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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(實(shí)驗(yàn)班) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘 第Ⅰ卷（選擇題） 1、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，則A∩B中的元素個(gè)數(shù)為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 2．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i，i是虛數(shù)單位，則+（）2=（　　） A．1﹣3i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 3．命題“?x0∈（0，），cosx0＞sinx0”的否定是（　?。? A．?x0∈（0，），cosx0≤sinx0 B．?x∈（0，），cosx≤sinx C．?x∈（0，），cosx＞sinx D．?x0?（0，），cosx0＞sinx0 4．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a4a8=32,則S11的最小值為 A. B. C.22 D.44 5．已知向量，滿足?（﹣）=2，且||=1，||=2，則與的夾角為（　?。? A． B． C． D． 6．如圖為教育部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)某學(xué)校的50名兒童的體重（kg）作為樣本進(jìn)行分析而得到的頻率分布直方圖，則這50名兒童的體重的平均數(shù)為（　?。? A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.7　 7．已知sin（）=，則cos（2）=（　?。? A．﹣ B．﹣ C． D． 8．某高校的8名屬“老鄉(xiāng)”關(guān)系的同學(xué)準(zhǔn)備拼車回家，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)（乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置），其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)恰有2名來自于同一年級(jí)的乘坐方式共有（　　） A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 9．如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中，，則=（　　） A．1 B．2 C．t D．2t 10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件|x﹣1|+|y﹣1|≤2，則2x+y的最大值為（　?。? A．3 B．5 C．7 D．9 11.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo), 則與的大小關(guān)系是( ) A. B. C. D.不確定 12．拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=120．過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為（　?。? A． B．1 C． D．2 二．填空題（共4題每題5分滿分20分） 13．若（a+x）（1+x）4的展開式中，x的奇數(shù)次冪的系數(shù)和為32，則展開式中x3的系數(shù)為　?。? 14．已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為l，E是AB的中點(diǎn)，過E作其外接球的截面，則此截面面積的最小值為　?。? 15.若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 16．設(shè)函數(shù)y=的圖象上存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且斜邊的中點(diǎn)恰好在y軸上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　?。? 3． 解答題：（解答題應(yīng)寫出必要的文字說明和演算步驟，17題10分，18-22每題12分) 17．已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC （1）求角A的大??； （2）求△ABC的面積的最大值． 18．設(shè)函數(shù)，數(shù)列{an}滿足，n∈N*，且n≥2． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)n∈N*，設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：AM∥平面PCD； （Ⅱ）求證：平面ACM⊥平面PAB； （Ⅲ）若PC與平面ACM所成角為30，求PA的長(zhǎng)． 20．已知函數(shù)f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù) f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線方程； （Ⅱ）若g（x）≥f（x）對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范圍． 21．過離心率為的橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)|FA|=λ|FB|，T（2，0）． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB邊上中線長(zhǎng)的取值范圍． 22．已知函數(shù)f（x）=ex﹣3x+3a（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R）． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值； （Ⅱ）求證：當(dāng)，且x＞0時(shí)，． 理答案 1-12 BABBD CABAC BA 13.18 14. 15. 16. （0，] 17.【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC， ∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc， ∴cosA===， ∴A=． （2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc， ∴bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，取等號(hào)， 此時(shí)，△ABC為等邊三角形，它的面積為bcsinA=22=， 故△ABC的面積的最大值為：． 18.【解答】解：（1）依題意，an﹣an﹣1=（n≥2）， 又∵a1=1， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公差為的等差數(shù)列， 故其通項(xiàng)公式an=1+（n﹣1）=； （2）由（1）可知an+1=， ∴=（﹣）， ∴ =（﹣+﹣+…+﹣） =， 恒成立等價(jià)于≥，即t≤恒成立． 令g（x）=（x＞0），則g′（x）=＞0， ∴g（x）=（x＞0）為增函數(shù)， ∴當(dāng)n=1時(shí)取最小值， 故實(shí)數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，]． 19. 【解答】證明：（I）取PC的中點(diǎn)N，連接MN，DN． ∵M(jìn)，N是PB，PC的中點(diǎn)， ∴MNBC，又ADBC， ∴MNAD， ∴四邊形ADNM是平行四邊形， ∴AM∥DN，又AM?平面PCD，CD?平面PCD， ∴AM∥平面PCD． （II）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴PA⊥AC． ∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC， ∴AC=，∠DCA=∠BCA=45， 又BC=2，∴AB==． ∴AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB． 又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A， ∴AC⊥平面PAB，又AC?平面ACM， ∴平面ACM⊥平面PAB． （III）取BC的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥AD． 以A為原點(diǎn)，以AD，AE，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz， 則A（0，0，0），C（1，1，0），設(shè)P（0，0，a），則M（﹣，，）（a＞0）． ∴=（1，1，0），=（﹣，，），=（1，1，﹣a）． 設(shè)平面ACM的法向量為=（x，y，z），則． ∴．令x=1得=（1，﹣1，）． ∴cos＜＞==． ∵PC與平面ACM所成角為30， ∴=．解得a=． ∴|PA|=． 20.【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，則f′（1）=e﹣1． 而f（1）=e，∴所求切線方程為y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1； （Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R， ∴g（x）≥f（x）對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立． ?ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立． 即t≤對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立． 令F（x）=． 則F′（x）=， 設(shè)G（x）=， 則G′（x）=對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立． ∴G（x）=在（0，+∞）單調(diào)遞增，且G（1）=0． ∴x∈（0，1）時(shí)，G（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，G（x）＞0， 即x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0， ∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增． ∴F（x）≥F（1）=1． ∴t≤1，即t的取值范圍是（﹣∞，1]． 21.【解答】解：（Ⅰ）∵，c=1，a2=b2+c2， ∴=b， ∴橢圓C的方程為：． （Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，顯然不成立．因此可設(shè)直線l的方程為：my=x﹣1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0， ∴，， 由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2， ∵， ∴， ∴﹣2=， ∵1≤λ≤2，∴∈， ∴0≤， 又AB邊上的中線長(zhǎng)為===， ∵0≤，∴=t∈． ∴f（t）=2t2﹣7t+4=2﹣∈． ∴． ∴△ABT中AB邊上中線長(zhǎng)的取值范圍是 22.【解答】（ I）解 由f（x）=ex﹣3x+3a，x∈R知f′（x）=ex﹣3，x∈R．… 令f′（x）=0，得x=ln 3，… 于是當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表． x （﹣∞，ln 3） ln 3 （ln 3，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） ↓ 3（1﹣ln 3+a） ↑ 故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln 3]， 單調(diào)遞增區(qū)間是[ln3，+∞），… f（x）在x=ln 3處取得極小值，極小值為f（ln 3）=eln3﹣3ln 3+3a=3（1﹣ln 3+a）．… （II）證明：待證不等式等價(jià)于… 設(shè)，x∈R， 于是g（x）=ex﹣3x+3a，x∈R． 由（ I）及知：g（x）的最小值為g′（ln 3）=3（1﹣ln 3+a）＞0．… 于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增． 于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＞g（0）． … 而g（0）=0，從而對(duì)任意x∈（0，+∞），g（x）＞0． 即，故