：作差法，作商法，中間量法等. 3．不等式的性質(zhì) (1)對(duì)稱性：a＞b? ； (2)傳遞性：a＞b，b＞c? ； (3)可加性：a＞b?a＋c b＋c，a＞b，c＞d?a＋c b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0? ； (5)可乘方：a＞b＞0? (n∈N，n≥2)； (6)可開方：a＞b＞0? (n∈N，n≥2)． 復(fù)習(xí)指導(dǎo) 1.“一個(gè)技巧” 作差法變形的技巧：作差法中變形是關(guān)鍵，常進(jìn)行因式分解或配方． 2.“ 一種方法”待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時(shí)，先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式，再利用多項(xiàng)式相等的法則求出參數(shù)，最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍． 3.“兩條常用性質(zhì)” (1)倒數(shù)性質(zhì)：①a＞b，ab＞0?＜； ②a＜0＜b?＜； ③a＞b＞0,0＜c＜d?＞； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜. (2)若a＞b＞0，m＞0，則 ①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：＜； ＞(b－m＞0)； ②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：＞； ＜(b－m＞0)． 預(yù)習(xí)自測(cè) 1．給出下列命題：①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；③a＞b?a3＞b3； ④|a|＞b?a2＞b2.其中正確的命題是( )． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．已知a，b，c∈R，則“a＞b”是“ac2＞bc2”的( )． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知a＞b，c＞d，且c，d不為0，那么下列不等式成立的是( )． A．a(chǎn)d＞bc B．a(chǎn)c＞bd C．a(chǎn)－c＞b－d D．a(chǎn)＋c＞b＋d 4. 若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin，則( )． A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 5. 與＋1的大小關(guān)系為________． 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)1 比較大小 【典例1】（2012高考陜西文10）小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為a和b（a<b），其全程的平均時(shí)速為v，則 （ ） A.a<v< B.v= C. <v< D.v= 【變式1】（1） 已知a，b∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是( )． A.＞1 B．a(chǎn)2＞b2 C．lg(a－b)＞0 D.a＜b （2） 若0＜x＜1，a＞0且a≠1，則|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小關(guān)系是( )． A．|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| B．|loga(1－x)|＜|loga(1＋x)| C．不確定，由a的值決定 D．不確定，由x的值決定 考點(diǎn)2 不等式的性質(zhì) 【典例2】（2012高考湖南文7）設(shè) a＞b＞1， ，給出下列三個(gè)結(jié)論＞ ；② ＜ ； ③ ， 其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是 . A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【變式2】 已知三個(gè)不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③＞.以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個(gè)數(shù)是( )． A．0 B．1 C．2 D．3 考點(diǎn)3 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【典例3】已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍． 方法總結(jié)：由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質(zhì)求得F(x，y)的取值范圍． 【變式3】 若，β滿足試求＋3β的取值范圍． 考點(diǎn)4 利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式 【典例4】設(shè)a＞b＞c，求證：＋＋＞0. 方法總結(jié)：(1)運(yùn)用不等式性質(zhì)解決問題時(shí)，必須注意性質(zhì)成立的條件． (2)同向不等式的可加性與可乘性可推廣到兩個(gè)以上的不等式． 【變式4】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞. 當(dāng)堂檢測(cè) 1.【2012高考四川文16】設(shè)為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題： ①若，則；②若，則； ③若，則；④若，則。 其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號(hào)） 2. 設(shè)m=2a2+2a+1，n=(a+1)2，則m、n的大小關(guān)系是 。 3. 若(a+1)2>(a+1)3(a≠-1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。 4.已知a>b，且ab0，試比較和的大小。 5.已知x>1，求證：x3-1>2x2-2x。 課后拓展案 A組全員必做題 1.設(shè)x<a<0，則下列各不等式一定成立的是（ ） A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 2.若α∈（0，），β∈[0，]，則2α+的范圍是（ ） A.（0，） B.（-，） C.（0，π） D.（-，π） 3.若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a<b，則（ ） A.a2<b2 B. C.lg(b-a)>0 D.a5<b5 4.已知a>b>0，且c>d>0，則與的大小關(guān)系是 。 5.已知60<x<84，28<y<33，則x-y的取值范圍為 ，的取值范圍為 。 B組提高選做題 1.若，Q=a2-a+1，試比較P和Q的大小。 2.若a>b>0，c<d<0，求證：. 參考答案 預(yù)習(xí)自測(cè) 1.B 2.B 3.D 4.A 5. 典型例題 【典例1】A 【變式1】（1）D （2）A 【典例2】D 【變式2】D 【典例3】解：設(shè)，，． 設(shè)，則， ∴． ∴解得 ∵，． ∴，， ∴． 【變式3】解：， ∴解得 ∵，， ∴． 【典例4】證明： ∵， ∴，，． ∴上式， 故． 【變式4】證明：∵，∴． 又∵，∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 當(dāng)堂檢測(cè) 1.①④ 2. 3.且 4.解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 5.證明： ∵， ∴，， ∴， ∴． A組全員必做題 1.B 2.C 3.D 4. 5．；. B組提高選做題 1.解： ， ∴． 2.證明：∵，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．