精編北師大版數學資料 9　三角函數的簡單應用 1．能用三角函數研究簡單的實際問題，尤其是周期性問題．(重點) 2．將實際問題抽象為三角函數模型．(難點) [基礎初探] 教材整理　三角函數模型的應用 閱讀教材P58～P59練習以上部分，完成下列問題． 1．三角函數模型的應用 (1)根據實際問題的圖像求出函數解析式． (2)將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型． (3)利用收集的數據，進行函數擬合，從而得到函數模型． 2．解答三角函數應用題的一般步驟 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)函數y＝sin x在第一象限內是增函數．(　　) (2)函數y＝3sin x－1的最大值為3.(　　) (3)直線x＝π是函數y＝sin x的一條對稱軸．(　　) (4)函數y＝sin(πx－4)的周期為2.(　　) 【解析】　(1)由正弦函數圖像知，正確；(2)最大值應該是3－1＝2；(3)x＝＋kπ(k∈Z)是y＝sin x的對稱軸；(4)T＝＝2. 【答案】　(1)√　(2)　(3)　(4)√ [質疑手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 三角函數在物理學中的應用 　交流電的電壓E(單位：V)與時間t(單位：s)的關系可用E＝220sin來表示，求： (1)開始時電壓； (2)電壓值重復出現一次的時間間隔； (3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時間． 【精彩點撥】　(1)求t＝0時所對應的電壓． (2)求函數的周期．(3)求函數的最值． 【自主解答】　(1)當t＝0時，E＝110(V)，即開始時的電壓為110V. (2)T＝＝(s)，即時間間隔為0.02 s. (3)電壓的最大值為220V， 當100πt＋＝，即t＝(s)時第一次取得最大值． 由于物理學中的單擺、光學、機械波、電學等知識都具有周期性，且均符合函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的變換規(guī)律，因此可借助于三角函數模型來研究物理學中的相關現象． [再練一題] 1.如圖1－9－1，一彈簧上掛的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的變化曲線是一個三角函數的圖像，求： 圖1－9－1 (1)經過多長時間，小球往復振動一次； (2)這條曲線的函數解析式； (3)小球開始振動時，離開平衡位置的位移． 【解】　(1)由圖像可知，周期T＝2＝π， 所以小球往復振動一次所需要的時間為π s. (2)由題意可設該曲線的函數解析式為 s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)． 從圖像中可以看出A＝4，又＝π，所以ω＝2. 從而s＝4sin(2t＋φ)，將t＝，s＝4代入上式， 得sin＝1，所以φ＝. 故這條曲線的函數解析式為 s＝4sin，t∈[0，＋∞)． (3)當t＝0時，s＝4sin ＝2(cm)．故小球開始振動時，離開平衡位置的位移是2 cm. [探究共研型] 三角函數的實際應用 探究1　建立三角函數模型解決實際問題的思路是什么？ 【提示】(1)先尋找與角有關的信息，確定選用正弦、余弦還是正切函數模型． (2)其次是搜集數據，建立三角函數解析式并解題． (3)最后將所得結果翻譯成實際答案． 探究2　如何建立擬合函數模型？ 【提示】　(1)利用搜集到的數據，作出相應的“散點圖”． (2)觀察“散點圖”，并進行數據擬合，獲得具體的函數模型． (3)利用這個函數模型解決相應的實際問題，并進行檢驗． 探究3　由圖像怎樣確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b中的A和b. 【提示】　A＝，b＝. 　某港口的水深y(單位：m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數，下面是水深數據： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根據上述數據描出曲線，如圖1－9－2所示，經擬合，該曲線可近似地看做函數y＝Asin ωt＋b的圖像． 圖1－9－2 (1)試根據以上數據，求函數解析式； (2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5 m時是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7 m，那么該船何時能進入港口？在港口能待多久？ 【精彩點撥】　(1)根據題意確定A，b，ω，φ. (2)根據題意水深y≥11.5可求解． 【自主解答】　(1)從擬合曲線可知，函數y＝Asin ωt＋b在一個周期內由最大變到最小需9－3＝6(h)，此為半個周期，∴函數的最小正周期為12 h， 因此＝12，得ω＝. ∵當t＝0時，y＝10，∴b＝10. ∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3. ∴所求函數的解析式為y＝3sint＋10(0≤t≤24)． (2)由于船的吃水深度為7 m，船底與海底的距離不少于4.5 m，故在船舶航行時水深y應不小于7＋4.5＝11.5(m)． ∴當y≥11.5時就可以進港． 令y＝3sint＋10≥11.5，得sint≥， ∴＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)， ∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)． 取k＝0，則1≤t≤5；取k＝1，則13≤t≤17； 取k＝2，則25≤t≤29(不合題意)． 因此，該船可以在凌晨1點進港，5點出港或在13點進港，17點出港，每次可以在港口停留4小時． 根據給出的函數模型，利用表中的數據，找出變化規(guī)律，運用已學的知識與三角函數的知識，求出函數解析式中的參數，將實際問題轉化為三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使問題得以解決． [再練一題] 2．已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數據： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 經長期觀測，y＝f(t)的圖像可近似地看成函數y＝Acos ωt＋b的圖像． (1)根據以上數據，求其最小正周期，振幅及函數解析式； (2)根據規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？ 【解】　(1)由表中數據可知，T＝12，所以ω＝. 又t＝0時，y＝1.5， 所以A＋b＝1.5；t＝3時，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅為，函數解析式為y＝cost＋1(0≤t≤24)． (2)因為y>1時，才對沖浪愛好者開放，所以 y＝cost＋1>1，cost>0， 2kπ－<t<2kπ＋， 即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)． 又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24， 所以在規(guī)定時間內只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動，即9<t<15. [構建體系] 1．如圖1－9－3所示為一簡諧振動的圖像，則下列判斷正確的是(　　) 圖1－9－3 A．該質點的振動周期為0.7 s B．該質點的振幅為5 cm C．該質點在0.1 s和0.5 s時振動速度最大 D．該質點在0.3 s和0.7 s時的加速度為零 【解析】　由圖像可知，該質點的振動周期是2(0.7－0.3)＝0.8，故A不正確；振幅為5 cm，故選B. 【答案】　B 2．某人的血壓滿足函數關系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數為(　　) A．60　　　 B．70　　　 C．80　　　 D．90 【解析】　∵T＝＝，∴f＝＝80. 【答案】　C 3．如圖1－9－4所示，是一彈簧振子作簡諧振動的圖像，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振子的位移，則這個振子振動的函數解析式是________. 【導學號：66470033】 圖1－9－4 【解析】　設函數解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，則由題意得 A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8， ∴ω＝＝π.又π0.1＋φ＝，∴φ＝， ∴解析式為y＝2 sin. 【答案】　y＝2sin 4．某同學利用描點法畫函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，列出的部分數據如下表： x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 －1 －2 經檢查，發(fā)現表格中恰有一組數據計算錯誤，請你根據上述信息推斷函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式應是________． 【解析】　在平面直角坐標系中描出這五個點，如圖所示． 根據函數圖象的大致走勢， 可知點(1,0)不符合題意； 又∵0<A≤2， 函數圖象過點(4，－2)，∴A＝2， ∵函數圖象過點(0,1)，∴2sin φ＝1. 又∵－<φ<，∴φ＝， 由(0,1)，(2,1)關于直線x＝1對稱， 知x＝1時函數取得最大值2， ∴函數的最小正周期為6. ∴ω＝. 【答案】　y＝2sin 5．如圖1－9－5，某地夏天8～14時用電量變化曲線近似滿足函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b. 圖1－9－5 (1)求這一天的最大用電量及最小用電量； (2)寫出這段曲線的函數解析式． 【解】　(1)由題圖可知，一天最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度． (2)b＝＝40，A1＋40＝50?A＝10， 由圖可知，＝14－8＝6， 則T＝12，ω＝＝， 則y＝10sin＋40， 代入(8,30)得φ＝， ∴解析式為y＝10sin＋40，x∈[8,14]． 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________