6、
a2
2
A . (0,
6 )∪ (
17 ,∞ )
B. (
17 ,∞ )
C. [ 6 , 17 ]
D.( 6 , 17 )
7.以橢圓的右焦點
2
為圓心的圓恰好過橢圓的中心,交橢圓于點
M、 N,橢圓的左焦點為
F
F 1,且直線 MF 1
與此圓相切,則橢圓的離心率
e為
(
)
2
3
C .2-
7、
3
D. 3 -1
A .
B .
2
2
1
2
1
2
平分線的
8.已知 F , F 是雙曲線的兩個焦點 , Q 是雙曲線上任意一點
, 從某一焦點引∠ F QF
垂線 , 垂足為 P, 則點 P 的軌跡是
(
)
A .直線
B .圓
C.橢圓
D.雙曲線
9.已知拋物線 y=2x2 上兩點 A(
8、x1,y1), B( x2,y2)關(guān)于直線 y=x+m 對稱 , 且 x1 x2=- 1
, 那么 m 的
2
值等于
(
)
5
3
C. 2
D. 3
A .
B .
2
2
2
02
10.對于拋物線
0
0
0
0
0
C: y =4x, 我們稱滿足
y <4
9、x 的點
M( x ,
y ) 在拋物線的內(nèi)部 , 若點 M( x , y )
在拋物線的內(nèi)部 ,
則直線 l: y0y=2( x+ x0)與 C
(
)
A .恰有一個公共點
B.恰有二個公共點
C.有一個公共點也可能有二個公共點
D.沒有公共點
二、填空題:請把答案填在題中橫線上
(每小題 6 分,共
24 分).
11.橢圓 x2+ 4y2= 4 長軸上一個頂點為
A,以 A 為直角頂點作一個內(nèi)接于橢圓的等腰直角三
角形,該三角形的
10、面積是
.
12.設(shè) P 為雙曲線
x 2
y2= 1 上一動點, O 為坐標(biāo)原點, M 為線段 OP 的中點,則點
M 的
4
軌跡方程是
.
13.定長為 l (l>
2b2
a
)的線段 AB 的端點在雙曲線 b2x2- a2y2=a2b2 的右支上 , 則 AB 中點 M 的
橫
11、坐標(biāo)的最小值為
14.如果過兩點 A(a,0) 和 B(0,a) 的直線與拋物線
y x2
2x
3 沒有交點,那么實數(shù)
a 的
取值范圍是 _____________ .
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三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
(共 76 分).
2
A 、B 及一個定點
0
0
15.( 12 分)已知拋物線
12、y =8x 上兩個動點
M( x , y ),F(xiàn) 是拋物線的焦點,
且 |AF|、 |MF| 、 |BF|成等差數(shù)列,線段
AB 的垂直平分線與
x 軸交于一點 N.
( 1)求點 N 的坐標(biāo)(用 x0 表示);
( 2)過點 N 與 MN 垂直的直線交拋物線于 P、 Q 兩點,若 |MN|=4
2 ,求△ MPQ 的面積.
x 2
y2
2
3
b) 的直線到原點
16.( 12 分)已知雙曲線
2
b 2
1的離心率 e
,過 A(a,0), B(0,
a
3
13、
的距離是
3 .
2
( 1)求雙曲線的方程;
( 2)已知直線 y kx 5(k 0) 交雙曲線于不同的點 C,D 且 C,D 都在以 B 為圓心
的圓上,求 k 的值 .
17.( 12 分)已知拋物線 y 2
x 的弦 AB 與直線 y=1 有公共點,且弦 AB 的中點 N 到 y 軸的
距離為 1,求弦 AB 長度的最大值,并求此直線
AB 所在的直線的方程.
14、
18.( 12 分)已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點 M 1,2 ,它們在 x 軸上有共同焦點,橢圓
和雙曲線的對稱軸是坐標(biāo)軸,拋物線的頂點為坐標(biāo)原點.
( 1)求這三條曲線的方程;
( 2)已知動直線 l 過點 P 3,0 ,交拋物線于 A,B 兩點,是否存在垂直于 x 軸的直線 l 被
以 AP 為直徑的圓截得的弦長為定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,說明理由.
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15、
x2
8y 2
=1 ( a> b> 0)的左、右兩個焦點 .
19.( 14 分)設(shè) F1、 F 2 分別為橢圓 C:
2
b2
a
( 1)若橢圓 C 上的點 A(1,
3 )到 F 1
2
兩點的距離之和等于 4,寫出橢圓 C 的方程和焦
、F
2
點坐標(biāo);
( 2)設(shè)點 K 是( 1)中所得橢圓上的動點,求線段
F1K 的中點的軌跡方程;
( 3)已知橢圓具有性質(zhì):若
M、 N 是橢圓 C 上關(guān)于原點對稱的
16、兩個點,點
P 是橢圓上任意
一點,當(dāng)直線 PM、 PN 的斜率都存在,并記為
kPM、 kPN 時,那么 kPM 與 kPN 之積是與點
x2
y
2
1寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.
P 位置無關(guān)的定值 .試對雙曲線
b
a 2
2
20.( 14 分)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點
O,焦點在 x 軸上,斜率為
1 且過橢圓右焦點 F 的
直線交橢圓于 A 、 B 兩點, OA
OB 與 a
(3,
1) 共線.
( 1)求橢圓的離心率;
17、
( 2)設(shè) M 為橢圓上任意一點,且
uuuur uuuur
uuuuur
2
2 為定值.
OM
OA
OB ( ,R) ,證明
參考答案
一、 1. D;解析: x= 1
3y 2
化為 x2+3y2 =1( x> 0).
2.A ;解析:由已知,直線
l 的方程為 ay+bx- ab=0 ,原點到直線
l 的距離為
3
c,則有
4
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ab
3 c ,又 c2=a2+b2,∴ 4ab= 3 c2,兩邊平方,得 16a2 (c2 -a2) =3c4,兩邊
a 2
b 2
4
4 .而 0< a< b,得 e2= a
2
2
2
同除以 a4,并整理,得 3e4- 16e2+16=0,∴ e2=4 或 e2=
a
2
b
1 b 2
3
19、
a
> 2,∴ e2 =4.故 e=2 .評述:本題考查點到直線的距離,雙曲線的性質(zhì)以及計算、推理能力
.
難度較大,特別是求出
e 后還須根據(jù) b> a 進(jìn)行檢驗 .
3. C; 4. C; 5.C; 6.A ;7. D ;8. B; 9. B; 10. D
二、
11.
16 ;解析:原方程可化為
x2
+ y2 =1,a2= 4, b2= 1,∴ a= 2, b= 1, c= 3 .當(dāng)?shù)?
25
4
20、
腰直角三角形,設(shè)交點(
x,y)( y> 0)可得 2- x= y,代入曲線方程得: y=
4
∴ S=
1
2y2
5 2
= 16 .
25
12. x2-4y2 =1;解析:設(shè) P(x0, y0)∴ M( x, y),∴ x x0 , y y0 ∴ 2x= x0, 2y= y0
2 2
∴ 4x2 - 4y2= 1x2- 4y2= 1.
4
13. a(l
2a) ;
2
a 2
b 2
21、14.
,
13 ;
4
三、
15.( 1)設(shè) A( x , y )、B( x 、 y ) ,由 |AF|、 |MF| 、 |BF|成等差數(shù)列得 x +x
=2x
0
.
1
1
2
2
1
2
得線段 AB 垂直平分線方程:
y
y1 y2
x1
x2 (x x0 ),
2
y1
y2
22、
令 y=0,得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0) .
( 2)由 M( x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4
2 , 得 x0=2.
由拋物線的對稱性,可設(shè) M 在第一象限,所以 M(2, 4), N(6,0) .
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直線 PQ: y=x-6,
y
x
6,
由
y2
得P(18,12), Q(2, 4),得△ MPQ 的面積是 64.
23、
8x.
16.解:∵( 1) c
2
3
, 原點到直線 AB: x
y
1 的距離
a
3
a
b
d
ab
ab
3
. .
a 2
b 2
c
2
b
1, a
3 .
故所求雙曲線方程為
x 2
y 2
1 .
3
( 2)把 y
kx
5
代入
24、x 2
3
y 2
3 中消去 y,整理得
(1 3k 2 ) x 2
30kx 78 0 .
設(shè) C(x1, y1 ), D (x2 , y2 ), CD 的中點是 E( x0 , y0 ) ,則
x 0
x1
x 2
15 k
2
y 0
kx 0
5
5
2
,
2
1 3 k
1 3 k
k BE
y 0
1
1 .
x 0
k
x0 ky0 k 0,
即
15 k
1
25、5 k
k
0 , 又 k
0 ,
k 2
7
1
3 k 2
3 k 2
故所求 k=
7 .
說明:為了求出
k 的值 , 需要通過消元 ,
想法設(shè)法建構(gòu) k 的方程 .
17.解:設(shè) A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) ,中點 N (1, y0 )
當(dāng) AB 直線的傾斜角 90時, AB 直線方程是 x
1, | AB | 2. (2 分)
當(dāng) AB 直線的傾斜角不為 90時, x1
y
26、12 , x2
y22 相減得 x1
x2
( y1 y2 )( y1 y2 )
所以 2 y0k AB
1即 y0
1
( 4 分)
2k
1
設(shè) AB 直線方程為: y
y0
k ( x
1)即 y
k( x
1) ,由于弦 AB 與直線 y=1 有公共點,
2k
1
1
k
1
27、
1
故當(dāng) y=1 時,
2k
即
2
1
1
0
k
k
k 2
2
y
1
k( x 1)
故y 2
y
1
1
0
2k
x
y
2
k
2k 2
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所以
y1
y2
1
y1 y2
1
1
,
k
2k 2
故 | AB |
1
1
| y1
y2
|
(1
1
y
2 )
2
4y1 y 2 ]
(1
1
1
)
k
2
k
2 )[( y1
k
2 )(4
k
2
29、
k
1
,
1
1
],
1
1
0,4
1
0
2
(0,
k 2
k 2
k 2
4
1
1
1
1
4
1
5
k
30、2
k
2
2
| AB |
(1
(
)
k
2 )(4
k
2 )
2
2
故當(dāng) 1
1
4
1
即 k
6 時, | ABmax |
5
k 2
k 2
3
2
31、
18.解:(Ⅰ)設(shè)拋物線方程為
2
2 px
p
0
,將 M
1,2
代入方程得 p
2 ,
y
拋物線方程為 :
y2
4x ;
由題意知橢圓、雙曲線的焦點為
F
1,0 1 , F2
1,0 ,
c=1
;
對于橢圓, 2a
MF1
MF2
1
2
22
1
2
4
2 2
2 ;
1
32、
1
a 1
2
a2
1
2
2
2
2
3
b2
a2
c2
2 2 2
橢圓方程為:
x2
y 2
1
33、
2
2
2
2
2
3
對于雙曲線, 2a
MF1
MF2
2
2
2
a
2
1
a 2
3
2 2
34、
b 2
c 2
a 2
2
2
2
雙曲線方程為:
x2
y2
1
3
2
2
2
2
2
( 2)設(shè) AP 的中點為 C , l 的方程為: x a ,以 AP 為直徑的圓交 l 于 D, E 兩點, DE 中點為 H
35、
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令 A x1 , y1 ,
C x13 , y1
2
2
DC
1 AP
1
x1
3
y1
2
2
2
2
CH
36、x1
3
a
1
x1
2a
3
2
2
2
DC
2
2
1
x1
2
1
x1
2a 3
2
DH
CH
3y12
a2
4
4
a - 2
x1
3a
當(dāng)
時,
2
為定值 ;
a
DH
37、4
6
2
2
DE
2 DH
2 2為定值
此時 l 的方程為: x
2
19.解:( 1)橢圓 C 的焦點在 x 軸上,由橢圓上的點
A 到 F 、F
兩點的距離之和是
4,得
1
2
3 )在橢圓上,因此
1
(
3
)2
2a=4,
38、即 a=2. 又點 A(1,
2
=1 得 b2=3,于是 c2=1.
2
22
b2
所以橢圓 C 的方程為 x2
y2
1
2
( 1, 0) .
=1,焦點 F (- 1, 0), F
4 3
( 2)設(shè)橢圓 C 上的動點為 K( x1, y1),線段 F1K 的中點 Q( x, y)滿足:
x
1
x1 , y
y1 , 即 x1=2x+1,y1 =2y.
2
39、
2
因此 (2x
1) 2
(2 y)2
=1. 即 ( x
1) 2
4 y 2
1為所求的軌跡方程 .
4
3
2
3
( 3)類似的性質(zhì)為:若
M、N 是雙曲線:
x2
y 2
=1 上關(guān)于原點對稱的兩個點,點
P 是雙
a 2
b 2
曲線上任意一點,當(dāng)直線
PM、PN 的斜率都存在,并記為
kPM、 kPN 時,那么 kPM 與 kPN 之積
是與點 P 位置無關(guān)的定值 .
40、
m2
n2
設(shè)點 M 的坐標(biāo)為( m,n),則點 N 的坐標(biāo)為(- m,- n),其中
b2 =1.
a 2
又設(shè)點 P 的坐標(biāo)為( x,y),由 kPM
y
n , kPN
y
n ,
x
m
x
m
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y n y n y 2
n2
2
b
41、2
x
2
2
, n
2
b 2
m2 - b2 代 入 得
得 kPM kPN=
x
2
m
2 , 將 y
a
2
b
a
2
x m x m
PM
PN
b2
k
k =
a
2 .
評述:本題考查橢圓的基本知識,求動點軌跡的常用方法
42、
.第( 3)問對考生的邏輯思維能力、
分析和解決問題的能力及運算能力都有較高的要求,根據(jù)提供的信息,讓考生通過類比自己找到所證問題,這是高考數(shù)學(xué)命題的方向,應(yīng)引起注意
20.本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知訓(xùn),考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理的能力 .
( 1)解:設(shè)橢圓方程為
x2 y
2
1( a b 0), F (c,0),
a2 b
2
則直線 AB 的方程為 y x c, 代入 x
a
2
y
2
1
2
b 2
化
43、簡得 (
a
2
b
2 )
x
2
2
2
cx
a
2
c
2
2
b
2
0
.
a
a
令 A( x1 , y1 ), B( x2 ,
y2 ), 則 x1
x2
2a 2 c
, x1 x2
a 2c 2
a 2b
2
a
2
b
2
a
2
b
2
.
44、
由OA
OB
( x1
x2 , y1
y2 ), a
(3, 1), OA OB與a 共線,得
3( y1
y2 ) ( x1
x2 ) 0.
又 y1
x1
c, y2
x2
c, 3( x1
x2
2c) ( x1
x2 ) 0, x1
x2
3c
.
2
45、
即
2a2 c
3c
,
所以 a
2
3b
2
.
c
a
2
b
2
6a
2
b2
2
,
a
3
故離心率 e
c
6 .
a
3
46、
( 2)證明:由( I )知 a2 3b2 ,所以橢圓 x
a
2
y 2
1可化為 x 2
3y 2
3b2 .
2
b 2
設(shè)OM ( x, y),由已知得 ( x, y) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ),
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x x1 x2 ,
y y1 y2 .
M ( x, y) 在橢圓上,
47、
( x1
x2 ) 2
3( y1
y2 ) 2
3b2 .
即
2 (
2
3
2 )
2 (
x
2
3
2 ) 2
(
x1 x2
3
y1 y2
) 3
2 .
①
x1
y1
2
y2
b
由( 1)知 x1
x2
3 c, a 2
3 c2 , b 2
1 c2 .
2
2
2
x1 x2
a 2 c2
a 2b 2
3 c
48、 2 .
a2
b2
8
x1 x2
3y1 y2
x1
x2
3( x1
c)( x2 c)
4x1 x2
3( x1
x2 )c 3c 2
3 c 2
9 c2
3c2
2 2
0.
又 x12
3y12
3b2 , x22
3y22
3b 2 又,代入①得
22
1.
故 2
2 為定值,定值為 1.
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