精編北師大版數(shù)學(xué)資料 【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.1.2函數(shù)的極值練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．(2014新課標(biāo)Ⅱ文，3)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則(　　) A．p是q的充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 [答案]　C [解析]　∵x＝x0是f(x)的極值點，∴f′(x0)＝0，即q?p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是極值點，故pq，故選C. 2．函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(　　) A．極大值為5，極小值為－27 B．極大值為5，極小值為－11 C．極大值為5，無極小值 D．極大值為－27，無極小值 [答案]　C [解析]　f′(x)＝3x2－6x－9 ＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)． 當(dāng)x∈(－2，－1)時，f′(x)>0； 當(dāng)x∈(－1,2)時，f′(x)<0. ∴當(dāng)x＝－1時，f(x)有極大值，且f(x)極大值＝f(－1)＝5，無極小值． 3．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a、b的值分別為(　　) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 [答案]　A [解析]　因為f′(x)＝3ax2＋b， 所以f′(1)＝3a＋b＝0. ① 又x＝1時有極值－2，所以a＋b＝－2. ② 由①②解得a＝1，b＝－3. 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx，則 (　　) A．x＝e為f(x)的極大值點 B．x＝e為f(x)的極小值點 C．x＝為f(x)的極大值點 D．x＝為f(x)的極小值點 [答案]　D [解析]　f′(x)＝lnx＋1， 令f′(x)>0，得x>， 令f′(x)<0，得x<， ∴函數(shù)f(x)在(0，)上遞減，在(，＋∞)上遞增，∴當(dāng)x＝時，f(x)取得極小值． 5．下圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像，給出下列命題： ①x＝－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點； ②x＝－1是函數(shù)y＝f(x)的最小值點； ③曲線y＝f(x)在x＝0處的切線斜率小于零； ④函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3,1)上單調(diào)遞增． 其中，正確命題的序號是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ [答案]　B [解析]　f′(－3)＝0，且在x＝－3的兩側(cè)，導(dǎo)函數(shù)由負(fù)到正，所以x＝－3為f(x)的極小值點．當(dāng)x∈(－3，－1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以①④正確． 6．(2014湖北重點中學(xué)期中聯(lián)考)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的極值點，則(　　) A．a(chǎn)<－ B．a(chǎn)>－1 C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)>－ [答案]　C [解析]　y′＝ex＋a，由題意知a<0. ∵函數(shù)有大于零的極值點x＝x0， ∴ex0＋a＝0，且x0>0， ∴a<－1，故選C. 二、填空題 7．函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋2x取得極小值時，x的值是________． [答案]?。? [解析]　f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)， 令f′(x)>0得－1<x<2，令f′(x)<0，得x<－1或x>2，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上遞減，在(－1,2)上遞增， ∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)f(x)取得極小值． 8．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處取極大值，則常數(shù)c的值為________． [答案]　6 [解析]　f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x， f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f ′(2)＝0解得c＝2或6. 當(dāng)c＝2時，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)， 故f(x)在x＝2處取得極小值，不合題意舍去； 當(dāng)c＝6時，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12) ＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2處取得極大值． 三、解答題 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(2)＝15. (1)求函數(shù)f(x)的圖像在x＝0處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． [答案]　(1)y＝－9x　(2)極大值27，極小值－5 [解析]　(1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9， ∵f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3. ∴f(x)＝x3＋3x2－9x， ∴f′(x)＝3x2＋6x－9， ∴f(0)＝0，f′(0)＝－9， ∴函數(shù)在x＝0處的切線方程為y＝－9x. (2)令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1. 當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  27  －5  即函數(shù)f(x)在(－∞，－3)上遞增，在(－3,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，∴當(dāng)x＝－3時，f(x)有極大值27，當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值－5. 10．設(shè)y＝f(x)為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點對稱，當(dāng)x＝時，f(x)的極小值為－1，求函數(shù)f(x)的解析式． [答案]　f(x)＝4x3－3x [解析]　設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因為其圖像關(guān)于原點對稱，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d， ∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx. 由f ′(x)＝3ax2＋c， 依題意，f ′＝a＋c＝0，f＝a＋＝－1， 解之，得a＝4，c＝－3. 故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝4x3－3x. 一、選擇題 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則(　　) A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點 C．x＝－1為f(x)的極大值點 D．x＝－1為f(x)的極小值點 [答案]　D [解析]　求導(dǎo)得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，當(dāng)x<－1時，f′(x)<0；當(dāng)x>－1時，f′(x)>0，從而x＝－1是函數(shù)f(x)的極小值點． 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋a在x＝1處均有極值，且f(－1)＝－1，則a、b、c的值為(　　) A．a(chǎn)＝－1，b＝0，c＝－1 B．a(chǎn)＝，b＝0，c＝－ C．a(chǎn)＝－3，b＝0，c＝－3 D．a(chǎn)＝3，b＝0，c＝3 [答案]　C [解析]　∵f ′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴由題意得， ，即， 解得a＝－3，b＝0，c＝－3. 3．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、極小值分別為(　　) A.，0 B．0， C．－，0 D．0，－ [答案]　A [解析]　f ′(x)＝3x2－2px－q， 由f ′(1)＝0，f(1)＝0得， ，解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x. 由f ′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1， 易得當(dāng)x＝時f(x)取極大值. 當(dāng)x＝1時f(x)取極小值0. 4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是(　　) A．－1<a<2 B．－3<a<6 C．a(chǎn)<－1或a>2 D．a(chǎn)<－3或a>6 [答案]　D [解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， ∵f(x)有極大值與極小值， ∴f ′(x)＝0有兩不等實根， ∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6. 二、填空題 5．直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖像有相異的三個公共點，則a的取值范圍是________． [答案]　(－2,2) [解析]　f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，當(dāng)x<－1，或x>1時，f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)－1<x<1時，f ′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． ∴x＝－1時，f(x)取到極大值f(－1)＝2，x＝1時，f(x)取到極小值f(1)＝－2，∴欲使直線y＝a與函數(shù)f(x)的圖像有相異的三個公共點，應(yīng)有－2<a<2. 6．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值等于13，則實數(shù)m＝________. [答案]　－19 [解析]　y′＝－3x2＋12x，令y′＝0得x＝0或x＝4， ∴函數(shù)在(－∞，0)遞減，(0,4)遞增，(4，＋∞)遞減， ∴x＝4時，ymax＝13， ∴－43＋642＋m＝13，∴m＝－19. 三、解答題 7．(2015重慶文，19)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－處取得極值． (1)確定a的值； (2)若g(x)＝f(x)ex，討論g(x)的單調(diào)性． [答案]　(1)　(2)g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)內(nèi)為減函數(shù)，(－4，－1)和(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù) [解析]　(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2＋2x因為f(x)在x＝－處取得極值，所以f′(－)＝0，即3a＋2(－)＝－＝0，解得a＝. (2)由(1)得，g(x)＝ex.故g′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex，令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.當(dāng)x<－4時，g′(x)<0，故g(x)為減函數(shù)；當(dāng)－4<x<－1時，g′(x)>0，故g(x)為增函數(shù)；當(dāng)－1<x<0時，g′(x)<0，故g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>0時，g′(x)>0，故g(x)為增函數(shù)；綜上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)內(nèi)為減函數(shù)，(－4，－1)和(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)． 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax. (1)當(dāng)a＝0時，求f(x)的極值； (2)當(dāng)a≠0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． [答案]　(1)f(x)極小值＝f()＝2－2ln2，沒有極大值　(2)當(dāng)a>0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，]，單調(diào)遞增區(qū)間為[，＋∞)；當(dāng)a<－2時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，－]，[，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－，]；當(dāng)a＝－2時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)－2<a<0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，]，[－，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為[，－] [解析]　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 當(dāng)a＝0時，f(x)＝2lnx＋，∴f′(x)＝－＝. 由f′(x)＝0得x＝.f(x)，f′(x)隨x的變化如下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  由上表可知，f(x)極小值＝f()＝2－2ln2，沒有極大值． (2)由題意，知f′(x)＝.令f′(x)＝0得x1＝－，x2＝. 若a>0，由f′(x)≤0得x∈(0，]；由f′(x)≥0得x∈[，＋∞)． 若a<0，當(dāng)a<－2時，－<，由f′(x)≤0得x∈(0，－]或x∈[，＋∞)；由f′(x)≥0得x∈[－，]． 當(dāng)a＝－2時，f′(x)≤0.當(dāng)－2<a<0時，－>，由f′(x)≤0得x∈(0，]或x∈[－，＋∞)；由f′(x)≥0得x∈[，－]． 綜上，當(dāng)a>0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，]，單調(diào)遞增區(qū)間為[，＋∞)；當(dāng)a<－2時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，－]，[，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－，]；當(dāng)a＝－2時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)－2<a<0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，]，[－，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為[，－]．