精編北師大版數(shù)學(xué)資料 平面圖形的面積 一、教學(xué)目標： 1、進一步讓學(xué)生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法； 2、讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理； 3、初步掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見題型及方法。 二、教學(xué)重難點：曲邊梯形面積的求法及應(yīng)用 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 1、復(fù)習(xí)：（1）、求曲邊梯形的思想方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ 2、定積分的應(yīng)用 （一）利用定積分求平面圖形的面積 例1．計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積. 【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。 A B C D O 解：，所以兩曲線的交點為（0，0）、（1，1），面積S=，所以= 【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟： 1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。 鞏固練習(xí) 計算由曲線和所圍成的圖形的面積. 例2．計算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S. 分析：首先畫出草圖（圖1.7 一2 ) ，并設(shè)法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題．與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2．為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點的橫坐標，直線與 x 軸的交點． 解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖1. 7一2 陰影部分的面積． 解方程組得直線與曲線的交點的坐標為（8,4) . 直線與x軸的交點為（4,0). 因此，所求圖形的面積為S=S1+S2 . 由上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限． 例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。 答案： 練習(xí) 1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。 答案： x y o y=－x2+4x-3 2、求由拋物線及其在點M（0，－3） 和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、 ，則所求圖形的面積為 3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為 x x O y=x2 A B C 4、在曲線上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點A的坐標以及切線方程. 略解：如圖由題可設(shè)切點坐標為，則切線方程 為，切線與軸的交點坐標為 ，則由題可知有 ，所以切點坐標與切線方程分別為 （二）、歸納總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即. 因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0. 2、求曲邊梯形面積的方法：⑴畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；⑵對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；⑶確定被積函數(shù)；⑷求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。 （三）、作業(yè)布置： 五、教學(xué)反思：