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1、 新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第1章 1歸納與類比課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．下面幾種推理是合情推理的是(　　) ①由圓的周長為C＝πd類比出球的表面積為S＝πd2； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180； ③某次考試，張軍的成績是100分，由此推出全班同學(xué)的成績都是100分； ④三角形的內(nèi)角和是180，四邊形的內(nèi)角和是360，五邊形的內(nèi)角和是540，歸納出n邊形的內(nèi)角和是(n－2)180. A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ [答案]　C [解析

2、]　由合情推理的概念知①②④符合題意． 2．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 4569＋7等于(　　) 19＋2＝11， 129＋3＝111， 1239＋4＝1 111， 1 2349＋5＝11 111， 12 3459＋6＝111 111， …… A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 [答案]　B [解析]　利用歸納推理，由已知可推測等號右側(cè)應(yīng)有7個1. 3．三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r，a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為(　　) A．V＝abc B．V＝

3、Sh C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑) D．V＝(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高) [答案]　C [解析]　設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c；類比：設(shè)四面體A－BCD的內(nèi)切球的球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個以O(shè)為頂點，以原來面為底面的四面體，高都是r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. 4．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可推知扇形面積公式S扇等于(　　) A．　　 B．

4、　　 C．　　 D．不可類比 [答案]　C [解析]　由扇形的弧長與半徑分別類比三角形的底邊與高，可得扇形的面積公式． 5．平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值a，類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為(　　) A．a(chǎn)　 B．a(chǎn)　 C．a(chǎn)　 D．a(chǎn) [答案]　B [解析]　將正三角形一邊上的高a類比到正四面體一個面上的高a，由正三角形“分割成以三條邊為底的三個三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明． 二、填空題 6．(2015陜西文，16)觀察下列等式

5、 1－＝ 1－＋－＝＋ 1－＋－＋－＝＋＋ …… 據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為____________________________________________． [答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ [解析]　觀察等式知：第n個等式的左邊有2n個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，且分子為1，分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是＋＋…＋.故答案為1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 7．觀察下列等式： ①cos2α＝2cos2α－1； ②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos8α＝128c

6、os8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推測，m－n＋p＝________. [答案]　962 [解析]　觀察每一個等式中最高次冪的系數(shù)：2,8,32,128，m，構(gòu)成一個等比數(shù)列，公比為4，故m＝1284＝512. 觀察每一個等式中cos2α的系數(shù)：2，－8,18，－32，p，規(guī)律是12，－24,36，－48，故p＝510＝50. 每一個式子中的系數(shù)和為1，故m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1， 代入m和p，可求得n＝－400，

7、 故m－n＋p＝512＋400＋50＝962. 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. [答案]　 [解析]　本題主要考查了歸納推理及分析解決問題的能力． 依題意：f1(x)＝＝， f2(x)＝＝， f3(x)＝＝， f4(x)＝＝. ∴當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝. 三、解答題 9．已知Sn＝＋＋＋…＋，寫出S1，

8、S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達(dá)式． [分析]　在Sn中分別令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進(jìn)行歸納推測． [解析]　S1＝＝1－＝； S2＝＋＝(1－)＋(－)＝1－＝； S3＝＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＝1－＝； S4＝＋＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＝1－＝； 由此猜想：Sn＝(n∈N＋)． [點評]　本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達(dá)式，有兩點應(yīng)注意：①正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；②在對特殊值進(jìn)行規(guī)律觀察時，有時需要將所得結(jié)果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性． 10．在△ABC中，余弦定理可敘述為a2＝b2＋

9、c2－2bccosA，其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊，類比上述定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想． [解析]　 如圖，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC、平面PBC與平面PCA、平面PCA與平面ABP之間所成二面角的大?。什孪胗嘞叶ɡ眍惐韧评淼饺S空間的表現(xiàn)形式為： S2＝S＋S＋S－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S2S1cosγ. [點評]　我們常將空間幾何體與平面圖形之間的性質(zhì)進(jìn)行類比：如四面體?三角形，長方體?矩形，圓?球．注意：線?面，平面角?空間角，面積?體積之間具有類比關(guān)系

10、． 一、選擇題 1．(2014三峽名校聯(lián)考)觀察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可歸納出第n－1個式子為(　　) A．1＋＋＋…＋< B．1＋＋＋…＋< C．1＋＋＋…＋< D．1＋＋＋…＋< [答案]　C [解析]　觀察可得第n－1個式子中不等式的左邊為數(shù)列{]的前n項的和，右邊為分式. 2．如圖，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N＋)的前12項(即橫坐標(biāo)為奇數(shù)項，縱坐標(biāo)為偶數(shù)項)，按如此規(guī)律下去，則a2 009＋a2 010＋a2 011等于(　　) A．1 003 B．1

11、 005 C．1 006 D．2 011 [答案]　B [解析]　觀察點坐標(biāo)的規(guī)律可知，偶數(shù)項的值等于其序號的一半． 則a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n. 又2 009＝4503－3,2 011＝4503－1， ∴a2 009＝503，a2 011＝－503，a2 010＝1 005， ∴a2 009＋a2 010＋a2 011＝1 005. 3．?dāng)?shù)列，，2，，…的一個通項公式是(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ [答案]　B [解析]　因為a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，所以an＝. 4．(2014湖北理，8)《算數(shù)書》竹

12、簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則L＝2πr，由L2h≈sh，代入s＝πr2化簡得π≈3；類比推理，若V≈L2h時，π≈.本題的關(guān)鍵是理解“若V≈L2h，π近似取為3”的意義，類比求解，這是高考考查新定義型

13、試題的一種常見模式，求解此類試題時，關(guān)鍵是要理解試題所列舉的例子． 二、填空題 5．在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影，則AB2＝BDBC．拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________． [答案]　S＝S△OBCS△DBC [解析]　將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得S＝S

14、△OBCS△DBC． 6．(2014陜西理，14)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________． [答案]　F＋V－E＝2 [解析]　5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F＋V－E＝2. 三、解答題 7．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間中，并判斷類比的結(jié)論是否成立； (1)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交； (2)如果兩條直線同時垂直于第三

15、條直線，則這兩條直線互相平行． [解析]　平面幾何與空間幾何的類比中，點的類比對象是線，線的類比對象是面，面的類比對象是體． (1)的類比結(jié)論為：如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交．由空間幾何的知識易得此結(jié)論成立． (2)的類比結(jié)論為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行．由空間幾何的知識易得此結(jié)論不成立，如果兩個平面同時垂直于第三個平面，這兩個平面還可能相交． 8．(2014洛陽市高二期中)觀察等式： sin50＋sin20＝2sin35cos15 sin66＋sin32＝2sin49cos17 猜想符合以上兩式規(guī)律的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明． [解析]　猜想：sinα＋sinβ＝2sincos. 下面證明： 左邊＝sin(＋)＋sin(－) ＝(sincos＋cossin)＋(sincos－cossin) ＝2sincos＝右邊． 所以原等式成立.