精編北師大版數(shù)學(xué)資料 微積分基本定理運(yùn)用的幾點(diǎn)注意 用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是找到滿足F’(x)=f(x)的函數(shù)F(x)，即找到被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，運(yùn)用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，從反方向上求出F(x)。但在求原函數(shù)時(shí)會(huì)遇到困難或計(jì)算復(fù)雜，下面介紹幾種簡化求解的方法，供參考。 一、先化簡，再積分。 例1 計(jì)算dx 解析：==(+2x－lnx)|=－ln2 點(diǎn)評：若被積函數(shù)f（x）比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行化簡，以方便找到被積函數(shù)的原函數(shù)，再用基本定理求積分。 二、先分段，再積分。 例2 計(jì)算(|x+1|+|1－x|)dx 解析：由于y=|x+1|+|1－x|= ∴原式=++=(－x2)|+(2x)|+(x2)|=20 點(diǎn)評：這類積分不能直接求解，需要變換被積函數(shù)，去掉被積函數(shù)的絕對值，應(yīng)用定積分的可加性，對積分區(qū)間分類討論。 三、抓住幾何意義 例3 計(jì)算dx 分析：若直接求被積函數(shù)y=的原函數(shù)比較困難，但由定積分的幾何意義知，本題中即求半個(gè)單位的面積，故而dx=π 點(diǎn)評：充分挖掘被積函數(shù)的幾何事實(shí)，正確理解定積分的幾何意義，也是解決定積分問題的重要手段之一。 四、換元轉(zhuǎn)化 例4 計(jì)算 解析：由于d(sinx)=cosxdx，故而令sinx=t，當(dāng)x：0→時(shí)，t：0→1，則=(t+1)dt=(t2+t)|=。 -2 4 點(diǎn)評：通過換元轉(zhuǎn)化，可將復(fù)雜的定積分問題轉(zhuǎn)化簡單熟悉的問題，達(dá)到簡化、優(yōu)化解題的目的。 五、改變積分變量 例5 求拋物線y2=2x與直線y=x－4圍成的平面圖形的面積。 解析：解由y2=2x及y=x－4聯(lián)立所得的方程組得兩曲線的交點(diǎn)為(2,－2)、(8,4)，若取橫坐標(biāo)x為積分變量，則應(yīng)對圖中陰影部分進(jìn)行分割，變?yōu)閮刹糠置娣e之和，S=2+=……=18.若以y為積分變量，則圖中陰影部分的面積可根據(jù)積分公式求得，即S==(+4y－y3)|=18 點(diǎn)評：由此可見，在求平面圖形面積時(shí)，要注意選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，使計(jì)算簡便。