《新編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：例析變化率與導數(shù)問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：例析變化率與導數(shù)問題（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編數(shù)學北師大版精品資料 例析變化率與導數(shù)問題 導數(shù)是微積分的核心概念之一，考慮到同學們初次接觸導數(shù)的知識，本文對導數(shù)的知識點作一歸類，供參考。 一、函數(shù)的平均變化率問題 例1 求函數(shù)在到之間的平均變化率，并計算當，時平均變化率的值。 分析：直接利用概念求平均變化率，先求出表達式，再直接代入數(shù)據(jù)就可以求得相應的平均變化率。 解析：當自變量變化到時，函數(shù)的平均變化率為 。 當，時，平均變化率的值為。 評注：解答本題的關鍵是熟練掌握平均變化率的意義，只要求出平均變化率的表達式，它的值就可以很容易算出。 二、割線的斜率問題 例2 過曲線上兩點和作曲線的割線，求當時割線

2、的斜率。 分析：割線的斜率即為函數(shù)從1到的平均變化率。 解析：∵， ∴割線的斜率為。 ∴當時，割線的斜率為，則 。 評注：一般地，設曲線是函數(shù)的圖象，是曲線上的定點，點是上與點鄰近的點，有，，，割線的斜率為。 三、平均速度問題 例3 自由落體的運動方程為，計算從到，，各段內的平均速度（位置的單位為）。 分析：要求平均速度，就是求的值，故求出，即可。 解析：設在內的平均速度為，則 ， 。 ∴； 同理； 。 評注：當?shù)闹翟叫r，其平均速度就越接近于一個定值。 四、瞬時速度問題 例4 某一物體的運動方程為 求此物體在和時的瞬時速度。 分析：瞬時速度就是

3、路程對時間的變化率。 解析：當時，， ∴ 。 當時，， ∴ 。 ∴物體在和時的瞬時速度分別為6和0。 評注：分段函數(shù)的瞬時速度問題應考慮“間斷點”及“分段”的條件。 五、切點坐標問題 例5 直線：和曲線：相切，求切點的坐標及的值。 分析：設切點坐標為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率后列方程即可。 解析：設直線與曲線相切于點，則 。 由題意知，即，解得或， 于是切點的坐標為或。 當切點為時，，解得； 當切點為時，，解得（舍去）。 故的值為，切點坐標為。 評注：利用導數(shù)的幾何意義求切線方程、斜率等是高考常考內容，一般以中、低檔題目出現(xiàn)，多為小題。 六、切線問題 例6 如果曲線的某一條切線與直線平行，求切點坐標與切線方程。 分析：利用導數(shù)的幾何意義求切線方程的步驟：（1）求在處的導數(shù)，即為曲線在處的切線的斜率；（2）利用點斜式寫出切線方程。 解析：∵切線與直線平行，∴斜率為3。 設切點坐標為，則， 又 ， ∴，從而得 ∴切點坐標為。 ∴所求切線方程為，即。