《精編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：正確理解函數(shù)的平均變化率和導數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：正確理解函數(shù)的平均變化率和導數(shù)（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精編北師大版數(shù)學資料 正確理解函數(shù)的平均變化率和導數(shù) 導數(shù)的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過度的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段，導數(shù)概念是導數(shù)的核心概念之一，正確的理解導數(shù)的概念，成為學習導數(shù)的前提和基礎(chǔ)，下面對平均變化率與導數(shù)的概念作簡單分析，以供大家參考： 一、認識函數(shù)的平均變化率： 函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢，增量取值越小，越能準確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況． ⑴，式中的值可正、可負，但的值不能為零，的值可以為零，若函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則． ⑵式子中，與是相對應(yīng)的“增量”，即在時，． 例1、求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率．

2、解析：∵ ． ∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為． 點評：直接利用函數(shù)平均變化率的表達式，再代入數(shù)據(jù)就可以求得相應(yīng)的平均變化率的值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平均變化率的概念，同時解答過程中注意計算的準確性． 變式練習1、在2008年北京奧運會的比賽中，某自行車運動員的位移與比賽時間存在函數(shù)關(guān)系 （單位：米，時間單位：秒）求，時的與． 解析：由定義得， ，∴ 米/秒． 二、函數(shù)的平均變化率與導數(shù)的區(qū)別： 已知函數(shù)在及其附近有意義，則任取，那么比值，叫做函數(shù)函數(shù)在到之間的平均變化率，當趨近于0時，該比值趨近于常數(shù)，此時又稱為在的瞬時變化率，把定義為函

3、數(shù)在處的導數(shù)，記作：． 即函數(shù)的平均變化率是指函數(shù)在某一段區(qū)間上的平均值,而函數(shù)在一點處的導數(shù)是函數(shù)在該點的瞬時變化率． 例2、已知某物體自由落體運動時，時間關(guān)于位移的關(guān)系式為（其中）． ⑴求物體在到這段時間內(nèi)的平均速度； ⑵求物體在時的瞬時速度． 解析：當由取一個改變量時， 取得相應(yīng)改變量． ⑴物體在到這段時間內(nèi)的平均速度． ⑵物體在時的瞬時速度． 點評：要求瞬時速度，首先求出平均速度，然后當時間改變量趨近于零時的極限即為物體的瞬時速度． 變式練習2、物體運動方程，求此物體在和時的瞬時速度． 解析：當時，，； 當時，，， ∴物體在和時的瞬時速度分別為6

4、和6． 三、正確理解導數(shù)的概念： 函數(shù)在某點的導數(shù)即函數(shù)在該點的變化率，即為該點的函數(shù)改變量與自變量的改變量的比值的極限，它是一個數(shù)值，不是變數(shù)，因此求函數(shù)在某點處的導數(shù)時，一般先求出函數(shù)的導數(shù)，再計算這點的導數(shù)值，而導函數(shù)簡稱導數(shù)，不是具體數(shù)值． 求導數(shù)的步驟：由導數(shù)的定義知，求函數(shù)在點處的導數(shù)的步驟： ①求函數(shù)的增量；②求平均變化率； ③求極限，得導數(shù)，可簡記為：一差、二化、三極限． 例4、⑴求函數(shù)在處的導數(shù)． 解析：∵． ∴，當無限趨近于0時，無限趨近于， 即，∴． 點評：在導數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，與必須選擇與之相對應(yīng)的形式，將已給定的極限式恒等變形為導數(shù)定義的形式，概念是解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進行解題． 變式練習3、已知，求適合的的值． 解析：由導數(shù)的定義知： ， 因為，所以，即， 解得或．