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1、2019年北師大版精品數(shù)學資料 章末分層突破 [自我校對] ①分類加法計數(shù)原理 ②分步乘法計數(shù)原理 ③排列 ④排列數(shù)公式 ⑤組合數(shù)公式 ⑥組合數(shù) ⑦二項展開式的通項 ⑧對稱性 ⑨增減性 　　 兩個計數(shù)原理的應用 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是本部分內容的基礎，對應用題的考查，經常要對問題進行分類或者分步，進而分析求解． (1)“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給事情．“分步”表現(xiàn)為必須把各步驟均完成，才能完成所給事情，所以準確理解兩個原理的關鍵在于弄清分類加法計數(shù)原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能夠

2、獨立完成事件． (2)分步乘法計數(shù)原理強調各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法. 　王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀． (1)若他從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？ (2)若帶外語、數(shù)學、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？ (3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？ 【精彩點撥】　解決兩個原理的應用問題，首先應明確所需完成的事情是什么，再分析每一種做法使這件事是否完成，從而

3、區(qū)分加法原理和乘法原理． 【規(guī)范解答】　(1)完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數(shù)學書、物理書，事情都已完成，從而確定為應用分類加法計數(shù)原理，結果為5＋4＋3＝12(種)． (2)完成的事情是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數(shù)學、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應用分步乘法計數(shù)原理，結果為5×4×3＝60(種)． (3)選1本外語書和選1本數(shù)學書應用分步乘法計數(shù)原理，有5×4＝20種選法；同樣，選外語書、物理書各1本，有5×3＝15種選法；選數(shù)學書、物理書各1本，有4×3＝12種選法．即有三類情況，應用分類加法計數(shù)原理，

4、結果為20＋15＋12＝47(種)． 應用兩個計數(shù)原理解決應用問題時主要考慮三方面的問題：(1)要做什么事；(2)如何去做這件事；(3)怎樣才算把這件事完成了.并注意計數(shù)原則：分類用加法，分步用乘法. [再練一題] 1.如圖1­1為電路圖，從A到B共有________條不同的線路可通電． 圖1­1 【解析】　先分三類．第一類，經過支路①有3種方法；第二類，經過支路②有1種方法；第三類，經過支路③有2×2＝4(種)方法，所以總的線路條數(shù)N＝3＋1＋4＝8. 【答案】　8 排列、組合的應用 排列、組合應用題是高考的重點內容，常與實際問題

5、結合命題，要認真審題，明確問題本質，利用排列、組合的知識解決． 　(1)某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發(fā)建設，其中甲不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？ (2)在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目． ①當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？ ②當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？ ③若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個欄目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？ 【精彩點撥】　按照“特殊元素先排法”分步進行，先特殊后一般．

6、 【規(guī)范解答】　(1)因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況： ①若甲乙都不參加，則有派遣方案A種； ②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有A種方法，所以共有3A種方法； ③若乙參加而甲不參加同理也有3A種； ④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余學生到另兩個城市有A種，共有7A種方法． 所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A＋3A＋3A＋7A＝4 088種． (2)①第一步，先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有A＝5 040種方法；第二步，再松綁，給4個節(jié)目排序，有A＝24種方法． 根據(jù)分步乘法

7、計數(shù)原理，一共有5 040×24＝120 960種． ②第一步，將6個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，一共有A＝720種方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)，這樣相當于7個“×”選4個來排，一共有A＝7×6×5×4＝840種． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有720×840＝604 800種． ③若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有A種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消

8、除，所以節(jié)目演出的方式有＝A＝132種排法． 解排列、組合應用題的解題策略 1．特殊元素優(yōu)先安排的策略． 2．合理分類和準確分步的策略． 3．排列、組合混合問題先選后排的策略． 4．正難則反、等價轉化的策略． 5．相鄰問題捆綁處理的策略． 6．不相鄰問題插空處理的策略． 7．定序問題除序處理的策略． 8．分排問題直排處理的策略． 9．“小集團”排列問題中先整體后局部的策略． 10．構造模型的策略． 簡單記成： 合理分類，準確分步； 特殊優(yōu)先，一般在后； 先取后排，間接排除； 集團捆綁，間隔插空； 抽象問題，構造模型； 均分除序，定序除序． [再

9、練一題] 2．(1)一次考試中，要求考生從試卷上的9個題目中選6個進行答題，要求至少包含前5個題目中的3個，則考生答題的不同選法的種數(shù)是(　　) A．40 B．74 C．84 D．200 (2)(2016·山西質檢)A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有(　　) A．60種 B．48種 C．30種 D．24種 【解析】　(1)分三類： 第一類，前5個題目的3個，后4個題目的3個； 第二類，前5個題目的4個，后4個題目的2個； 第三類，前5個

10、題目的5個，后4個題目的1個．由分類加法計數(shù)原理得CC＋CC＋CC＝74. (2)由題意知，不同的座次有AA＝48種，故選B. 【答案】　(1)B　(2)B 二項式定理問題的處理方法和技巧 對于二項式定理的考查常出現(xiàn)兩類問題，一類是直接運用通項公式來求特定項．另一類，需要運用轉化思想化歸為二項式定理來處理問題． 　(1)(2014·湖北高考)若二項式7的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝(　　) A．2 B. C．1 D. (2)(2016·沈陽高二檢測)已知(1＋x＋x2)n(n∈N＋)的展開式中沒有常數(shù)項，且2≤n≤8，則n＝________.

11、 (3)設(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a6＋a4＋a2＋a0的值為________． 【精彩點撥】　(1)、(2)利用二項式定理的通項求待定項； (3)通過賦值法求系數(shù)和． 【規(guī)范解答】　(1)二項式7的展開式的通項公式為Tr＋1＝C(2x)7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展開式中的系數(shù)是C22a5＝84，解得a＝1. (2)n展開式的通項是Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r，r＝0,1,2，…，n， 由于(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數(shù)項，所以Cxn－4r，xCxn－4r＝ Cxn－4

12、r＋1和x2Cxn－4r＝Cxn－4r＋2都不是常數(shù)，則n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因為2≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5. (3)令x＝1， 得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64. 令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4 096. 兩式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160， 所以a6＋a4＋a2＋a0＝2 080. 【答案】　(1)C　(2)5　(3)2 080 1．解決與二項展開式的項有關的問題時，通常利用通項公式． 2．解決二項展開式項的系數(shù)(或和)問題常用賦

13、值法． [再練一題] 3．(1)(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 (2)設a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】　(1)因為f(m，n)＝CC， 所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. (2)512 016＋a＝(13×4－1)2 016＋

14、a，被13整除余1＋a，結合選項可得a＝12時，512 016＋a能被13整除． 【答案】　(1)C　(2)D 排列、組合中的分組與分配問題 n個不同元素按照條件分配給k個不同的對象稱為分配問題，分定向分配與不定向分配兩種問題；將n個不同元素按照某種條件分成k組，稱為分組問題，分組問題有不平均分組、平均分組、部分平均分組三種情況．分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同是不區(qū)分的，而后者即使2組元素個數(shù)相同，但因所屬對象不同，仍然是可區(qū)分的．對于后者必須先分組再排列． 　按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本

15、，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 【精彩點撥】　這是一個分配問題，解題的關鍵是搞清事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏． 【規(guī)范解答】　(1)無序不均勻分組問題．先選1本有C種選法，再從余下的5本中選2本有C種選法，最后余下3本全選有C種選法．故共有CCC＝60(種)． (2)有序不均勻

16、分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)問基礎上，還應考慮再分配，共有CCCA＝360(種)． (3)無序均勻分組問題．先分三步，則應是CCC種方法，但是這里出現(xiàn)了重復．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，則CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況僅是AB，CD，EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種)． (4)有序均勻分組問題．在第(3)問基

17、礎上再分配給3個人，共有分配方式·A＝CCC＝90(種)． (5)無序部分均勻分組問題．共有＝15(種)． (6)有序部分均勻分組問題．在第(5)問基礎上再分配給3個人，共有分配方式·A＝90(種)． (7)直接分配問題．甲選1本有C種方法，乙從余下5本中選1本有C種方法，余下4本留給丙有C種方法．共有CCC＝30(種)． 均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型.解決此類問題的關鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)，還要充分考慮到是否與順序有關，有序分組要在無序分組的基礎上乘以分組數(shù)的階乘數(shù).

18、 [再練一題] 4．將6本不同的書，分配給甲、乙、丙三人，問如下分配的分配方法各有多少種？ (1)甲一本，乙兩本，丙三本？ (2)其中有一人一本，有一人兩本，有一人三本？ (3)甲、乙、丙每人兩本？ (4)分成三堆，每堆兩本？ 【解】　(1)甲一本，有C種取法；乙從剩余的5本中任取2本，有C種取法；丙有C種取法，故有C·C·C＝60種取法． (2)有一人一本，有一人兩本，有一人三本，沒指定哪個人幾本，故在(1)的情況下，甲、乙、丙手中的書可以任意交換，故有C·C·C·A＝360種分配法． (3)同(1)一樣，甲、乙、丙依次去取

19、書，共有C·C·C＝90種分配方法． (4)分成三堆，每堆兩本，注意與(3)中的情況不同，假如在(3)中甲選AB，乙選CD，丙選EF，這是一種分法，將AB，CD，EF任意交換得到甲、乙、丙不同的分法．如甲CD，乙AB，丙EF或甲EF，乙AB，丙CD，…，而分成三堆都屬于同一種分法．故應有＝15種分配方法． 1．(2015·湖北高考)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　) A．29　　　 B．210　　　 C．211　　　 D．212 【解析】　由C＝C，得n＝10，故奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為29.

20、【答案】　A 2．(2016·全國卷Ⅱ)如圖1­2，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) 圖1­2 A．24 B．18 C．12 D．9 【解析】　從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條．如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因為從A到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到

21、F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條)．所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為6×3＝18. 【答案】　B 3．(2016·全國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　) A．18個 B．16個 C．14個 D．12個 【解析】　由題意知：當m＝4時，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項，其中4項為0,4項為1，且必有a1＝0，a8＝1.不考慮限制條件“對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)

22、不少于1的個數(shù)”，則中間6個數(shù)的情況共有C＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)少于1的個數(shù)的情況有：①若a2＝a3＝1，則有C＝4(種)；②若a2＝1，a3＝0，則a4＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20－6＝14(種)． 故共有14個．故選C. 【答案】　C 4．(2016·四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 【解析】　第一步，先排個位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A種選擇． 由分步乘法計數(shù)原理，知有C·A＝72(個)． 【答案】　D 5．(2016·全國卷Ⅰ)(2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案) 【解析】　(2x＋)5展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·. 令5－＝3，得r＝4. 故x3的系數(shù)為25－4·C＝2C＝10. 【答案】　10