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1、第四章 荷載效應(yīng) 構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上的作用使構(gòu)件或結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力（如軸力、剪力、扭矩、彎矩等）、變形、裂縫等統(tǒng)稱作用效應(yīng)或荷載效應(yīng)。荷載與荷載效應(yīng)之間通常按某種關(guān)系相聯(lián)系。本章重點學(xué)習(xí)構(gòu)件和結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生的各種內(nèi)力和變形，進行單種材料桿件的承載能力分析。 第一節(jié) 構(gòu)件內(nèi)力分析 一、概述 1.1變形固體及其基本假設(shè) 1.1.1變形固體 工程中構(gòu)件和零件都是由固體材料制成，如鑄鐵、鋼、木材、混凝土等。這些固體材料在外力作用下都會或多或少的產(chǎn)生變形，我們將這些固體材料稱為變形固體。 變形固體在外力作用上會產(chǎn)生兩種不同性質(zhì)的變形：一種是當(dāng)外力消除時，變形也隨著消失，這種變形稱為彈性變

2、形；另一種是外力消除后，變形不能全部消失而留有殘余，這種不能消失的殘余變形稱為塑性變形。一般情況下，物體受力后，既有彈性變形，又有塑性變形。但工程中常用的材料，在所受外力不超過一定范圍時，塑性變形很小，可忽略不計，認(rèn)為材料只產(chǎn)生彈性變形而不產(chǎn)生塑性變形。這種只有彈性變形的物體稱為理想彈性體。只產(chǎn)生彈性變形的外力范圍稱為彈性范圍。本書將只限于給出材料在彈性范圍內(nèi)的變形、內(nèi)力及應(yīng)力等計算方法和計算公式。 工程中大多數(shù)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生變形后，其幾何尺寸的改變量與構(gòu)件原始尺寸相比，常是極其微小的，我們稱這類變形為小變形。材料力學(xué)研究的內(nèi)容將限于小變形范圍。由于變形很微小，我們在研究構(gòu)件的平衡問題

3、時，就可采用構(gòu)件變形前的原始尺寸進行計算。 1.1.2變形固體的基本假設(shè) 為了使計算簡便，在材料力學(xué)的研究中，對變形固體作了如下的基本假設(shè)： (1)均勻連續(xù)假設(shè)假設(shè)變形固體在其整個體積內(nèi)豪無空隙地充滿了物質(zhì)。而且各點處材料的力學(xué)性能完全相同。 (2)各向同性假設(shè)假設(shè)材料在各個方向具有相同的力學(xué)性能。 常用的工程材料如鋼材、玻璃等都可認(rèn)為是各向同性材料。如果材料沿各個方向具有不同的力學(xué)性能，則稱為各向異性材料。 綜上所述，建筑力學(xué)中所研究的構(gòu)件，是由均勻連續(xù)、各向同性的變形固體材料制成的構(gòu)件，且限于小變形范圍。 1.2桿件變形的基本形式 1.2.1桿件 圖4-1 建筑力學(xué)中主

4、要研究的構(gòu)件是桿件。所謂桿件，是指長度遠(yuǎn)大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件。桿件的幾何特點可由橫截面和軸線來描述。橫截面是與桿長方向垂直的截面，而軸線是各截面形心的連線(圖4-1)。桿各截面相同、且軸線為直線的桿，稱為等截面直桿。 1.2.2桿件變形的基本形式 桿件在不同形式的外力作用下，將發(fā)生不同形式的變形。但桿件變形的基本形式有以下四種： (1)軸向拉伸和壓縮(圖4-2a、圖4-2b)在一對大小相等、方向相反、作用線與桿軸線相重合的外力作用下，桿件將發(fā)生長度的改變(伸長或縮短)。 (2)剪切(圖4-2c)在一對相距很近、大小相等、方向相反的橫向外力作用下，桿件的橫截面將沿外力方向發(fā)生錯動。

5、 (3)扭轉(zhuǎn)(圖4-2d)在一對大小相等、方向相反、位于垂直于桿軸線的兩平面內(nèi)的力偶作用下，桿的任意兩橫截面將繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。 (4)彎曲(圖4-2e) 在一對大小相等、方向相反、位于桿的縱向平面內(nèi)的力偶作用下，桿件的軸線由直線彎成曲線。 圖4-2 工程實際中的桿件，可能同時承受不同形式的外力而發(fā)生復(fù)雜的變形，但都可以看作是上述基本變形的組合。由兩種或兩種以上基本變形組成的復(fù)雜變形稱為組合變形。 在以下幾節(jié)中，將分別討論上述各種基本變形和組合變形。 1.3內(nèi)力和內(nèi)力分析方法——截面法 1.3.1內(nèi)力的概念 在第一章對某一物體進

6、行受力分析時，常將該物體作為研究對象單獨分離，畫出該物體的受力圖。物體所受到的力全部是研究對象(該物體)以外的其他物體對它的作用力，稱為外力。而在本章討論桿件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題時，需要通過作用在桿件上的外力進一步分析桿件內(nèi)部的破壞及變形規(guī)律。因此，只研究作用在桿件上的外力就不夠了，還需討論另一種力，即桿件的內(nèi)力。 當(dāng)桿件受到外力作用后，桿件內(nèi)部相鄰各質(zhì)點間的相對位置就要發(fā)生變化，這種相對位置的變化使整個桿件產(chǎn)生變形，并使桿件內(nèi)各質(zhì)點之間原來的(受外力作用之前的)相互作用力發(fā)生改變，各質(zhì)點之間相互作用力的變化使桿件相連兩部分之間原有的相互作用力也發(fā)生了改變。在研究建筑力學(xué)問題時，習(xí)慣上將

7、這種由于外力的作用而使桿件相連兩部分之間相互作用力產(chǎn)生的改變量稱為附加內(nèi)力，簡稱為內(nèi)力。 內(nèi)力是由于外力而引起的，桿件所受的外力越大，內(nèi)力也就越大，同時變形也越大。如我們用雙手拉一根橡膠繩，首先會發(fā)現(xiàn)橡膠繩也在拉我們的手，這是因為當(dāng)我們用手拉橡膠繩時，對橡膠繩施加了一對大小相等、方向相反的拉力，這一對拉力對橡膠繩而言是作用在它上面的外力，由于這種外力的作用，使橡膠繩內(nèi)任意相鄰的兩部分之間會產(chǎn)生內(nèi)力，即橡膠繩拉手的力；其次還會發(fā)現(xiàn)手拉橡膠繩的力越大，橡膠繩對手的拉力也越大，繩子的變形也越大。但是內(nèi)力的增大不是無限度的，內(nèi)力達(dá)到某一限度(這一限度與桿件的材料、幾何尺寸等因素有關(guān))時，桿件就會破壞

8、。由此可知：內(nèi)力與桿件的強度、剛度等有著密切的關(guān)系。討論桿件強度、剛度和穩(wěn)定性問題，必須先求出桿件的內(nèi)力。 1.3.2求內(nèi)力的基本方法——截面法 為了計算桿件的內(nèi)力，需要先用一個假想的平面將桿件“截開”，使桿件在被切開位置處的內(nèi)力顯示出來，然后取桿件的任一部分作為研究對象，利用這部分的平衡條件求出桿件在被切開處的內(nèi)力，這種求內(nèi)力的方法稱為截面法。截面法是求桿件內(nèi)力的基本方法。不管桿件產(chǎn)生何種變形，都可以用截面法求出內(nèi)力。 下面以軸向拉伸桿件為例，介紹截面法求內(nèi)力的基本方法和步驟。 圖4-3a所示為桿件受到一對軸向拉力作用產(chǎn)生軸向拉伸的情況?，F(xiàn)在我們來計算桿上任一截面(如距左端為l／3處

9、橫截面)上的內(nèi)力。計算內(nèi)力的步驟如下： (1)截開用假想的截面，在要求內(nèi)力的位置處將桿件截開，把桿件分為兩部分。 (2)代替取截開后的任一部分為研究對象，畫受力圖。畫受力圖時，在截開的截面處用該截面上的內(nèi)力代替另一部分對研究部分的作用。 如對于左段而言，截開處原右段對它作用的內(nèi)力此時已變成左段上的外力而暴露了出來。由于固體是連續(xù)的，所以截面上的內(nèi)力是連續(xù)分布的，我們稱這種內(nèi)力為分布內(nèi)力(圖4-3b)。本課程所講的內(nèi)力是這些分布內(nèi)力的合力。因此，畫受力圖時在被截開的截面處，只畫分布內(nèi)力的合力即可，(圖4-3c)。 圖4-3 (3)平衡由于整體桿件原本處于平衡狀態(tài)(圖4-3a)，因此被截

10、開后的任一部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)。對于研究部分(圖4-3c)根據(jù)作用在該部分上的力系情況，建立平衡方程，從而可求出截面上的內(nèi)力。如對圖4-3c中的桿段，列平衡方程∑Fx=0，得Fp=FN；這說明該橫截面上的內(nèi)力大小等于FN，方向如圖4-3c所示。 若取截面的右段同樣可求得Fp=FN，如圖4-3d所示。 1.4平面圖形的幾何性質(zhì) 在建筑力學(xué)以及建筑結(jié)構(gòu)的計算中，經(jīng)常要用到與截面有關(guān)的一些幾何量。例如軸向拉壓的橫截面面積A、圓軸扭轉(zhuǎn)時的抗扭截面系數(shù)w，和極慣性矩，，等都與構(gòu)件的強度和剛度有關(guān)。以后在彎曲等其他問題的計算中，還將遇到平面圖形的另外一些如形心、靜矩、慣性矩、抗彎截面系數(shù)等幾何量。這

11、些與平面圖形形狀及尺寸有關(guān)的幾何量統(tǒng)稱為平面圖形的幾何性質(zhì)。 1.4.1重心和形心 1.4.1.1重心的概念 地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個力稱為物體的重力?？蓪⑽矬w看作是由許多微小部分組成，每一微小部分都受到地球引力的作用，這些引力匯交于地球中心。但是，由于一般物體的尺寸遠(yuǎn)比地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是空間平行力系。這些平行力系的合力就是物體的重力。由實驗可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終是通過一個確定的點，這個點就是物體重力的作用點，稱為物體的重心。 1.4.1.2一般物體重心的坐標(biāo)公式 1.4.1.2.1一般物體重心的坐標(biāo)公式 如

12、圖4-4所示，為確定物體重心的位置，將它分割成以個微小塊，各微小塊重力分別為G1、G2、……Gn，其作用點的坐標(biāo)分別為(x1、y1、z1，)、(x2、y2、z2)…(xn、yn、zn)，各微小塊所受重力的合力W即為整個物體所受的重力G=ΣGi：，其作用點的坐標(biāo)為C(xc、yc、zc)。對Y軸應(yīng)用合力矩定理，有： 得 同理，對x軸取矩可得： 將物體連同坐標(biāo)轉(zhuǎn)90。而使坐標(biāo)面oxz成為水平面，再對z軸應(yīng)用合力矩定理，可得： (4—1) 因此，一般物體的重心坐標(biāo)的公式為： 圖4-4 1.4.1.2.2均質(zhì)物體重心的坐標(biāo)公式 對均質(zhì)物體用r表示單位體積的重力

13、，體積為V，則物體的重力G=Vr，微小體積為Ⅵ，微小體積重力Gi=Viy，代入式(4—1)，得均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式為： (4—2) 由上式可知，均質(zhì)物體的重心與重力無關(guān)。所以，均質(zhì)物體的重心就是其幾何中心，稱為形心。對均質(zhì)物體來說重心和形心是重合的。 1.4.1.2.3均質(zhì)薄板的重心(形心)坐標(biāo)公式 對于均質(zhì)等厚的薄平板，如圖4-5所示取對稱面為坐標(biāo)面oyz，用δ表示其厚度，Ai表示微體積的面積，將微體積Vi=δAi及V=δA代人式(4—2)，得重心(形心)坐標(biāo)公式為： (4—3) 因每一微小部分的xi為零，所以xi=0。 1.4.1.2.4平面圖形的形心計算 圖4-

14、5 形心就是物體的幾何中心。因此，當(dāng)平面圖形具有對稱軸或?qū)ΨQ中心時，則形心一定在對稱軸或?qū)ΨQ中心上。如圖4-6所示。若平面圖形是一個組合平面圖形， 則可先將其分割為若干個簡單圖形，然后可按式(4—3)求得其形心的坐標(biāo)，這時公式中的Ai為所分割的簡單圖形的面積，而yi、zic為其相應(yīng)的形心坐標(biāo)，這種方法稱為分割法。另外，有些組合圖形，可以看成是從某個簡單圖形中挖去一個或幾個簡單圖形而成，如果將挖去的面積用負(fù)面積表示，則仍可應(yīng)用分割法求其形心坐標(biāo)，這種方法又稱為負(fù)面積法。 圖4-6 【例4-l】試求圖4-7所示T形截面的形心坐標(biāo)。 【解】將平面圖形分割為兩個矩形，如圖4-7所

15、示，每個矩形的面積及形心坐標(biāo)為： 由式(8—3)可求得T形截面的形心坐標(biāo)為： 【例4-2】試求圖4-8所示陰影部分平面圖形的形心坐標(biāo)。 【解】將平面圖形分割為兩個圓，如圖8-5所示，每個圓的面積及形心坐標(biāo)為 由式(4-3)可求得陰影部分平面圖形的形心坐標(biāo)為： 圖4-7 圖4-8 1.4.2靜 矩 1.4.2.1定義 圖4-9所示，任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標(biāo)y(或z)乘積的總和，稱為該平面圖形對z軸(或Y軸)的靜矩，用Sz(或Sy)表示，即： (4—4) 由上式可知，靜矩為代數(shù)量，它

16、可為正，可為負(fù)，也可為零。常用單位為 m3或mm3。 圖4-9 圖4-10 1.4.2.2簡單圖形的靜矩 圖4-10所示簡單平面圖形的面積A與其形心坐標(biāo)Yc(或zc)的乘積，稱為簡單圖形對z軸或Y軸的靜矩，即： (4—5) 當(dāng)坐標(biāo)軸通過截面圖形的形心時，其靜矩為零；反之，截面圖形對某軸的靜矩為零，則該軸一定通過截面圖形的形心。 1.4.2.3組合平面圖形靜矩的計算 (4—6) 式中A——各簡單圖形的面積； Yci、zci——各簡單圖形的形心坐標(biāo)。 式(4-6)表明：組合圖形對某軸的靜矩等于各簡單

17、圖形對同一軸靜矩的代數(shù)和。 【例4-3】計算圖4-11所示T形截面對z軸的靜矩。 【解】將T形截面分為兩個矩形，其面積分別為： 截面對z軸的靜矩 圖4-11 1.4.3慣性矩、慣性積、慣性半徑 1.4.3.1慣性矩、慣性積、慣性半徑的定義 1.4.3.1.1慣性矩 圖4-12 圖4-12所示，任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標(biāo)Y(或z)平方乘積的總和．稱為該平面圖形對z軸(或Y軸)的慣性矩，用Iz(或Iy)表示，即： (4—7) 式(4-7)表明，慣性矩恒為正值。常用單位為m4或mm4。 1.4.3.1.2慣性積 圖4-12所示，任意平面圖形上所有微

18、面積dA與其坐標(biāo)z、Y乘積的總和，稱為該平面圖形對z、Y兩軸的慣性積，用Izy表示，即： (4—8) 慣性積可為正，可為負(fù)，也可為零。常用單位為m4或mm4?？梢宰C明，在兩正交坐標(biāo)軸中，只要z、Y軸之一為平面圖形的對稱軸，則平面圖形對z、Y軸的慣性積就一定等于零。 1.4.3.1.3慣性半徑 在工程中為了計算方便，將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長度平方的乘積，即： (4—9) 式中iz、iy——平面圖形對z、Y軸的慣性半徑，常用單位為m或mm。 1.4.3.1.4．簡單圖形(圖4-13)的慣性矩及慣性半徑 (1)簡單圖形對形心軸的慣性矩(由式4—7積分可得) 矩

19、形 圓形 環(huán)形 型鋼的慣性矩可直接由型鋼表查得，見附錄二。 圖4-13 (2)簡單圖形的慣性半徑 矩形 圓形 1.4.3.2平行移軸公式 1.4.3.2.1慣性矩的平行移軸公式 同一平面圖形對不同坐標(biāo)軸的慣性矩是不相同的，但它們之間存在著一定的關(guān)系?，F(xiàn)給出圖4-14所示平面圖形對兩個相平行的坐標(biāo)軸的慣性矩之間的關(guān)系。 (4—10) 式(4-10)稱為慣性矩的平行移軸公式。它表明平面圖形對任一軸的慣性矩，等于平面圖形對與該軸平行的形心軸的慣性矩再加上其面積與兩軸間距離平方的乘積。在所有平行軸中，平

20、面圖形對形心軸的慣性矩為最小。 1.4.3.2.2．組合截面慣性矩的計算 組合圖形對某軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡單圖形對同一軸的慣性矩之和。 【例4-4】計算圖4-15所示T形截面對形心z軸的慣性矩Izc。 【解】(1)求截面相對底邊的形心坐標(biāo) (2)求截面對形心軸的慣性矩 圖4-14 圖4-15 【例4-5】試計算圖4-16所示由兩根N020槽鋼組成的截面對形心軸z、Y的慣性矩。 【解】組合截面有兩根對稱軸，形心C就在這兩對稱軸的交點。由型鋼表查得每根槽鋼的形心C1或C2到腹板邊緣的距離為19.5m

21、m，每根槽鋼截面積為： 每根槽鋼對本身形心軸的慣性矩為： 整個截面對形心軸的慣性矩應(yīng)等于兩根槽鋼對形心軸的慣性軸之和，故得： 圖4-16 1.4.4形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念 若截面對某坐標(biāo)軸的慣性積Izoyo=0，則這對坐標(biāo)軸z、、yo稱為截面的主慣性軸，簡稱主軸。截面對主軸的慣性矩稱為主慣性矩，簡稱主慣矩。通過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。截面對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱為形心主慣矩。 凡通過截面形心，且包含有一定對稱軸的一對相互垂直的坐標(biāo)軸一定是型心主軸。 二、構(gòu)件內(nèi)力計算 2.1軸向拉伸和壓縮時的內(nèi)力 2.1.1軸向拉伸

22、和壓縮的概念 沿桿件軸線作用一對大小相等、方向相反的外力，桿件將發(fā)生軸向伸長(或縮短)變形，這種變形稱為軸向拉伸(或壓縮)(圖4-17 a、b)。產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮的杠件稱為拉桿或壓桿。 （a） (b) 圖4-16 工程結(jié)構(gòu)中，拉桿和壓桿是常見的。如圖4-17所示的三角支架中，桿AB是拉桿，桿BC是壓桿。又如圖4-18所示的屋架，上弦桿是壓桿，下弦桿是拉桿。 圖4-18 圖4-17 2.1.2軸向拉壓桿的內(nèi)力——軸力 2.1.2.1軸向拉伸和壓縮時桿件的內(nèi)力——軸力 圖4-19 如圖4-

23、19(a)所示為一等截面直桿受軸向外力作用，產(chǎn)生軸向拉伸變形?，F(xiàn)用截面法分析m-m截面上的內(nèi)力。用假想的橫截面將桿在m—m截面處截開分為左、右兩部分，取左部分為研究對象如圖4-19(b)所示，左右兩段桿在橫截面上相互作用的內(nèi)力是一個分布力系，其合力為N。由于整個桿件是處于平衡狀態(tài)，所以左段桿也應(yīng)保持平衡，由平衡條件ΣX=0可知，m—m橫截面上分布內(nèi)力的合力N必然是一個與桿軸相重合的內(nèi)力，且N===F，其指向背離截面。同理，若取右段為研究對象如圖4-19(c)所示，可得出相同的結(jié)果。 對于壓桿，也可通過上述方法求得其任一橫截面上的內(nèi)力N，但其指向為 指向截面。 我們將作用線與桿件軸線相重合

24、的內(nèi)力，稱為軸力，用符號N表示。背離截面的軸力，稱為拉力；而指向截面的軸力，稱為壓力。 2.1.2.2軸力的正負(fù)號規(guī)定 軸向拉力為正號，軸向壓力為負(fù)號。在求軸力時，通常將軸力假設(shè)為拉力方向，這樣由平衡條件求出結(jié)果的正負(fù)號，就可直接代表軸力本身的正負(fù)號。 軸力的單位為N或kN。 2.1.2.3軸力圖 當(dāng)桿件受到多于兩個軸向外力的作用時，在桿件的不同橫截面上軸力不盡相同。我們將表明沿桿長各個橫截面上軸力變化規(guī)律的圖形，稱為軸力圖。以平行于桿軸線的橫坐標(biāo)軸z表示各橫截面位置，以垂直于桿軸線的縱坐標(biāo)N表示各橫截面上軸力的大小，將各截面上的軸力按一定比例畫在坐標(biāo)系中并連線，就得到軸力圖。畫軸力

25、圖時，將正的軸力畫在軸線上方，負(fù)的軸力畫在軸線下方。 【例4-6】一直桿受軸向外力作用如圖4-20(a)所示，試用截面法求各段桿的軸力。 【解】(1)用截面法求各段桿橫截面上的軸力 AB段取1—1截面左部分桿件為研究對象，其受力如圖4-20(a)所示，由平衡條件 得 BC段取2—2截面左部分桿件為研究對象，其受力如圖4-20 (c)所示，由平衡條件圖4-20 ,得 CD段取3—3截面右部分桿為研究對象，其受力如圖4-20(d)所示，由平衡條件,得 (2)畫軸力圖 根據(jù)上面求出各段桿軸力的大小及其正負(fù)號畫出軸力圖，如圖4-20(e)所示： 【例4-7】試畫出

26、圖4-21(a)所示階梯柱的軸力圖，已知F=40kN。 【解】(1)求各段柱的軸力 (2)畫軸力圖 根據(jù)上面求出各段柱的軸力畫出階梯柱的軸力圖，如圖4-21(b)所示。 圖4-21 值得注意的是：①在采用截面法之前，外力不能沿其作用線移動。因為將外力移動后就改變了桿件的變形性質(zhì)，內(nèi)力也就隨之改變。②軸力圖、受力圖應(yīng)與原圖各截面對齊。當(dāng)桿水平放置時，正值應(yīng)畫在與桿件軸線平行的橫坐標(biāo)軸的上方，而負(fù)值則畫在下方，并必須標(biāo)出正號或負(fù)號，如圖4-20所示；當(dāng)桿件豎直放置時正、負(fù)值可分別畫在桿軸線兩側(cè)并標(biāo)出正號或負(fù)號。軸力圖上必須標(biāo)明橫截面的軸力值、圖名及其單位，還應(yīng)適當(dāng)?shù)禺嬕恍┡c桿件軸線垂

27、直的直線。當(dāng)熟練時，可以不畫 各段桿的受力圖，直接畫出軸力圖，橫坐標(biāo)軸z和縱坐標(biāo)軸N也可以省略不畫，如圖4-21(b)所示。 從前面的幾個例題的計算中我們會發(fā)現(xiàn)：截面上的軸力與所研究的桿段上的外力之間存在一種關(guān)系，即軸力等于所取桿段（左段或右段）上外力的代數(shù)和。在計算軸力時，外力的方向背離截面（引起拉力）取正號，外力的方向指向截面（引起壓力）取負(fù)號。用這種規(guī)律求軸力可以省去列平衡方程，使計算簡化。 2.2扭轉(zhuǎn)內(nèi)力 2.2.1扭轉(zhuǎn)的概念 圖4-22 扭轉(zhuǎn)變形是桿件基本變形之一。在垂直桿件軸線的兩平面內(nèi)，作用一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶時，桿件就產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。大多數(shù)受扭的桿件其橫截面為

28、圓形，受扭的圓截面桿稱為圓軸。圓軸扭轉(zhuǎn)的變形特點是桿件的各橫截面繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。其中桿件任意兩截面間相對轉(zhuǎn)動的角度稱為扭轉(zhuǎn)角，用ψ表示。如圖4-22中的ψ角就是曰截面相對A截面的扭轉(zhuǎn)角。 圖4-23 圖4-24 在工程中，以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件是很多的。如汽車轉(zhuǎn)向盤的操縱桿(圖4-23)、攪拌器的主軸(圖4-24)、鉆探機的鉆桿和機械的傳動軸等。 2.2.2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力 2.2.2.1外力偶矩的計算 作用于軸上的外力偶，有時在工程中并不是已知的，常常是已知軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速，再由下式求出外力偶矩，即 (4—11)

29、 式中，P為軸傳遞的功率(kW)；n為軸的轉(zhuǎn)速(r／min)；M。為軸上的外力偶矩(Nm)。 若功率的單位為馬力，則外力矩的計算公式為 (4—12) 2.2.2.2扭矩 圖4-25 圓軸橫截面上的內(nèi)力仍通過截面法來進行分析。下面以圖4-25（a）所示兩端承受外力偶矩Me作用的圓軸為例，來說明求任意橫截面m—m上內(nèi)力的方法。用假想截面沿截面m-m將軸截開，任取一段(如左段)，如圖4-25（b）所示。由于圓軸AB是平衡的，因此截取部分也處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力偶的性質(zhì)，橫截面m-m上必有一個內(nèi)力偶矩與外力偶矩肘。平衡，我們把這個內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用T表示，單位為Nm或kNm。由平衡條件得

30、 若取右段為研究對象，如圖4-25（c）所示，由平衡條件得 與取左段為研究對象結(jié)果相同。 以上結(jié)果說明，計算某截面上的扭矩，無論取該截面左側(cè)還是右側(cè)為研究對象，求出的扭矩大小都相等且轉(zhuǎn)向相反，它們是作用與反作用的關(guān)系。 為了使從截面左、右兩側(cè)求得同一截面的扭矩不但數(shù)值相等，而且有同樣的正負(fù)號，用右手螺旋法則規(guī)定扭矩的正負(fù)號。即以右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若大拇指的指向與橫截面的外法線n指向一致時，扭矩為正(圖9．5a)；反之，扭矩為負(fù)(圖9—5b)。當(dāng)橫截面上扭矩的實際轉(zhuǎn)向未知時，一般先假設(shè)扭矩為正。若求得結(jié)果為正，表示扭矩實際轉(zhuǎn)向與假設(shè)相同；若求得結(jié)果為負(fù)，則表示扭矩實際轉(zhuǎn)向與

31、假設(shè)相反。 圖4-26 例4-8 如圖4-27（a）所示，一傳動系統(tǒng)的主軸，其轉(zhuǎn)速n=960r／min，輸入功率PA=27．5kW，輸出功率P。：20kW，PB=7．5kW。試求指定截面1-1、2-2上的扭矩。 解 (1)計算外力偶矩。由式(4-11)得 同理可得 (2)計算扭矩。用截面法分別計算截面1-l、2-2上的扭矩。 截面l-1： 圖4-27 假想地沿截面1-1處將軸截開，取左段為研究對象，并假設(shè)截面l-1上的扭矩為T1，且為正方向(圖4-27b)，由平衡條件得 負(fù)號表示該截面上的扭矩實際轉(zhuǎn)向與假設(shè)轉(zhuǎn)向相反，即為負(fù)方向。 截面2-2： 假想沿截

32、面2-2將軸截開，取左段為研究對象，并假設(shè)截面2-2上的扭矩為疋，且為正方向(圖4-27c)，由平衡條件得 負(fù)號表示該截面上的扭矩實際轉(zhuǎn)向與假設(shè)轉(zhuǎn)向相反，即為負(fù)方向。 若以截面2-2右段為研究對象(圖4-27d)，同理，由平衡條件得 所得結(jié)果與取左段為研究對象的結(jié)果相同，計算卻比較簡單。所以計算某截面上的扭矩時。應(yīng)取受力比較簡單的一段為研究對象。 由上面的計算結(jié)果不難看出：受扭桿件任一橫截面上扭矩的大小。等于此截面一側(cè)(左或右)所有外力偶矩的代數(shù)和。 2.2.2.3扭矩圖 當(dāng)軸上同時作用兩個以上的外力偶時，橫截面上的扭矩隨截面位置的不同而變化。反映軸各橫截面上扭矩隨截面位置

33、不同而變化的圖形稱為扭矩圖。根據(jù)扭矩圖可以確定最大扭矩值及其所在截面的位置。 扭矩圖的繪制方法與軸力圖相似。需先以軸線為橫軸z、以扭矩r為縱軸，建立卜z坐標(biāo)系，然后將各截面上的扭矩標(biāo)在卜z坐標(biāo)系中，正扭矩在x軸上方，負(fù)扭矩在x軸下方。 下面通過例題說明扭矩圖繪制的方法和步驟。 例4-9 傳動軸如圖4-28a所示，主動輪A輸入功率PA=120kW，從動輪B、 C、D輸出功率分別為PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300 r／min。試作出該軸的扭矩圖。 解 (1)計算外力偶矩。由式(4-11)得 同理可得 (2)計算扭矩。根據(jù)作用在軸上的外

34、力偶，將軸分成鮒、AC和CD三段．用截面法分別計算各段軸的扭矩，如圖4-28b、c、d所示。 (3)作扭矩圖。建立T-x坐標(biāo)系．x軸沿軸線方向，T向上為正。將軸各橫截面上的扭矩標(biāo)在T-x坐標(biāo)中。由于BA段各橫截面上扭矩均為-0.95 kNm，故扭矩圖為平行于x軸的直線，且位于z軸下方；而AC段、CB段各橫截面上扭矩分別為2.87kNm和1.59kNm，故扭矩圖均為平行于x軸的直線，且位于x軸上方，于是得到如圖4-28e所示的扭矩圖。 從扭矩圖可以看出，在集中力偶作用處，其左右截面扭矩不同，此處發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大?。鹤畲笈ぞ匕l(fā)生在AC段內(nèi)，且Tmax=2.87kNm。

35、討論 對同一根軸來說，若把主動輪A與從動輪B對調(diào)，即把主動輪布置于軸的左端(圖4-29a)，則得到該軸的扭矩圖(圖4-29b)。這時軸的最大扭矩發(fā)生在AB段內(nèi)，且Tmax=3.82kNm。 比較圖4-28e和圖4-29b可見，傳動軸上主動輪和從動輪布置的位置不同，軸所承受的最大扭矩也隨之改變。軸的強度和剛度都與最大扭矩值有關(guān)。因此．在布置輪子位置時，要盡可能降低軸內(nèi)的最大扭矩值。顯然圖4-28布局比較合理． 圖4-28 圖4-29 2.3彎曲內(nèi)力 2.3.1平面彎曲的概念 2.3.1.1彎曲和平面彎曲 2.3.1.1.1彎曲 在工程中我們經(jīng)常遇到這樣一些情況：桿件

36、所受的外力的作用線是垂直于桿軸線的平衡力系(或在縱向平面內(nèi)作用外力偶)。在這些外力作用下，桿的軸線由直線變成曲線(圖4-30)，圖中虛線表示梁在外力作用下變形后的軸線)。這種變形稱為彎曲。凡是以彎曲為主要變形的桿件通常稱之為梁。 圖4-30 梁是工程中一種常用的桿件，尤其是在建筑工程中，它占有特別重要的地位。如房屋 建筑中常用于支承樓板的梁(圖4-31)，陽臺的挑梁(圖4-32)，門窗過梁(圖4-33)，廠 房中的吊車梁(圖4-34)，粱式橋的主梁(圖4-35)等等。 圖4-32 圖4-31 圖4-34

37、 圖4-33 圖4-36 圖4-35 2.3.1.1.2平面彎曲 工程中常見的梁，其橫截面大多為矩形、工字形、T形、十字形、槽形等(圖4-36)，它們都有對稱軸，梁橫截面的對稱軸和梁的軸線所組成的平面通常稱為縱向?qū)ΨQ平面(圖4-37)。當(dāng)作用于梁上的力(包括主動力和約束反力)全部都在梁的同一縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時，梁變形后的軸線也在該平面內(nèi)，我們把這種力的作用平面與梁的變形平面相重合的彎曲稱為平面彎曲。圖4-37中的梁就產(chǎn)生了平面彎曲。 平面彎曲是彎曲問題中最常見，而且最簡單的彎曲。本章只對平面彎曲變形進行分析和討論。 2.3.1.2梁的類型 圖4-

38、37 工程中通常根據(jù)梁的支座反力能否用靜力平衡方程全部求出，將梁分為靜定梁和超靜定梁兩類。凡是通過靜力平衡方程就能夠求出全部約束反力和內(nèi)力的梁，統(tǒng)稱為靜定梁。靜定梁又根據(jù)其跨數(shù)分為單跨靜定梁和多跨靜定梁兩類，單跨靜定梁是本章的研究對象。通常根據(jù)支座情況將單跨靜定梁分為三種基本形式。 (1)懸臂梁一端為固定端支座，另一端為自由端的梁(圖4-38a) (2)簡支梁一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座的梁(圖4-38b) (3)外伸梁梁身的一端或兩端伸出支座的簡支梁(圖4-38c、d) 圖4-38 第二節(jié) 構(gòu)件承載力分析

39、 2.3.2梁的內(nèi)力 在求出梁的支座反力后，為了計算梁的應(yīng)力和位移，從而對梁進行強度和剛度計算，需要首先研究梁的內(nèi)力。 2.3.2.1梁的內(nèi)力——剪力和彎矩 梁在產(chǎn)生平面彎曲時將會產(chǎn)生哪些內(nèi)力呢?下面我們?nèi)杂们髢?nèi)力的基本方法——截面法來討論梁的內(nèi)力。 現(xiàn)以圖4-39a所示的簡支梁為例來分析。設(shè)荷載FP和支座反力FAy 、FBy均作用在同一縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，組成的平面力系使梁處于平衡狀態(tài)，欲計算截面1-1上的內(nèi)力。 圖4-39 用一個假想的平面將該梁從要求內(nèi)力的位置1—1處切開，使梁分成左右兩段，由于原來梁處于平衡狀態(tài)，所以被切開后它的左段或右段也處于平衡狀態(tài)，可以任取一段為隔離體?，F(xiàn)

40、取左段研究。在左段梁上向上的支座反力FAy有使梁段向上移動的可能，為了維持平衡，首先要保證該段在豎直方向不發(fā)生移動，于是左段在切開的截面上必定存在與FAy，大小相等、方向相反的內(nèi)力FQ但是，內(nèi)力FQ只能保證左段梁不移動，還不能保證左段梁不轉(zhuǎn)動，因為支座反力FAy，對1-1截面形心有一個順時針方向的力矩FAyx， 這個力矩使該段有順時針方向轉(zhuǎn)動的趨勢。為了保證左段梁不發(fā)生轉(zhuǎn)動，在切開的1-1 截面上還必定存在一個與FAyx力矩大小相等、轉(zhuǎn)向相反的內(nèi)力偶M(圖4-39b)。這樣在1-1截面上同時有了FQ和M才使梁段處于平衡狀態(tài)?？梢姡a(chǎn)生平面彎曲的梁在其橫截面上有兩個內(nèi)力：其一是與橫截面相切的

41、內(nèi)力FQ，稱為剪力；其二是在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的內(nèi)力偶，其力偶矩為M，稱為彎矩。 截面1-1上的剪力和彎矩值可由左段梁的平衡條件求得。 由得 將力矩方程的矩心選在截面1-1的形心C點處，剪力FQ將通過矩心。 由得 以上左段梁在截面1-1上的剪力和彎矩，實際上是右段梁對左段梁的作用。根據(jù)作用力與反作用力原理可知，右段梁在截面1-1上的FQ、M與左段梁在1-1截面上的FQ、M應(yīng)大小相等、方向(或轉(zhuǎn)向)相反(圖4-39c)。若對右段梁列平衡方程進行求解，求出的FQ及M也必然如此，請讀者自己驗證。 2.3.2.2剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定 由上述分析可知：分別取左、右梁段所求

42、出的同一截面上的內(nèi)力數(shù)值雖然相等，但方向(或轉(zhuǎn)向)卻正好相反，為了使根據(jù)兩段梁的平衡條件求得的同一截面(如1—1截面)上的剪力和彎矩具有相同的正、負(fù)號，這里對剪力和彎矩的正負(fù)號作如下規(guī)定。 2.3.2.2.1剪力的正負(fù)號規(guī)定 當(dāng)截面上的剪力FQ使所研究的梁段有順時針方向轉(zhuǎn)動趨時，剪力為正(圖4-40a)；有逆時針方向轉(zhuǎn)動趨勢時剪力為負(fù)(圖4-40b)。 2.3.2.2.2彎矩的正負(fù)號規(guī)定 當(dāng)截面上的彎矩肘使所研究的水平梁段產(chǎn)生向下凸的變形時(即該梁段的下部受拉，上部受壓)彎矩為正(圖ll一12a)；產(chǎn)生向上凸的變形時(即該梁段的上部受拉，下部受壓)彎矩為負(fù)(圖11—12b)。 圖4-

43、40 2.3.2.3用截面法求指定截面上的剪力和彎矩 用截面法求梁指定截面上的剪力和彎矩時的步驟如下： 1)求支座反力。 2)用假想的截面將梁從要求剪力和彎矩的位置截開。 3)取截面的任一側(cè)為隔離體，作出其受力圖，列平衡方程求出剪力和彎矩。 圖4-41 下面舉例說明如何用截面法求梁指定截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩。 例4-10試用截面法求圖4-42a所示懸臂梁1-l、2-2截面上的剪力和彎矩。 已知：q=15kN／m，F(xiàn)，=30kN。圖中截面1-1無限接近于截面A，但在A的右側(cè)，通常稱為A偏右截面。 解 圖示梁為懸臂梁，由于懸臂梁具有一端為自由端的特征，所以在計算內(nèi)力時可

44、以不求其支座反力。但在不求支座反力的情況下，不能取有支座的梁段計算。 圖4-42 (1)求1-1截面的剪力和彎矩。用假想的截面將梁從1-1位置截開，取1-1截面的右側(cè)為隔離體，作該段的受力圖(圖4-42b)，圖中1-1截面上的剪力和彎矩都按照正方向假定，由平衡方程∑Fy=0得 計算結(jié)果為正，說明1-1截面上剪力的實際方向與圖中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力為正值。 由∑M1=0得 計算結(jié)果為負(fù)，說明1-1截面上彎矩的實際方向與圖中假定的方向相反，即1-1截面上的彎矩為負(fù)值。 (2)求2-2截面上的剪力和彎矩。用假想的截面將梁從2-2位置截開，取2-2截面的右側(cè)

45、為隔離體，作該段的受力圖，如圖4-42e所示。由平衡方程∑Fy=0，得 由∑M2=0得 例4-11 用截面法求圖4-43a所示外伸梁指定截面上的剪力和彎矩。已知： Fp=100kN，a=1．5m，M=75kNm，(圖中截面1-l、2-2都無限接近于截面 A，但1-1在A左側(cè)、2-2在A右側(cè)，習(xí)慣稱1-1為A偏左截面，2-2為A偏右截面；同樣3-3、4-4分別稱為D偏左及偏右截面)。 解 (1)求支座反力。對簡支梁和外伸梁必須求支座反力。以B點為矩心，列力矩平衡方程。 由∑MB=0得 由∑Fy=0得 (2)求1-1截面上的剪力和彎矩。取1-1截面的左側(cè)梁

46、段為隔離體，作該段的受力圖(圖4-43b)。由平衡方程 圖4-43 (3)求2-2截面上的剪力和彎矩。取2-2截面的左側(cè)梁段為隔離體，作該段的受力圖(圖4-43c)。由平衡方程 (4)求3-3截面的剪力和彎矩。取3-3截面的右段為隔離體，作該段的受力圖(圖4-43d)。由平衡方程 (5)求4-4截面的剪力和彎矩。取4-4截面的右段為隔離體，作該段的受力圖(圖4-43e)。由平衡方程 對比1-1、2-2截面上的內(nèi)力會發(fā)現(xiàn)：在A偏左及偏右截面上的剪力不同。而彎矩相同，左、右兩側(cè)剪力相差的數(shù)值正好等于A截面處集中力的大小。我們稱這種現(xiàn)象為剪力發(fā)生了突變；對比3-3、4-

47、4截面上的內(nèi)力會發(fā)現(xiàn)：在D偏左及偏右截面上的剪力相同，而彎矩不同，左、右兩側(cè)彎矩相差的數(shù)值正好等于D截面處集中力偶的大小，我們稱這種現(xiàn)象為彎矩發(fā)生了突變。 截面法是求內(nèi)力的基本方法，利用截面法求內(nèi)力時應(yīng)注意以下幾點： 1)用截面法求梁的內(nèi)力時，可取截面任一側(cè)研究，但為了簡化計算，通常取外力比較少的一側(cè)來研究。 2)作所取隔離體的受力圖時，在切開的截面上，未知的剪力和彎矩通常均按正方向假定。這樣能夠把計算結(jié)果的正、負(fù)號和剪力、彎矩的正負(fù)號相統(tǒng)一，即計算結(jié)果的正負(fù)號就表示內(nèi)力的正負(fù)號。 3)在列梁段的靜力平衡方程時，要把剪力、彎矩當(dāng)作隔離體上的外力來看待。因此，平衡方程中剪力、彎矩的正負(fù)號

48、應(yīng)按靜力計算的習(xí)慣而定，不要與剪力、彎矩本身的正、負(fù)號相混淆。 4)在集中力作用處，剪力發(fā)生突變，沒有固定數(shù)值，應(yīng)分別計算該處稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而彎矩在該處有固定數(shù)值，稍偏左及稍偏右截面上的數(shù)值相同，只需要計算該截面處的一個彎矩即可；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，沒有固定數(shù)值，應(yīng)分別計算該處稍偏左及稍偏右截面上的彎矩，而剪力在該處有固定數(shù)值，稍偏左及稍偏右截面上的數(shù)值相同，只需要計算該截面處的一個剪力即可。 2.3.2.4直接用外力計算截面上的剪力和彎矩 通過對用截面法計算梁的內(nèi)力進行分析，我們可以發(fā)現(xiàn)：截面上的內(nèi)力和該截面一側(cè)外力之間存在一種關(guān)系(規(guī)律)，因此，通?？梢岳?/p>

49、規(guī)律直接根據(jù)截面的任一側(cè)梁上的外力來求出該截面上的剪力和彎矩，省去作梁段的受力圖和列平衡方程，使計算內(nèi)力的過程簡單化，我們稱這種方法為直接用外力計算截面上的剪力和彎矩，簡稱用規(guī)律求剪力和彎矩。 2.3.2.4.1用外力直接求截面上剪力的規(guī)律 梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)(左側(cè)或右側(cè))梁段上所有外力在平行于剪力方向投影的代數(shù)和(由∑Fy=0的平衡方程移項而來)。用式子可表示為 根據(jù)對剪力正負(fù)號的規(guī)定可知：在左側(cè)梁段上所有向上的外力會在截面上產(chǎn)生正剪力，而所有向下的外力會在截面上產(chǎn)生負(fù)剪力；在右側(cè)梁段上所有向下的外力會在截面上產(chǎn)生正剪力，而所有向上的外力會在截面上產(chǎn)生

50、負(fù)剪力。即：左上右下正，反之負(fù)。由于力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影都等于零，因此作用在梁上的力偶對剪力沒有影響。 2.3.2.4.2用外力直接求截面上彎矩的規(guī)律 梁內(nèi)任一截面上的彎矩肘，等于該截面一側(cè)(左側(cè)或右側(cè))所有外力對該截面形心取力矩的代數(shù)和(由∑Mc=0的平衡方程移項而來)。 用式子可表示為 根據(jù)對彎矩正負(fù)號的規(guī)定可知：在左側(cè)梁段上的外力(包括外力偶)對截面形心的力矩為順時針時，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為逆時針時在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩；在右側(cè)梁段上的外力(包括外力偶)對截面形心的力矩為逆時針時，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為順時針時在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩，即：左順右逆正，反之負(fù)。 例4-12 求

51、圖4-44所示簡支梁指定截面上的剪力和彎矩。已知：M=8kNm，q=2kN／m。 解 (1)求支座反力。取梁AB為隔離體，假設(shè)支座反力FAy向下、FBy向上。由平衡方程 圖4-44 (2)求1-1截面上的剪力和彎矩。從1-1位置處將梁截開后，取該截面的左側(cè)為隔離體。作用在左側(cè)梁段上的外力有：力偶M，支座反力FAy，由FQ=∑FL。及左上剪力正，反之負(fù)的規(guī)律可知 由M=∑Mc(FL)及左順彎矩正的規(guī)律可知 (3)求2-2截面上的剪力和彎矩。從2-2位置處將梁截開后，取該截面的右側(cè)為隔離體。作用在右側(cè)梁段上的外力有：均布荷載q，支座反力F毋，由FQ=∑FL及右下剪力正的

52、規(guī)律可知 由M=∑Mc(FL)及右逆彎矩正，反之負(fù)的規(guī)律可知 (4)求3-3截面上的剪力和彎矩。從3-3位置處將梁截開后，取該截面的右側(cè)為隔離體。作用在右側(cè)梁段上的外力有：均布荷載q，支座反力FBy，由FQ=∑FR及右下剪力正，反之負(fù)的規(guī)律可知 由M=∑Mc(FR)及右逆彎矩正，反之負(fù)的規(guī)律可知 當(dāng)然在計算1-1截面的剪力和彎矩時也可以取該截面右側(cè)計算，在求2-2、3-3截面的剪力和彎矩時也可以取該截面左側(cè)計算，請讀者自己練習(xí)。 例4-13 求圖4-45所示外伸梁指定截面上的剪力和彎矩。已知：M=6kNm，q=1kN／m，F(xiàn)P=3kN。 圖4

53、-45 解 (1)求支座反力。由平衡方程 檢驗：說明支座反力計算正確。 (2)求1-1、2-2截面上的剪力和彎矩。從要求剪力和彎矩的截面位置處將梁截開后，取該截面的左側(cè)為隔離體。由FQ=∑FL及左上剪力正、M=∑Mc(FL)及左順彎矩正的規(guī)律可知 (3)求3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。從要求剪力和彎矩的截面位置處將梁截開后，取該截面的右側(cè)為隔離體。由FQ=∑FR及右下剪力正、M=∑Mc(FR)及右逆彎矩正的規(guī)律可知 顯然，用“規(guī)律”直接計算剪力和彎矩比較簡捷，所以，實際計算時經(jīng)常使用。 2.3.3梁的內(nèi)力圖 由上節(jié)各例題可知：通常情況下，梁上不同截面上

54、的剪力和彎矩值是不同的，即梁的內(nèi)力(剪力和彎矩)隨梁橫截面的位置而變化。對梁進行強度和剛度計算時，除了要計算指定截面上的內(nèi)力外，還必須知道內(nèi)力沿梁軸線的變化規(guī)律，從而找到內(nèi)力的最大值以及最大內(nèi)力值所在的位置。所以，本節(jié)要討論梁的內(nèi)力圖，以便形象地了解內(nèi)力在全梁范圍內(nèi)的變化規(guī)律。為今后學(xué)習(xí)強度和剛度以及學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)。 2.3.3.1剪力方程和彎矩方程 梁橫截面上的剪力和彎矩一般是隨橫截面的位置而變化的。若橫截面沿梁軸線的位置用橫坐標(biāo)x表示，則梁內(nèi)各橫截面上的剪力和彎矩就都可以表示為坐標(biāo)y的函數(shù)，即 圖4-46 以上兩函數(shù)分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。 通過梁的剪力方程和彎

55、矩方程，可以找到剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律。 在建立剪力方程、彎矩方程時，剪力、彎矩仍然可使用截面法或用“規(guī)律”直接由外力計算。如圖4-46a所示的懸臂梁，當(dāng)將坐標(biāo)原點假定在左端點A上時(圖4-46b)，在距離原點為x的位置處取一截面，并取該截面的左側(cè) 研究，直接用外力的規(guī)律可寫出方程。 剪力方程為 彎矩方程為 式中括號內(nèi)表示z值的取值范圍，即方程的適用范圍。 可見，當(dāng)x=0時表示該懸臂梁A偏右截面上的剪力FQRB=一FP及A截面上的彎矩MA=0；當(dāng)x=l時表示B偏左截面上的內(nèi)力FQBR=一FP、MBL=FPl。 2.3.3.2剪力圖和彎矩圖 為了形象地表明沿梁軸線各

56、橫截面上剪力和彎矩的變化情況，通常將剪力和彎矩在全梁范圍內(nèi)變化的規(guī)律用圖形來表示，這種圖形稱為剪力圖和彎矩圖。 2.3.3.2.1作剪力圖和彎矩圖最基本的方法 作剪力圖和彎矩圖最基本的方法是：根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別繪出剪力圖和彎矩圖。 繪圖時，以平行于梁軸線的坐標(biāo)x表示梁橫截面的位置，以垂直于x軸的縱坐標(biāo)(按適當(dāng)?shù)谋壤? 表示相應(yīng)橫截面上的剪力或彎矩。在土建工程中，對于水平梁而言，習(xí)慣將正剪力作在x軸的上方，負(fù)剪力作在x軸的下方，并標(biāo)明正、負(fù)號；正彎矩作在x軸的下方，負(fù)彎矩作在x軸的上方，即彎矩圖總是作在梁受拉的一側(cè)。對于非水平梁而言，剪力圖可以作在梁軸線的任一側(cè)，并標(biāo)明正、負(fù)號；彎

57、矩圖作在梁受拉的一側(cè)。 例4-14 作圖4-47a所示懸臂梁在集中力作用下的剪力圖和彎矩圖。 解 因為圖示梁為懸臂梁，所以可以不求支座反力。 (1)列剪力方程和彎矩方程。將坐標(biāo)原點假定在左端點A處，并取距A端為x的截面左側(cè)研究。 剪力方程為 彎矩方程為 (2)作剪力圖和彎矩圖。剪力方程為x的常函數(shù)，所以不論x取何值剪力恒等于-FP，剪力圖為一條與x軸平行的直線，而且在z軸的下方。剪力圖如圖4-47b所示。 彎矩方程為z的一次函數(shù)，所以彎矩圖為一條斜直線。由于不論z取何值彎矩均為負(fù)值，所以彎矩圖應(yīng)作在x軸的上方。 圖4-47 作彎矩圖如圖4-47c所示。 與作

58、桿件的軸力圖、扭矩圖類似，在作出的剪力圖上要標(biāo)出控制截面的內(nèi)力值、剪力的正負(fù)號，作出垂直于x軸的細(xì)直線；而彎矩圖比較特殊，由于彎矩圖總是作在梁受拉的一側(cè)，因此可以不標(biāo)正負(fù)號，其他要求同剪力圖。 例4-15 作圖4-48a所示簡支梁在集中力作用下的剪力圖和彎矩圖。 解 (1)求支座反力。取整體梁為隔離體，由平衡方程 圖4-48 (2)列剪力方程和彎矩方程。經(jīng)過觀察注意到：該梁在C截面上作用一個集中力，使AC段和CB段的剪力方程和彎矩方程不同，因此列方程時要將梁從C截面處分成兩段。 Ac段：在AC段上距A端為z1的任意截面處將梁截開，取左段研究，根據(jù)左段上的外力直接列方程

59、 CB段：在CB段上距B端為x2的任意截面處將梁截開，取右段研究，根據(jù)右段上的外力直接列方程 (3)作剪力圖和彎矩圖。根據(jù)剪力方程和彎 矩方程判斷剪力圖和彎矩圖的形狀，確定控制截面的個數(shù)及內(nèi)力值，作圖。 剪力圖：AC段和CB段的剪力方程均是x的常函數(shù)，所以AC段、CB段的剪力圖都是與z軸平行的直線，每段上只需要計算一個控制截面的剪力值。 AC段：剪力值為，圖形在x軸的上方。 CB段：剪力值為圖形在z軸的下方。 彎矩圖：AC段和CB段的彎矩方程均是x的一次函數(shù)，所以AC段、CB段的彎矩圖都是一條斜直線，每段上需要分別計算兩個控制截面的彎矩值。 AC段： 將及兩

60、點連線即可以作出AC段的彎矩圖。 CB段： 將及兩點連線即可以作出CB段的彎矩圖。 作出的剪力圖、彎矩圖如圖4-48b、C所示。 注意：應(yīng)將內(nèi)力圖與梁的計算簡圖對齊。在寫出圖名(FQ圖、M圖)、控制截面內(nèi)力值、標(biāo)明內(nèi)力正、負(fù)號的情況下，可以不作出坐標(biāo)軸。習(xí)慣上作圖時常用這種方法。 由彎矩圖可知：簡支梁上只有一個集中力作用時。在集中力作用處彎矩出現(xiàn)最大值，；若集中力正好作用在梁的跨中，即時。彎矩的最大值為。 這個結(jié)論在今后學(xué)習(xí)疊加法時經(jīng)常用到，要特別注意。 由例4-14和例4-15可以看出：在梁上無荷載作用的區(qū)段，其剪力圖都是平行于x軸的直線。在集中力作用處，剪力圖是不

61、連續(xù)的，我們稱之為剪力圖突變，突變的絕對值等于集中力的數(shù)值；在梁上無荷載作用的區(qū)段，其彎矩圖是斜直線，在集中力作用處，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，出現(xiàn)尖角現(xiàn)象。 例4-16 作圖4-49a所示外伸梁在集中力偶作用下的剪力圖、彎矩圖。已知：。 解 (1)求支座反力。取梁AD為隔離體，由平衡方程 (2)列剪力方程和彎矩方程。以梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面為分段的界限，將梁分成AB、BC、CD三段。 AB段：在AB段的任意位置x1，處取截面，并取截面左側(cè)研究，由作用在左側(cè)梁段上的外力可知： BC段：在BC段的任意位置x2處取截面，并取截面右側(cè)研究，由作用在右側(cè)梁段上的外力可知：

62、 (3)作剪力圖和彎矩圖。 剪力圖：AB段的剪力方程為常函數(shù)，BC段、CD段的剪力方程也為常函數(shù)，所以每段只需要確定一個控制截面的剪力值即可。 圖4-49 AB段的剪力值為-FP，BC段的剪力值為0，CD段的剪力值為0，在A日段范圍內(nèi)平行于x軸作數(shù)值等于一F，的直線作出AB段的剪力圖；在BC段范圍內(nèi)平行于x軸作數(shù)值等于0的直線作出BC段的剪力圖，在CD段范圍內(nèi)平行于z軸作數(shù)值等于0的直線作出CD段的剪力圖。作出的剪力圖如圖4-49b所示。 我們發(fā)現(xiàn)在B處由于有集中力的作用，剪力圖在該處發(fā)生了突變現(xiàn)象；而在C處有集中力偶作用，剪力圖在該處偏左、偏右的數(shù)值沒發(fā)生變化，我

63、們稱之為剪力圖在C處無變化。 彎矩圖：AB段的彎矩方程為一次函數(shù)，需要確定兩個控制截面的彎矩值： BC段、CD段的彎矩方程為常函數(shù)，只需要分別確定一個控制截面的彎矩值即可。 AB段： BC段：不論x2取何值，該段上的彎矩恒為-4FPa。 CD段：不論x3，取何值，該段上的彎矩恒為0。 將MA=0與MB=-4FPa連線作出AB段的彎矩圖；在BC段范圍內(nèi)平行于x軸按比例作數(shù)值等于-4FPa的直線作出BC段的彎矩圖；在CD段范圍內(nèi)平行于 x軸作數(shù)值等于0的直線作出CD段的彎矩圖。作出的彎矩圖如圖4-49c所示。 由例4-16可以看出：在集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖不連續(xù)

64、。發(fā)生突變。突變的絕對值等于集中力偶的力偶矩數(shù)值。而且在梁上無荷載作用的區(qū)段，當(dāng)剪力圖為與x軸重合的直線(即剪力圖為平行于x軸的直線，且數(shù)值為零)時。彎矩圖是一條平行于x軸的直線，特殊情況下與x軸重合(如例題4-16中的CD段)。 例4-17作圖4-50a所示簡支梁在滿跨向下均布荷載作用下的剪力圖和彎矩圖。 解 (1)求支座反力。由對稱關(guān)系可知 (2)列剪力方程和彎矩方程。在距左端點為x的位置取任意截面，并取截面左側(cè)研究，由該段上的外力可得 圖4-50 (3)作剪力圖和彎矩圖。 由剪力方程可知：剪力為x的一次函數(shù)，所以剪力圖為一條斜直線，需要確定兩個控制截面的數(shù)值。

65、 將與連線得梁的剪力圖，如圖4-50b所示。 由彎矩方程可知：彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖為一條二次拋物線，至少需要確定三個控制截面的數(shù)值。 將三點連線得梁的彎矩圖，如圖4-50c所示。 對于簡支梁在滿跨向下均布荷載作用下的彎矩圖，今后在學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，希望將這個彎矩圖非常牢固地記住。 例4-18作圖4-51a所示外伸梁在滿跨向下均布荷載作用下的剪力圖和彎矩圖。 解 (1)求支座反力。由平衡方程 (2)列剪力方程和彎矩方程。根據(jù)梁的端截面及集中力的作用截面將梁分成AB、曰C兩段。 在AB段上距左端點為x，的位置取任意截面，并取截面左側(cè)研究，由該段上的外力可得 在B

66、C段上距右端點為x2的位置取任意截面，并取截面右側(cè)研究，由該段上的外力可得 圖4-51 (3)作剪力圖和彎矩圖。由剪力方程可知：剪力為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，各段上分別需要確定兩個控制截面的數(shù)值。 將FQA=2.1qa與FQBL=-2.9qa連線，將FQBR=-2qa與FQC=0連線得梁的剪力圖，如圖4-51b所示。 由彎矩方程可知：彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線，各段上分別需要 確定三個控制截面的數(shù)值。 當(dāng)x1=2.1a時，剪力等于零；彎矩取得該段上的極值Mmax=2.2qa2。 將與和三點連線得AB段梁的彎矩圖；將與和三點連線得BC段梁的彎矩圖，如圖4-51c所示。 由例4-16及例4-17可以看出：在水平梁上有向下均布荷載作用的區(qū)段。剪力圖為從左向右的下斜直線。彎矩圖為開口向上(下凸)的二次拋物線；在剪力為零的截面處，彎矩存在極值。 上述通過幾個典型例題總結(jié)出的一些規(guī)律具有普遍意義，對于今后快速作圖、檢查剪力圖和彎矩圖的正確性都非常有用，應(yīng)該重點掌握。 2.3.3.2.2用簡捷法繪制梁的剪力圖和彎矩圖