精編北師大版數(shù)學(xué)資料 定積分的基本性質(zhì)盤點(diǎn) 一、定積分基本性質(zhì) 假設(shè)下面所涉及的定積分都是存在的，則有 性質(zhì)1　函數(shù)代數(shù)和（差）的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和（差）．即 ． 這個性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形． 性質(zhì)2　被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號前，即（為常數(shù)）． 性質(zhì)3　不論三點(diǎn)的相互位置如何，恒有． 這性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性． 性質(zhì)4　若在區(qū)間上，，則． 推論1　若在區(qū)間上，，則． 推論2?。? 性質(zhì)5?。ü乐刀ɡ恚┰O(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值與最大值分別為與，則． 證明：因?yàn)?，由推?得． 即． 故． 利用這個性質(zhì)，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最小值及最大值，可以估計出積分值的大致范圍． 二、定積分性質(zhì)的應(yīng)用 例1.比較定積分和的大?。? 分析：由都在區(qū)間[0，1]，無需求出積分值，只需比較被積函數(shù)大小即可． 解：由在區(qū)間[0，1]上，有x2≥x3．根據(jù)性質(zhì)4的推論1，知≥． 評注：利用性質(zhì)，可減少計算量． 例2.計算：． 分析：首先去絕對值，分0＜x＜和＜x＜兩個區(qū)間，分開運(yùn)算． 解：＝＋ ＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝(＋1)＋(－1)＝2． 評注：這里用到了定積分對于積分區(qū)間具有可加性． 例3.求函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，3]上的積分． 分析：先分段，再運(yùn)用性質(zhì)． 解：由積分性質(zhì)，知 ＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋＝． 評注：⑴分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上積分可分成幾段積分的和的形式； ⑵分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原函數(shù)分段即可，無需分得過細(xì)． 例4.估計定積分的值． 分析：不用求出積分的值，可用估值定理解決． 解：∵當(dāng)時，， ∴，由此有，， 于是由估值定理得． 評注：運(yùn)用的估值定理為大學(xué)涉及內(nèi)容，不作要求，可以了解．