精編北師大版數學資料 第三章　3.4　第2課時直線與圓錐曲線的交點 一、選擇題 1．設直線y＝a(a∈R)與曲線y＝|3－x2|的公共點個數為m，那么下列不能成立的是(　　) A．m＝4　　　　　 B．m＝3 C．m＝2 D．m＝1 [答案]　D [解析]　利用數形結合，易得兩曲線不可能有一個公共點． 2．拋物線與直線有一個公共點是直線與拋物線相切的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　當直線與拋物線的對稱軸平行時，與拋物線也有一個公共點． 3．已知橢圓x2＋2y2＝4，則以(1,1)為中點的弦的長度為(　　) A．3 B．2 C． D． [答案]　C [解析]　依題設弦端點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x＋2y＝4，x＋2y＝4， ∴x－x＝－2(y－y)， ∴此弦斜率k＝＝－＝－， ∴此弦直線方程y－1＝－(x－1)， 即y＝－x＋代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0， ∴x1·x2＝，x1＋x2＝2. ∴|AB|＝·＝·＝. 4．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦點F作弦AB，若|AF|＝d1，|FB|＝d2，則＋的值為(　　) A． B． C． D．與AB的斜率有關 [答案]　B [解析]　(特例法)弦AB垂直于x軸時，將x＝c代入橢圓方程得y＝±，此時d1＝d2＝，則＋＝.弦AB在x軸上時，d1＝a＋c，d2＝a－c，∴＋＝＋＝＝. 5．若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，那么k的取值范圍是(　　) A．(－，) B．(0，) C．(－，0) D．(－，－1) [答案]　D [分析]　直線與雙曲線右支交于不同兩點，則由直線與雙曲線消去y得到的方程組應有兩正根，從而Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，二次項系數≠0. [解析]　由得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 由題意，得 解得－<k<－1. 6．(2014·陜西工大附中四模)F1、F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　如圖，由雙曲線的定義知，|AF2|－|AF1|＝2a， |BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝(|BF1|－|BF2|)＋(|AF2|－|AF1|)＝4a， ∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a， 在△BF1F2中，∠ABF2＝60°， 由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2|·cos60°， ∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a2＝c2， ∵e>1，∴e＝＝，故選D． 二、填空題 7．若直線x＋y－m＝0被曲線y＝x2所截得的線段長為3，則m的值為________________． [答案]　2 [解析]　設直線x＋y－m＝0與曲線y＝x2相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點 由消去y得，x2＋x－m＝0， ∴. |AB|＝|x1－x2| ＝ ＝·＝3 ∴＝3，∴m＝2. 8．(2014·安徽理)若F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A、B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________________． [答案]　x2＋y2＝1 [解析]　本題考查橢圓方程的求法． 如圖，由題意，|AF2|＝b2， 又∵|AF1|＝3|BF1|， ∴B點坐標(－c，－b2)， 代入橢圓方程 ∴方程為x2＋y2＝1. 三、解答題 9．已知曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1. (1)若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍； (2)若l與C交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值． [解析]　(1)由消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. 由得k的取值范圍是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由(1)，得x1＋x2＝－，x1x2＝－. 又∵l過點D(0，－1)， ∴S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝ ∴(x1－x2)2＝(2)2，即()2＋＝8， 解得k＝0或k＝±. 10．設點F，動圓P經過點F且和直線y＝－相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線w. (1)求曲線w的方程； (2)過點F作互相垂直的直線l1、l2，分別交曲線w于A、C和B、D兩個點，求四邊形ABCD面積的最小值． [解析]　(1)由拋物線的定義知點P的軌跡為以F為焦點的拋物線，＝，即p＝3，∴w：x2＝6y. (2)設AC：y＝kx＋， 由?x2－6kx－9＝0. 設A(x1，y1)，C(x2，y2)，易求|AC|＝6(k2＋1)， ∵l1與l2互相垂直， ∴以－換k得|BD|＝6， SABCD＝|AC||BD|＝×6(k2＋1)×6 ＝18≥18(2＋2)＝72， 當k＝±1時取等號， ∴四邊形ABCD面積的最小值為72. 一、選擇題 1．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A、B兩點，若弦AB中點的橫坐標為2，則k＝(　　) A．2或－1 B．－1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　由聯立消去y，得k2x2－4(k＋z)x＋4＝0. 由韋達定理可得xA＋xB＝. ∵弦AB中點的橫坐標為2， ∴2＝.∴k＝2或k＝－1. ∵直線與拋物線相交于A、B兩點，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0. ∴k>－1.∴k＝－1應舍去．故選C． 2．已知雙曲線中心在原點，且一個焦點為F(，0)，直線y＝x－1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為－，則此雙曲線的方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 [答案]　D [解析]　設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，依題意c＝，∴方程可化為－＝1. 由得， (7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝. ∵＝－， ∴＝－，解得a2＝2. 故所求雙曲線方程為－＝1，故選D． 3．直線y＝mx＋1與雙曲線x2－y2＝1總有公共點，則m的取值范圍是(　　) A．m≥或m≤－ B．－≤m≤且m≠0 C．m∈R D．－≤m≤ [答案]　D [解析]　由方程組消去y，整理得(1－m2)x2－2mx－2＝0，若直線與雙曲線總有公共點，當m≠±1時，則Δ＝8－4m2≥0恒成立，即－≤m≤(m≠±1)．當m＝±1時顯然也適合題意，故m∈[－，]． 4．對于拋物線C：y2＝4x，我們稱滿足y＜4x0的點M(x0，y0)在拋物線的內部，若點M(x0，y0)在拋物線的內部，則直線l：y0y＝2(x＋x0)與C(　　) A．恰有一個公共點 B．恰有兩個公共點 C．可能有一個公點，也可能有兩個公共點 D．沒有公共點 [答案]　D [解析]　聯立整理得y2－2y0y＋4x0＝0.∵y＜4x0，∴Δ＝4y－16x0＜0，∴方程無解，即直線l與拋物線C無交點． 二、填空題 5．已知直線l過點P(0,2)且與橢圓x2＋2y2＝2只有一個公共點，則直線l的方程為____________________． [答案]　y＝x＋2或y＝－x＋2 [解析]　當直線l斜率不存在時，方程為x＝0，與橢圓x2＋2y2＝2有兩個公共點，舍去； 當直線l斜率存在時，設方程為y＝kx＋2，代入橢圓方程得x2＋2(kx＋2)2＝2，整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0， 由Δ＝64k2－4×6×(2k2＋1)＝0，解得k＝±， 故直線l方程為y＝x＋2或y＝－x＋2. 6．過點M(－2,0)的直線l與橢圓x2＋2y2＝2交于P1，P2兩點，線段P1P2中點為P，設直線l的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2(O為原點)，則k1·k2的值為________________． [答案]?。? [解析]　設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)， ∴x＋2y＝2，① x＋2y＝2，② ①－②得：k1＝－. ∴k1·＝－，即k1·k2＝－. 三、解答題 7．在拋物線y2＝4x上恒有兩點關于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍． [解析]　設拋物線y2＝4x上的B，C兩點關于直線y＝kx＋3對稱，則直線BC的方程為x＝－ky＋m(k≠0)，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0.① 設點B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點M(x0，y0)， 則y0＝＝－2k，則x0＝2k2＋m. ∵點M(x0，y0)在直線y＝kx＋3上， ∴－2k＝k(2k2＋m)＋3. ∴m＝－.② 又∵直線BC與拋物線交于不同的兩點， ∴方程①中，Δ＝16k2＋16m>0. 把②式代入化簡，得<0， 即<0，解得－1<k<0， 即k的取值范圍是(－1,0)． 8．(2014·天津文)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率； (2)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點F1，經過點F2的直線l與該圓相切與點M，|MF2|＝2.求橢圓的方程． [解析]　(1)如圖所示， 由橢圓的幾何性質|AB|＝， 而|AB|＝|F1F2|， ∴a2＋b2＝×4c2＝3c2. 又b2＝a2－c2，∴2a2＝4c2，即e2＝，∴e＝. (2)由(1)設橢圓方程＋＝1. 設P(x1，y1)，B(0，c)，F1(－c,0)，F2(c,0)， ∵P是異于頂點的點，∴x1≠0，y≠0. 以PB為直徑的圓過F1，即PF1⊥BF1， ∴·＝－1，∴y1＝－(x1＋c)． 設PB中點D(，)，即D為(，)． 由題意得|DF2|2＝|DM|2＋|MF2|2， ∵|DM|＝|DB|＝r， ∴|DF2|2＝(－c)2＋，|MF2|2＝8， |DM|2＝＋(c＋)2， 即(－c)2＋＝8＋＋(c＋)2. 整理得cx1＝－4?、? 又P(x1，－(x1＋c))在橢圓上， ∴x＋2(x1＋c)2＝2c2整理得3x＋4cx1＝0?、? ∵x1≠0，∴，解之得c2＝3， ∴所求橢圓方程為＋＝1.