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2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 文(含解析) (II) 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1.①某學校高二年級共有526人，為了調查學生每天用于休息的時間，決定抽取10%的學生進行調查；②一次數(shù)學考試中，某班有10人的成績在100分以上，32人的成績在90～100分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關情況；③運動會的工作人員為參加4100 m接力賽的6支隊伍安排跑道．針對這三件事，恰當?shù)某闃臃椒ǚ謩e為(　　) A. 分層抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣 B. 系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣 C. 分層抽樣，簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣 D. 系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣 【答案】D 【解析】 ①某學校高二年級共有526人，為了調查學生每天用于休息的時間，決定抽取10%的學生進行調查，此項調查的總體數(shù)目較多，而且差異不大，符合系統(tǒng)抽樣的適用范圍。 ②一次數(shù)學月考中，某班有10人在100分以上，32人在90～100分，12人低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關情況，此項抽查的總體數(shù)目較多，而且差異很大，符合分層抽樣的適用范圍。 ③運動會工作人員為參加4100m接力賽的6支隊伍安排跑道，此項抽查，的總體個數(shù)不多，而且差異不大，符合簡單隨機抽樣的適用范圍。 本題選擇D選項. 點睛：一是簡單隨機抽樣(抽簽法和隨機數(shù)法)都是從總體中逐個地進行抽取，都是不放回抽樣． 二是三種抽樣方法在抽樣過程中每個個體被抽到的可能性都相等， 2.有四個游戲盤面積相等，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是 （ ） 【答案】A 【解析】 本題考查的是幾何概型，小明要想增加中獎機會，應選擇陰影面積占的比例比較大的游戲盤，對于A陰影面積占38，對于B陰影面積占14，對于C陰影面積占13，對于D陰影面積占13，∴A圖中的游戲盤小明中獎的概率大，故選A 3.點M的直角坐標是(?1,3)，則點M的極坐標為 A. (2,π3) B. (2,?π3) C. (2,2π3) D. (2,2kπ+π3),(k∈Z) 【答案】C 【解析】 試題分析：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先將點M的直角坐標是(?1,3)后化成極坐標即可．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2， 由ρcosθ=x得：cosθ=-12，結合點在第二象限得：θ=2π3則點M的極坐標為(2,2π3)故選A． 考點：極坐標和直角坐標的互化 點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得 4.極坐標方程ρcos2θ=4sinθ所表示的曲線是（ ） A. 一條直線 B. 一個圓 C. 一條拋物線 D. 一條雙曲線 【答案】C 【解析】 試題分析：極坐標方程ρcos2θ=4sinθ的兩邊同乘以ρ可得ρ2cos2θ=4ρsinθ，因為ρcosθ=x,ρsinθ=y，所以上述方程化為直角坐標方程為x2=4y，它表示的是一條拋物線，故選C. 考點：拋物線的極坐標方程與直角坐標方程的互化. 【方法點晴】本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化，把給出的極坐標方程化成直角坐標方程，就可以判斷方程表示的曲線形狀，屬于基礎題.直角坐標和極坐標的關系是ρcosθ=x,ρsinθ=y，同時ρ2=x2+y2，轉化時常常根據(jù)互化的需要對原有的方程進行變形，本題中在給出的極坐標方程兩邊同乘以極徑ρ就可以達到化為直角坐標方程的目的. 5.命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( ) A. 不存在x0∈R,2x0>0 B. 存在x0∈R,2x0>0 C. 對任意的x∈R,2x≤0 D. 對任意的x∈R,2x>0 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可以直接寫出答案來． 【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，得結論； 命題“存在x0∈R，使2x0≤0”的否定是 “對任意的x∈R，使2x＞0”． 故選：D． 【點睛】本題考查了特稱命題與全稱命題的應用問題，應記住“特稱命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題”． 6.已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線的方程是 ( ) A. y=1.23x+4 B. y=1.23x+0.8 C. y=1.23x+0.08 D. y=1.23x-0.08 【答案】C 【解析】 【分析】 設出回歸直線方程，將樣本點的中心代入，即可求得回歸直線方程． 【詳解】設回歸直線方程為y∧=1.23x+a ∵樣本點的中心為（4，5）， ∴5＝1.234+a ∴a＝0.08 ∴回歸直線方程為y∧=1.23x+0.08 故選：C． 【點睛】本題考查線性回歸方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 7. 有60件產品，編號為01至60，現(xiàn)從中抽取5件檢驗，用系統(tǒng)抽樣的方法所確定的抽樣編號是（ ） A. 5, 17, 29, 41, 53 B. 5, 12, 31, 39, 57 C. 5, 15, 25, 35, 45 D. 5, 10, 15, 20, 25 【答案】A 【解析】 試題分析：∵根據(jù)題意可知，系統(tǒng)抽樣得到的產品的編號應該具有相同的間隔，總體是60個，從中抽取5個，那么可知間隔是 60:5=12，∴只有D符合要求，即后面的數(shù)比前一個數(shù)大12．故選A． 考點：本題主要考查了系統(tǒng)抽樣，是一個基礎題，解題時抓住系統(tǒng)抽樣的特點，找出符合題意的編號，這種題目只要出現(xiàn)一定是我們必得分的題目． 點評：解決該試題的關鍵是根據(jù)題意可知，本題所說的用系統(tǒng)抽樣的方法所確定的抽樣編號間隔應該是60:5=12，觀察所給的四組數(shù)據(jù)，只有最后一組符合題意． 8.“a>0”是“a2>0”的( ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷. 【詳解】當a>0時,a2>0一定成立;a2>0時,a>0或a<0,故“a>0”是“a2>0”的充分不必要條件.故選A. 【點睛】根據(jù)充分條件的定義和必要條件的定義判斷，首先要分清條件p與結論q，若p?q，則p是q的充分條件.若q不能推出p,則p是q的不必要條件. 9.雙曲線x2?4y2=4的焦點坐標為(　　) A. (3,0) B. (0,3) C. (0,5) D. (5,0) 【答案】D 【解析】 【分析】 利用雙曲線方程，化為標準方程，然后求解雙曲線的焦點坐標． 【詳解】雙曲線x2﹣4y2＝4，標準方程為：x24-y2=1， 可得a＝2，b＝1，c=5， 所以雙曲線的焦點坐標：（5，0）． 故選：D． 【點睛】本題考查雙曲線的焦點坐標的求法，雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力． 10.從五件正品，一件次品中隨機取出兩件，則取出的兩件產品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ） A. 1 B. 12 C. 13 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)古典概型事件概率，依次列舉出所有可能，根據(jù)符合要求的事件占所有事件的比值即為概率。 【詳解】設五件正品分別為A、B、C、D、E，次品為1，則取出兩件產品的所有可能為 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,A1,B1,C1,D1,E1共15種可能 符合要求的事件為A1,B1,C1,D1,E1共5種可能， 所以取出的兩件產品中恰好是一件正品，一件次品的概率是515=13 所以選C 【點睛】本題考查了古典概型事件概率的求法，當事件數(shù)量不多時，可全部列舉出來，屬于基礎題。 11.在長為10 cm的線段AB上任取一點G,以AG為半徑作圓,則圓的面積介于36π與64πcm2的概率是(　　) A. 925 B. 1625 C. 310 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】 本題利用幾何概型求解．先算出事件發(fā)生的總區(qū)域的測度，即為線段AB的長度，再計算出圓的面積介于36πcm2到64πcm2的包含的區(qū)域長度，它們的比值就是圓的面積介于36πcm2到64πcm2的概率． 【詳解】因為事件滿足幾何概型，事件發(fā)生的總區(qū)域為線段AB的長度10cm， 設“圓的面積介于36πcm2到64πcm2”為事件B，事件B包含的區(qū)域長度為64-36=2厘米， ∴P（B）=210=15． 故選：D． 【點睛】本題主要考查了幾何概型，幾何概型的特點有下面兩個：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個．（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．屬于基礎題． 12.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60，則C的離心率為 A. 1?32 B. 2?3 C. 3?12 D. 3?1 【答案】D 【解析】 分析：設|PF2|=m，則根據(jù)平面幾何知識可求|F1F2|,|PF1|，再結合橢圓定義可求離心率. 詳解：在ΔF1PF2中，∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60 設|PF2|=m，則2c=|F1F2|=2m,|PF1|=3m， 又由橢圓定義可知2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)m 則離心率e=ca=2c2a=2m(3+1)m=3?1， 故選D. 點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義. 二、填空題（每空5分，共20分） 13.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______________ 【答案】31. 【解析】 分析：根據(jù)中位數(shù)相同求出m的值，從而根據(jù)平均數(shù)公式可求出甲的平均數(shù). 詳解：因為乙的數(shù)據(jù)是21,32,34,36 所以其中位數(shù)是32+342=33， 所以m=3， x甲=1324+33+36=31，故答案為31. 點睛：本題主要考查莖葉圖的應用、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，屬于中檔題.（1）中位數(shù)，如果樣本容量是奇數(shù)，中間的數(shù)既是中位數(shù)，如果樣本容量為偶數(shù)中間兩位數(shù)的平均數(shù)既是中位數(shù)；（2）平均數(shù)公式為 x=x1+x2+...+xnn. 14.已知一組數(shù)據(jù)2，4，5，6，8，那么這組數(shù)據(jù)的方差是_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】 先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求這組數(shù)據(jù)的方差． 【詳解】一組數(shù)據(jù)2，4，5，6，8， 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=15(2+4+5+6+8)=5， 這組數(shù)據(jù)的方差S2=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4． 故答案為：4． 【點睛】本題考查方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意方差公式的合理運用． 15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S為________． 【答案】86 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖，將每一次T值代入循環(huán)結構進行判斷，直到不滿足循環(huán)條件為止. 【詳解】由題意得，S＝21－0＝2，T＝2；S＝22－2＝2，T＝3；S＝23－2＝6，T＝4；S＝24－6＝10，T＝5；S＝25－10＝22，T＝6；S＝26－22＝42，T＝7；S＝27－42＝86>50，T＝8，結束循環(huán)．故輸出結果為86. 故答案為：86. 【點睛】這個題目考查的是框圖中的循環(huán)結構，計算輸出結果，對于循環(huán)結構的框圖關鍵是將每一次循環(huán)的結果都按題意寫出來，直到滿足輸出條件為止. 16.曲線C的參數(shù)方程是x=2cosθy=2sinθ（為參數(shù)），則曲線C的普通方程是___________. 【答案】x2+y2=4 【解析】 【分析】 利用cos2+sin2＝1可得曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標方程． 【詳解】∵曲線C的參數(shù)方程是x=2cosθy=2sinθ（為參數(shù)），且cos2+sin2＝1 ∴x2+y2=4 故答案為：x2+y2=4 【點睛】把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法. 三、解答題（共70分） 17.高一軍訓時，某同學射擊一次，命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.13,0.28,0.31. (1)求射擊一次，命中10環(huán)或9環(huán)的概率； (2)求射擊一次，至少命中8環(huán)的概率； (3)求射擊一次，命中環(huán)數(shù)小于9環(huán)的概率． 【答案】（1）P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31；（2）0.41；（3）0.59. 【解析】 【分析】 （1）利用互斥事件概率的加法公式求解，即可得到答案； （2）利用互斥事件概率的加法公式，即可求解； （3）利用對立事件的概率計算公式，即可求解． 【詳解】設事件“射擊一次，命中i環(huán)”為事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai兩兩互斥． 由題意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31. (1)記“射擊一次，命中10環(huán)或9環(huán)”的事件為A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41. (2)記“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72. (3)記“射擊一次，命中環(huán)數(shù)小于9環(huán)”的事件為C，則C與A是對立事件， ∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59. 【點睛】本題主要考查了互斥事件和對立事件的概率的計算問題，其中明確互斥事件和對立的事件的概念和互斥事件和對立時間的概率計算公式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題． 18.已知曲線9x2+y2=81 （1）求其長軸長，焦點坐標，離心率； （2）求與已知曲線共焦點且離心率為2的雙曲線方程； 【答案】(1) 長軸18，e=22，焦點(0,62)，（2）y2?x2=36 【解析】 試題分析：（1）由橢圓方程，明確a=9，b=3，c=62，從而求得長軸長，焦點坐標，離心率；（2）設出雙曲線方程,利用條件布列m,n的方程組，解之即可. 試題解析： 橢圓的標準方程為x29+y281=1，∴a=9，b=3，c=62 (1)由題意易得：長軸長2a=18，焦點坐標(0,62)、離心率e=ca=223． (2)設雙曲線方程為：y2n2-x2m2=1m>0,n>0 又雙曲線與橢圓共焦點且離心率為2 ∴m2+n2=7262n=2，解得：m=6n=6 ∴雙曲線方程為：y2-x2=36 19.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為2,π4，直線的極坐標方程為ρcosθ-π4=a，且點A在直線上． （1）求的值及直線的直角坐標方程； （2）圓C的極坐標方程為ρ=2cos?α，試判斷直線與圓C的位置關系． 【答案】（1）a=2，x+y-2=0 ； （2）直線與圓C相交. 【解析】 【分析】 （1）由點A在直線l上，代入可得2cos（π4-π4）＝a，解得a．由ρcos（θ-π4）=2，展開化為：22ρ(cosθ+sinθ)=2，利用互化公式即可得出． （2）圓C的極坐標方程為ρ＝2cosα化為：（x﹣1）2+y2＝1．可得圓心，半徑，求出圓心到直線的距離d，與半徑r比較大小關系，即可得出． 【詳解】（1）由點A2,π4在直線ρcosθ-π4=a上，可得a=2， 所以直線的方程可化為ρcosθ+ρsinθ=2，從而直線的直角坐標方程為x+y-2=0. （2）由已知得圓C的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1， 所以圓心為1,0 ，半徑r=1，所以圓心到直線的距離d=22<1， 所以直線與圓C相交． 【點睛】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 20.某中學為弘揚優(yōu)良傳統(tǒng)，展示80年來的辦學成果，特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動?，F(xiàn)在需要招募活動開幕式的志愿者，在眾多候選人中選取100名志愿者，為了在志愿者中選拔出節(jié)目主持人，現(xiàn)按身高分組，得到的頻率分布表如圖所示. （1）請補充頻率分布表中空白位置相應數(shù)據(jù)，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖； （2）為選拔出主持人，決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺，求第3、4、5組每組各抽取多少人？ （3）在（2）的前提下，主持人會在上臺的6人中隨機抽取2人表演詩歌朗誦，求第3組至少有一人被抽取的概率？ 參考公式： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2. 【答案】（1）見解析； （2）3,2,1； （3）45. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)頻率、頻數(shù)與樣本容量的關系，求出對應的數(shù)值，畫出頻率分布直方圖； （2）利用分層抽樣原理，求出各小組應抽取的人數(shù)； （3）利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算對應的概率值． 【詳解】(1)第二組的頻數(shù)為1000.35=35，故第三組的頻數(shù)為100-5-35-20-10=30，故第三組的頻率為0.3，第五組的頻率為0.1，補全后頻率分布表為： 組號 分組 頻數(shù) 頻率 第一組 [160,165) 5 0.05 第二組 [165,170) 35 0.35 第三組 [170,175) 30 0.3 第四組 [175,180) 20 0.2 第五組 [180,185) 10 0.1 合計 100 1 頻率分布直方圖為： （2）第三組、第四組、第五組的頻率之比3:2:1， 故第三組、第四組、第五組抽取的人數(shù)分別為3,2,1. （3）設第三組中抽取的三人為A1,A2,A3，第四組中抽取的兩人為B1,B2，第五組中抽取的一人為C，則6人中任意抽取兩人，所有的基本事件如下： A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，A1C，A2C，A3C，B1C，B2C， 故第三組中至少有1人被抽取的概率為P=1215=45. 【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了分層抽樣方法的應用問題，考查了利用列舉法求概率的應用問題，是基礎題目． 21.某研究機構對某校高二文科學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)． x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； 【答案】（1）見解析； （2）y=0.7x?2.3. 【解析】 【分析】 （1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖． （2）作出利用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)的量，求出橫標和縱標的平均數(shù)，求出系數(shù)，再求出b,a的值，注意運算不要出錯． 【詳解】(1)散點圖如圖所示． (2)x=6+8+10+124=9，y=2+3+5+64=4， i=14xi-xy-y＝(－3) (－2)＋(－1) (－1)＋11＋32＝14 i=14xi-x2=-32+-12+1+32=20，所以b=1420=0.7， a=y-bx=4-0.79=-2.3，故線性回歸方程為y=0.7x-2.3 【點睛】本題考查線性回歸方程的求法和應用，本題解題的關鍵是利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，屬于基礎題. 22.已知函數(shù)fx=x2(x?1)． （1）求函數(shù)fx的單調區(qū)間； （2）求fx在區(qū)間?1,2上的最大值和最小值． 【答案】(1) fx的遞增區(qū)間為(?∞,0),(23,+∞)，遞減區(qū)間為(0,23)． (2) fx最大值=f2=4，fx最小值=f?1=?2． 【解析】 分析：（1）求導數(shù)后，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間．（2）根據(jù)單調性求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點值，比較后可得最大值和最小值． 詳解：（1）∵， ∴． 由，解得或； 由，解得， 所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為． （2）由（1）知是的極大值點，是的極小值點， 所以極大值，極小值， 又，， 所以最大值，最小值． 點睛：（1）求單調區(qū)間時，由可得增區(qū)間，由可得減區(qū)間，解題時注意導函數(shù)的符號與單調性的關系． （2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，可先求出函數(shù)的極值和區(qū)間的端點值，通過比較后可得最大值和最小值．