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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第二章綜合素質(zhì)檢測 時間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知拋物線C：y2＝x與直線l：y＝kx＋1，“k≠0”是“直線l與拋物線C有兩個不同的交點”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　由(kx＋1)2＝x，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，則當(dāng)k≠0時，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1>0，得k<且k≠0.故“k≠0”推不出“直線l與拋物線C有兩個不同的交點

2、”，但“直線l與拋物線C有兩個不同的交點”能推出“k≠0”．故選B. 2．若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A．{－1，－，1，} B．(－∞，－)∪(，＋∞) C．{－，} D．(－∞，－1)∪[，＋∞) [答案]　A [解析]　由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，所以1－k2＝0或，解得k＝1或k＝. 3．(2014洛陽市期末)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(，0)，直線y＝x與橢圓的一個交點的橫坐標(biāo)為2，則橢圓方程為(　　) A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　C [解析]　由

3、橢圓過點(2,2)，排除A、B、D，選C. 4．(2015新課標(biāo)Ⅰ文，5)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 [答案]　B [解析]　因為y2＝8x，拋物線方程為y2＝2px，焦點坐標(biāo)為(，0)，所以焦點為(2,0)．因為E右焦點與拋物線焦點重合，所以c＝2，設(shè)橢圓方程為＋＝1，離心率e＝＝，所以a＝4， b2＝a2－c2＝16－4，則橢圓方程為＋＝1，拋物線準(zhǔn)線為x＝－＝－2，當(dāng)x＝－2時，y＝3，則|AB|＝23＝6.故本題正確答案為B. 5．

4、(2015湖南文，6)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　由題利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過的點(3，－4)，得到a、b關(guān)系式，然后求出雙曲線的離心率即可．因為雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)， ∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝，故選D. 6．(2014寧夏銀川一中二模)從拋物線y2＝4x上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積(　　) A．5 B．10 C．20 D． [答案]　B [解析]　設(shè)P(x0，y0)

5、，則由拋物線定義知x0＋1＝5， ∴x0＝4 故y0＝4，所以S△MPF＝54＝10. 7．已知a>b>0，e1，e2分別為圓錐曲線＋＝1和－＝1的離心率，則lge1＋lge2(　　) A．大于0且小于1 B．大于1 C．小于0 D．等于1 [答案]　C [解析]　∵lge1＋lge2＝lg＋lg ＝lg

6、]　如果設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則拋物線過點(40,30)，302＝2p40,2p＝，所以拋物線的方程應(yīng)為y2＝x，所給選項中沒有y2＝x，但方程x2＝－y中的“2p”值為，所以選項C符合題意． 9．(2014山東省煙臺市期末)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋2相切，則此雙曲線的離心率等于(　　) A．2 B．3 C. D．9 [答案]　B [解析]　由題意雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，代入拋物線方程y＝x2＋2整理得x2－x＋2＝0， 因漸近線與拋物線相切，∴Δ＝(－)2－8＝0， 即()2＝8， ∴此雙曲線

7、的離心率e＝＝＝＝3.故選B. 10．已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1且傾斜角為45的直線l交橢圓于A、B兩點，對以下結(jié)論： ①△ABF2的周長為8；②原點到l的距離為1；③|AB|＝.其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　) A．3　　 B．2　　 C．1　　 D．0 [答案]　A [解析]?、儆蓹E圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝4，|BF1|＋|BF2|＝4， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，所以△ABF2的周長＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，①正確； ②由條件，得F1(－，0)，因為過F1且傾斜角為45的直線l的斜率為1，故直線l的方程為y＝x＋，原

8、點到l的距離d＝＝1，故②正確； ③由，消去y，得3x2＋4x＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＋x2＝－，x1x2＝0， 所以|AB|＝＝，故③正確． 二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上) 11．若拋物線y2＝mx與橢圓＋＝1有一個共同的焦點，則m＝________. [答案]　8 [解析]　橢圓焦點為(－2,0)和(2,0)，因為拋物線與橢圓有一個共同焦點，故m＝8. 12．已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與該雙曲線的右支交于A，B兩點，若|AB|＝5，則△ABF1的周長為_______

9、_． [答案]　26 [解析]　由雙曲線的定義，知|AF1|－|AF2|＝2a＝8，|BF1|－|BF2|＝8， ∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝16. 又∵|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝5， ∴|AF1|＋|BF1|＝16＋5＝21. ∴△ABF1的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26. 13．(2014哈三中二模)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線的一個交點的縱坐標(biāo)為－1，則雙曲線的離心率為________． [答案]　 [解析]　拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程x＝－2，∴交點坐標(biāo)為(－2，－1)，∴雙曲

10、線的漸近線方程y＝x，即＝，∴e＝＝. 14．曲線x2＋(y－1)2＝4與直線y＝k(x－2)＋4有兩個不同的交點，則k的取值范圍是________． [答案]　(，＋∞) [解析]　由 得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0， Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝48k－20. ∴Δ>0，即k>時，直線與曲線有兩個不同的交點． 15．一個正三角形三個頂點都在拋物線y2＝4x上，其中一個頂點為坐標(biāo)原點，則這個三角形的面積為________． [答案]　48 [解析]　設(shè)△ABC的頂點C在原點，則直線AB⊥x軸， 由 得A

11、(12,4)，B(12，－4)， ∴S△ABC＝812＝48. 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)與雙曲線－＝1有公共焦點，且過點(6，)的雙曲線； (2)以橢圓3x2＋13y2＝39的焦點為焦點，以直線y＝為漸近線的雙曲線． [答案]　(1)－＝1　(2)－＝1 [解析]　(1)∵雙曲線－＝1的焦點為(2，0)， ∴設(shè)所求雙曲線方程為：－＝1(20－a2>0) 又點(6，)在雙曲線上， ∴－＝1，解得a2＝18或80(舍去)， ∴所求雙曲線方程為－＝1. (2)橢圓3x2＋13y

12、2＝39可化為＋＝1， 其焦點坐標(biāo)為(，0)， ∴所求雙曲線的焦點為(，0)， 設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0) ∵雙曲線的漸近線為y＝x， ∴＝，∴＝＝＝， ∴a2＝8，b2＝2， 即所求的雙曲線方程為：－＝1. 17．如圖是拋物線形拱橋，設(shè)水面寬|AB|＝18m，拱頂離水面的距離為8m，一貨船在水面上的部分的橫斷面為一矩形CDEF.若矩形的長|CD|＝9m，那么矩形的高|DE|不能超過多少m才能使船通過拱橋？ [答案]　6m [解析]　如圖，以O(shè)點為原點，過O且平行于AB的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．則B(9，－8)，設(shè)拋物線方程

13、為x2＝－2py(p>0)． ∵點B在拋物線上，∴81＝－2p(－8)， ∴p＝， ∴拋物線的方程為x2＝－y， ∴當(dāng)x＝時，y＝－2，∴|DE|＝6， ∴當(dāng)矩形的高|DE|不超過6m時，才能使船通過拱橋． 18．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點．求證： (1)x1x2為定值； (2)＋為定值． [證明]　(1)拋物線y2＝2px的焦點為F(，0)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－)(k≠0)． 由消去y， 得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2＝(定值)． 當(dāng)AB⊥x軸時，x1

14、＝x2＝，x1x2＝，也成立． (2)由拋物線的定義，知|FA|＝x1＋， |FB|＝x2＋. ＋＝＋ ＝ ＝＝(定值)． 當(dāng)AB⊥x軸時，|FA|＝|FB|＝p，上式仍成立． 19．(2014云南景洪市一中期末)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

15、l的方程為y＝x＋c，其中c＝ 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點坐標(biāo)滿足方程組 消去y化簡得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為直線AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1| 即＝|x2－x1|. 則＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝－＝， 解得b＝. 20．已知雙曲線－＝1的離心率e＝，過A(a,0)，B(0，－b)的直線到原點的距離是. (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線y＝kx＋5(k≠0)交雙曲線于不同的點C，D，且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值． [答案]　(1)－y2＝1　(2) [解

16、析]　(1)雙曲線的離心率e＝＝. ① 過A，B的直線為－＝1， 即bx－ay－ab＝0. ∵原點到直線AB的距離為， ∴＝＝， ② 由①②，得b＝1. ∴＝＝1＋＝. ∴a2＝3，∴雙曲線的方程為－y2＝1. (2)由，得(1－3k2)x2－30kx－78＝0. ∴x1＋x2＝. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中點M(x0，y0)， 則x0＝＝，y0＝kx0＋5＝. ∴MB的斜率kMB＝＝－. ∴x0＋ky0＋k＝0， 即＋＋k＝0. 解得k2＝7，∴k＝. 21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩

17、個不同的交點P和Q. (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由． [答案]　(1)∪　(2)k值不存在 [解析]　(1)由已知條件，直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程整理得x2＋2kx＋1＝0. ① ∵直線l與橢圓有兩個不同的交點， ∴Δ＝8k2－4＝4k2－2>0， 解得k<－或k>. 即k的取值范圍為∪. (2)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)， 則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①，x1＋x2＝－. ② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. ③ 又A(，0)，B(0,1)，∴＝(－，1)． ∵＋與共線， ∴x1＋x2＝－(y1＋y2)， ④ 將②③代入④式，解得k＝. 由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k.