高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案:第2章 知能提升:變化率與導(dǎo)數(shù)
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高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案:第2章 知能提升:變化率與導(dǎo)數(shù)
2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料
變化率與導(dǎo)數(shù)——知能提升
導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一,學(xué)好導(dǎo)數(shù)必須正確理解變化率、導(dǎo)數(shù)的概念以及其幾何意義,下面通過例題來對(duì)變化率與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行歸納梳理,望能對(duì)同學(xué)有所啟迪。
1.變化率問題
例1 求在到之間的平均變化率()。
分析:本題的自變量在分母中出現(xiàn),因此題目中給出了“”的條件,在一些特殊的情況下,如果題干中未給出這一條件,就需要進(jìn)行分類討論。本題只需直接套用公式就可以了。
解析:當(dāng)自變量從變到時(shí),函數(shù)的平均變化率
。
評(píng)注:本題運(yùn)算量相對(duì)較大,可對(duì)分子運(yùn)用平方差公式。
2.瞬時(shí)速度問題
例2 已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為,求此物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度。
分析:要求瞬時(shí)速度就是求,本題是分段函數(shù),求解時(shí)要根據(jù)的取值選取函數(shù)的解析式。
解析:當(dāng)時(shí),,
∴,
∴當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)速度為6。
當(dāng)時(shí),,
∴,
∴當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)速度為6。
評(píng)注:在某時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度,應(yīng)區(qū)別于平均速度。
3.切線問題
例3 已知直線,求曲線上和已知直線垂直的切線方程。
分析:利用斜率之間的關(guān)系求解。
解析:∵所求切線與直線垂直,
∴切線的斜率為。
又∵,
∴,∴,
∴,即切點(diǎn)為。
故所求切線方程為,即。
評(píng)注:充分利用垂直的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決該類問題的關(guān)鍵。
4.傾斜角問題
例4 已知曲線上的一點(diǎn),則過點(diǎn)的切線的傾斜角為( )
.2 .4 . .6
分析:先求出切線的斜率,再確定傾斜角的大小。
解析:∵,
∴
,
∴。
∴點(diǎn)處切線的斜率等于1,故切線的傾斜角為。
∴答案應(yīng)選
評(píng)注:若存在,則其為切線的斜率,切線自然存在,從而傾斜角可求。
5.面積問題
例5 求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積。
分析:由題意知切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形為直角三角形,故需求出切線方程及其在兩坐標(biāo)軸上的截距。
解析:∵,
∴在點(diǎn)處的切線方程為,即。
此切線與軸、軸的交點(diǎn)分別為,,
故所求三角形的面積為。
評(píng)注:本題將曲線的切線與求三角形的面積聯(lián)系在一起,可先作出草圖,幫助解題。