精編北師大版數(shù)學(xué)資料 用定積分求面積的兩個常用公式 求平面圖形圍成的面積是定積分重要應(yīng)用之一，下面介紹求面積的兩個常用公式及其應(yīng)用． 一、兩個常用公式 公式一：由連續(xù)曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b與y＝0所圍成的曲邊梯形的面積A為 A＝． 特別地，⑴當(dāng)f(x)≥0時(如圖1)，A＝； ⑵當(dāng)f(x)≤0時(如圖2)，A＝－； ⑶當(dāng)f(x)有正有負時(如圖3)，A＝－． 公式二：由連續(xù)曲線y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)≥g(x)及直線x＝a，x＝b所圍成的圖形(如圖4)的面積A為 A＝． 二、應(yīng)用舉例 例1 由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0圍成的圖形面積． 分析：先畫出圖象，利用公式1轉(zhuǎn)化為定積分問題即可解決． 解：⑴如圖1，由公式1，得 S＝＝． 評注：注意定積分與利用定積分計算曲線圍成圖形的面積區(qū)別．定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負或零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正．一般情況下，借助定積分分別求出每一部分曲邊梯形的面積，然后將它們加在一起． 例2 ⑴由曲線y＝x2，y2＝x所圍成圖形的面積． ⑵由y＝x2－1，y＝x，y＝在第一象限所圍成圖形的面積． 分析：先畫圖象找出范圍，利用公式2，用積分表示，再求積分． 解：⑴ 如圖2，所求面積為陰影部分． 解方程組，得交點(0，0)，(1，1)，由公式2，得 S＝＝． ⑵如圖3，解方程組和， 得x＝0，x＝1＋(負的舍去)，x＝4． 由公式2，得圖形面積 S＝＋ ．