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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 第二章　2.6距離的計算 一、選擇題 1．以下說法錯誤的是(　　) A．兩平行平面之間的距離就是一個平面內(nèi)任一點到另一平面的距離 B．點P到面α的距離公式是d＝||，其中A為面α內(nèi)任一點，n為面α的法向量 C．點P到直線l的距離公式是d＝||，其中A為直線l上任一點，a為l的法向量 D．異面直線l1與l2，在l1上任取一點P，在l2上任取一點Q，則||的最小值，就是l1與l2的距離 [答案]　C [解析]　選項C中，a必須與l以及共面時，此公式才成立． 2．二面角α－l－β等于120，A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面

2、α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，則CD的長等于(　　) A．　 　　 B．　 　　 C．2 D． [答案]　C [解析]　如圖所示，∵||＝||＝||＝1， ∴由＝＋＋得||2＝＋＋＋2＋2＋2＝||2＋||2＋||2＋2＝3＋2cos(180－120)＝4，∴||＝2. 3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1則點A到平面A1BC的距離為(　　) A． B． C． D． [答案]　B 4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，則平面A1BC1與平面ACD1的距離是(　　) A． B． C．3

3、D．2 [答案]　A 5．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，則點G到平面D1EF的距離為(　　) A．　　　 B． C． D． [答案]　D [解析]　由A1B1∥平面D1EF知，點G到平面D1EF的距離即為直線A1B1 上任一點到平面D1EF的距離，可求點A1或B1到平面D1EF的距離． 6．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是線段BB1、B1C1的中點，則直線MN和平面ACD1的距離是(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解

4、析]　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M(1,1，)，N(，1,1)，C(0,1,0)． 所以＝(－1,0,1)， ＝(－，0，)． 所以＝.又直線AD1與MN不重合， 所以∥.又MN平面ACD1， 所以MN∥平面ACD1. 因為＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)． 設(shè)平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)， 則所以 所以x＝y(tǒng)＝z.令x＝1，則n＝(1,1,1)． 又因為＝(1,1，)－(1,0,0)＝(0,1，)， 所以||＝＝. 所以點M到平面ACD1的距離為 ＝＝. 簡解：延長NM交CB的延長線

5、于H，連AH、D1H，MH∥平面ACD1，∴M到平面ACD的距離即為H到平面ACD1的距離．則VD1－AHC＝＝＝VH－ACD1＝h∴h＝. 二、填空題 7．正方形ABCD與ABEF的邊長都為a，若二面角E－AB－C的大小為30，則EF到平面ABCD的距離為______________． [答案]　a [解析]　EF到平面ABCD的距離即為點E到平面ABCD的距離，∴d＝A． 8．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1B1、CD的中點，則點B到平面AEC1F的距離為________________． [答案]　 [解析]　以D為原點，建立如圖所示的空間直

6、角坐標(biāo)系， 則A(1,0,0)，F(xiàn)(0，，0)，E(1，，1)，B(1,1,0)． ∴＝(0，，1)，＝(－1，，0)． 設(shè)平面AEC1F的法向量為n＝(1，λ，μ)，則n＝0，n＝0. ∴∴ ∴n＝(1,2，－1)．又∵＝(0,1,0)， ∴點B到平面AEC1F的距離d＝＝＝. 三、解答題 9．如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. 求BF的長． [解析]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4

7、,3)． 設(shè)F(0,0，z)， ∵AEC1F為平行四邊形，∴由＝得(－2,0，z)＝(－2,0,2)． ∴z＝2，∴F(0,0,2)，＝(－2，－4,2)． 于是||＝2，即BF的長為2. 10．已知三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長均為a，側(cè)棱垂直于底面，D是側(cè)棱CC1的中點，問a為何值時，點C到平面AB1D的距離為1. [解析]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)可知A(a，，0)，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D(0，a，)，于是有＝(－a，－，a)，＝(0，a，－)，＝(－a，，0)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面AB1D的法向量，則 ?. 令y＝1，可

8、得n＝(，1,2)． 所以點C到平面AB1D的距離d＝||＝A． 令a＝1，解得a＝2. 即a＝2時，點C到平面AB1D的距離為1. 一、選擇題 1．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則O到平面ABC1D1的距離為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　以、、為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的法向量＝(1,0,1)，點O到平面ABC1D1的距離 d＝＝＝. 2．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在α內(nèi)，則P(－2,1,4)到α的

9、距離為(　　) A．10 B．3 C． D． [答案]　D [解析]?。?1,2，－4)，又平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距離為||＝＝. 3．空間四點A、B、C、D每兩點的連線長都等于a，動點P在線段AB上，動點Q在線段CD上，則點P到Q的最小距離為(　　) A． B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn) [答案]　B [解析]　如圖，求PQ的最小值，需先將PQ表示出來，再用代數(shù)方法確定最值．由題設(shè)可知，、、兩兩夾角均為60. 設(shè)＝－λ，＝μ，則＝＋＋＝－λ＋＋μ(－)＝－λ＋(1－μ)＋μ. ∴||2＝λ2＋(1－μ)2＋μ2＋2λ(μ－1)＋2(1－μ)μ－

10、2λμ＝λ2a2＋a2－2μa2＋μ2a2＋μ2a2＋λμa2－λa2＋μa2－μ2a2－λμa2＝a2(λ2＋μ2－μ－λ＋1)＝a2[(λ－)2＋(μ－)2＋]≥.∴||≥A． 4．已知平面α∥平面β，線段AB、CD夾在α、β之間，AB＝13，CD＝5，且它們在β內(nèi)的射影之差為2，則α和β之間的距離為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　C [解析]　如圖所示，設(shè)A、C在平面β上的射影為A′、C′，則設(shè)α、β之間的距離AA′＝CC′＝a，且BA′、DC′分別為AB、CD在β內(nèi)的射影． 在Rt△AA′B中，AB＝13， 則A′B＝ ＝. 在Rt△CC′D中，C

11、D＝5， 則C′D＝＝. 又∵C′D與A′B相差為2，即A′B－C′D＝－＝2， ∴a＝5，∴平面α和β之間的距離為5. 二、填空題 5．在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________________． [答案]　 [解析]　由已知AB，AD，AP兩兩垂直． ∴以A為坐標(biāo)原點AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)，設(shè)平面PBC的法向

12、量為n＝(a，b，c)，則 ∴n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)， ∴d＝＝. 簡解：由題意易知AD⊥平面PAB且AD∥平面PBC，取PB的中點H，則AH⊥平面PBC且AH＝PB＝，故AD到平面PBC的距離為. 6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為1，則點B1到平面ABC1的距離為________． [答案] [解析]　解法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)， 則＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)， 設(shè)平面ABC1的法向量為n＝(x，y,1)， 則有解得n＝， 則d＝＝＝

13、. 解法二：VB1—ABC1＝VA—BB1C1， VA—BB1C1＝S△BB1C1AB＝， 又∵VB1—ABC1＝S△ABC1h，S△ABC1＝AB＝， ∴h＝. 簡解：由題意可知B1到平面ABC的距離等于C到平面ABC的距離．由VC1－ABC＝VC－ABC1知＝，∴h＝，即B1到平面ABC的距離為. 三、解答題 7．如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點，N為BC的中點． (1)證明：直線MN∥平面OCD； (2)求異面直線AB與MD所成角的大??； (3)求點B到平面OCD的距離． [解析

14、]　方法1(綜合法)： (1)取OB中點E，連接ME，NE， ∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD． 又∵NE∥OC，ME∩NE＝E， ∴平面MNE∥平面OCD．又∵MN平面MNE， ∴MN∥平面OCD． (2)∵CD∥AB， ∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補角)． 作AP⊥CD于點P，連接MP， ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP， ∵∠ADP＝，∴DP＝. ∵MD＝＝， ∴cos∠MDP＝＝，∠MDC＝∠MDP＝. 所以，AB與MD所成角的大小為. (3)∵AB∥平面OCD， ∴點B和點A到平面OCD的距離相等． 連接OP，過點A作AQ⊥O

15、P于點Q. ∵AP⊥CD，OA⊥CD， ∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD． 又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離． ∵OP＝＝ ＝＝，AP＝DP＝， ∴AQ＝＝＝， 所以，點B到平面OCD的距離為. 方法2(向量法)： 作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系． A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，，0)，D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，，0)． (1)＝(1－，，－1)，＝(0，，－2)，＝(－，，－2)． 設(shè)平面OCD的法向量為n＝(x，y，z)，

16、則 n＝0，n＝0.即， 取z＝，解得n＝(0,4，)． ∵n＝(1－，，－1)(0,4，)＝0. 又∵MN平面OCD，∴MN∥平面OCD． (2)設(shè)AB與MD所成角為θ， ∵＝(1,0,0)，＝(－，，－1)， ∴cosθ＝＝，∴θ＝. AB與MD所成角的大小為. (3)設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量n＝(0,4，)上的投影的絕對值． 由＝(1,0，－2)，得d＝＝. 所以，點B到平面OCD的距離為. 8．(2014北京理)如圖，正方形AMDE的邊長為2，B、C分別為AM、MD的中點．在五棱錐P－ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD、PC分別

17、交于點G、H. (1)求證：AB∥FG； (2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長． [解析]　(1)在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB∥DE. 又因為AB?平面PDE，所以AB∥平面PDE. 因為AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG. (2)因為PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，＝(1,1,0)． 設(shè)平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則 即 令z＝1，則y＝－1，所以n＝(0，－1,1)． 設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，則 sinα＝|cos〈n，〉|＝||＝. 因此直線BC與平面ABF所成角的大小為. 設(shè)點H的坐標(biāo)為(u，v，w)． 因為點H在棱PC上，所以可設(shè)＝λ(0<λ<1)， 即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ， 因為n是平面ABF的法向量，所以n＝0，即(0，－1,1)(2λ，λ，2－2λ)＝0， 解得λ＝，所以點H的坐標(biāo)為(，，)． 所以PH＝＝2.