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新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修五達(dá)標(biāo)練習(xí):第2章 167;3 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 Word版含解析

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1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料     [A 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離為(  ) A.50 m        B.50 m C.25 m D. m 解析:選A.由正弦定理得=.又∠CBA=180°-45°-105°=30°,故AB===50 (m). 2.如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔的高度AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得∠BCD=15

2、6;,∠BDC=30°,CD=30米,并在C測(cè)得塔頂A的仰角為60°,則塔AB的高度為(  ) A.15米 B.15米 C.15(+1)米 D.15米 解析:選D.在△BCD中,由正弦定理得BC==15(米).在Rt△ABC中,AB=BCtan 60°=15(米).故選D. 3.某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°方向且距離為10海里的C處,此時(shí)得知,該漁船沿北偏東105°方向,以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近,艦艇時(shí)速為21海里,則艦艇與漁船相遇的最短時(shí)間為(  ) A.20分鐘 B.40分鐘 C.60分鐘 D.80分鐘

3、 解析:選B.如圖,設(shè)它們?cè)贒處相遇,用時(shí)為t小時(shí),則AD=21t,CD=9t,∠ACD=120°,由余弦定理,得cos 120°=,解得t=(負(fù)值舍去),小時(shí)=40分種,即艦艇與漁船相遇的最短時(shí)間為40分鐘. 4.渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛,水流速度為4 km/h,則渡輪實(shí)際航行的速度約為(精確到0.1 km/h)(  ) A.14.5 km/h B.15.6 km/h C.13.5 km/h D.11.3 km/h 解析:選C.由物理學(xué)知識(shí), 畫出示意圖,AB=15, AD=4,∠BAD=120°

4、;. 在?ABCD中,D=60°, 在△ADC中,由余弦定理得 AC= == ≈13.5. 5.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的(  ) A.北偏東40° B.北偏西10° C.南偏東10° D.南偏西10° 解析:選B.如圖所示,∠ECA=40°,∠FCB=60°,∠ACB=180°-40°-60°=80°,因?yàn)锳C=BC,所以∠A=∠ABC==50

5、°,所以∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故選B. 6.如圖所示為一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并測(cè)量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,則∠ACB=________. 解析:在△ABC中,由余弦定理得 cos∠ACB==-. 因?yàn)椤螦CB∈(0,π),所以∠ACB=. 答案: 7.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100

6、m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是__________ m. 解析:設(shè)水柱的高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC= h,根據(jù)余弦定理,得(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50,故水柱的高度是50 m. 答案:50 8.一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲,然后向右轉(zhuǎn)105°,爬行10 cm捕捉到另一只小蟲,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它

7、的出發(fā)點(diǎn),那么x=________. 解析:如圖所示,設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn),先爬行到A點(diǎn),再爬行到B點(diǎn),易知在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°, 則∠AOB=60°,由正弦定理知: x===. 答案: 9.如圖,某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處,且與島嶼A相距120海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以100海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時(shí),該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°-α的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時(shí)追上. (1)求該軍艦艇的速度. (2)求sin α的值. 解:

8、(1)依題意知,∠CAB=120°,AB=100×2=200, AC=120,∠ACB=α, 在△ABC中, 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB =2002+1202-2×200×120cos 120° =78 400,解得BC=280. 所以該軍艦艇的速度為=140海里/小時(shí). (2)在△ABC中,由正弦定理, 得=,即 sin α===. 10.如圖,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前進(jìn) km到達(dá)D處,看

9、到A在他的北偏東45°方向,B在北偏東75°方向,試求這兩座建筑物之間的距離. 解:依題意得,CD= km,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°, ∠DAC=45°.在△BDC中, 由正弦定理得 BC===(km). 在△ADC中,由正弦定理得 AC== =3(km). 在△ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB =(3)2+()2-2×3×cos 45°=25. 所以AB=5(km),

10、 即這兩座建筑物之間的距離為5 km. [B 能力提升] 11.如圖,某山上原有一條筆直的山路BC,現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC,小李在山腳B處看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ABC=120°,從B處攀登400米后到達(dá)D處,再看索道AC,發(fā)現(xiàn)張角∠ADC=150°,從D處再攀登800米方到達(dá)C處,則索道AC的長為______米. 解析:在△ABD中,BD=400,∠ABD=120°, 因?yàn)椤螦DB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400,AD= =400.在△ADC中,DC=800,∠ADC=150

11、°,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,所以AC=400,故索道AC的長為400米. 答案:400 12.如圖,在山底測(cè)得山頂仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的斜坡走1 000 m至S點(diǎn),又測(cè)得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為______m. 解析:如圖,∠SAB=45°-30°=15°, 又∠SBD=15°, 所以∠ABS=

12、30°. AS=1 000,由正弦定理知=,所以BS=2 000sin 15°. 所以BD=BS·sin 75° =2 000sin 15°·cos 15°=1 000sin 30°=500, 且DC=ST=1 000sin 30°=500, 從而BC=DC+DB=1 000 m. 答案:1 000 13.某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度,如圖,在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射,觀測(cè)點(diǎn)A,B兩地相距100 m,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時(shí)

13、間比B地晚 s.A地測(cè)得該儀器在C處時(shí)的俯角為15°,A地測(cè)得該儀器在最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°,求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s) 解:由題意,設(shè)AC=x m, 則BC=x-×340=x-40 (m). 在△ABC中,由余弦定理得 BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC, 即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60&

14、#176;. 由正弦定理得=, 所以CH=AC·=140(m). 故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m. 14.(選做題)如圖,某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60°的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后,在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60°. (1)求該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時(shí),走了幾分鐘; (2)求塔的高AB.(結(jié)果保留根號(hào),不求近似值). 解:(1)依題意知,在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°

15、=135°,CD=6 000×=100 (m), ∠BDC=45°-30°=15°,由正弦定理得 =, 所以BC=== ==50(-1)(m), 在Rt△ABE中,tan α=,因?yàn)锳B為定長, 所以當(dāng)BE的長最小時(shí),α取最大值60°,這時(shí)BE⊥CD,當(dāng)BE⊥CD時(shí),在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(-1)·=25(3-)(m), 設(shè)該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時(shí),走了t分鐘,則t=×60=×60=(分鐘). (2)由(1)知當(dāng)α取得最大值60°時(shí),BE⊥CD, 在Rt△BEC中,BE=BC·sin∠BCD, 所以AB=BE·tan 60°=BC·sin ∠BCD·tan 60° =50(-1)··=25(3-)(m), 即所求塔高為25(3-) m.

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