精編北師大版數(shù)學(xué)資料 用定積分求面積的技巧 求平面圖形的面積是定積分在幾何中的重要應(yīng)用.把求平面圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.求解此類題常常用到以下技巧. 一、巧選積分變量 求平面圖形面積時，要注意選擇積分變量，以使計算簡便. 例1 求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積． 　　解析：如圖1，解方程組得兩曲線的變點(diǎn)為． 　　方法一：選取橫坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和，即． 　　方法二：選取縱坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積可據(jù)公式求得，即． 點(diǎn)評：從上述兩種解法可以看出，對y積分比對x積分計算簡捷.因此，應(yīng)用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取是至關(guān)重要的.但同時也要注意對y積分時，積分函數(shù)應(yīng)是，本題須將條件中的曲線方程、直線方程化為的形式，然后求得積分．另外還要注意的是對面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會變的，即定積分的值不會改變. 二、巧用對稱性 在求平面圖形面積時，注意利用函數(shù)的奇偶性等所對應(yīng)曲線的對稱性解題，也是簡化計算過程的常用手段. 例2 求由三條曲線所圍圖形的面積. 解析：如圖2，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，根據(jù)對稱性，只算出軸右邊的圖形的面積再兩倍即可． 　　解方程組和得交點(diǎn)坐標(biāo)． 　　方法一：選擇為積分變量， 則． 方法二：可以選擇y為積分變量，求解過程請同學(xué)們自己完成. 點(diǎn)評：對稱性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響著計算過程的繁簡程度. 三、分割計算 例3　求由拋物線及其在點(diǎn)和點(diǎn)處兩條切線所圍成的圖形的面積． 解析：由，得， ，過點(diǎn)的切線方程為； ，過點(diǎn)的切線方程為． 又可求得兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 故所求面積． 點(diǎn)評：本題求圖形的面積，適當(dāng)?shù)姆指钍顷P(guān)鍵，故求出兩切線交點(diǎn)，過交點(diǎn)作x軸垂線，將圖形分割成兩部分，分別用定積分求解.同學(xué)們應(yīng)注意掌握這種分割的處理方法.