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1、第六章 數(shù)列
一.基礎題組
1.【2010四川,理8】已知數(shù)列的首項,其前項的和為,且,則( )
(A)0 (B) (C) 1 (D)2
2.【2011四川,理8】數(shù)列的首項為,為等差數(shù)列且.若則,,則( )
(A)0 (B)3 (C)8 (D)11
二.能力題組
1.【2008四川,理7】已知等比數(shù)列中,則其前3項的和的取值范圍是( )
(A) (B)
?。ǎ茫 ? (D)
【答案】:D
2、
【考點】:此題重點考察等比數(shù)列前項和的意義,等比數(shù)列的通項公式,以及均值不等式的應用;
【突破】:特殊數(shù)列入手淘汰;重視等比數(shù)列的通項公式,前項和,以及均值不等式的應用,特別是均值不等式使用的條件;
2.【2008四川,理16】設等差數(shù)列的前項和為,若,則的最大值為___________.
【答案】:
【點評】:此題重點考察等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,以及不等式的變形求范圍;
【突破】:利用等差數(shù)列的前項和公式變形不等式,利用消元思想確定或的范圍解答本題的關鍵;
3.【2011四川,理11】已知定義在上的函數(shù)滿足,當時,.設在上的最大值為,且的前項和為,則( )
3、 (A)3 (B) (C)2 (D)
4. 【2012四川,理12】設函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則( )
A、 B、 C、 D、
5. 【2015高考四川,理16】設數(shù)列的前項和,且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記數(shù)列的前n項和,求得成立的n的最小值.
【考點定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和公式等基礎知識,考查運算求解能力.
三.拔高題組
1.【2007四川,理21】已知函數(shù),設曲線在點處的切線與x軸
4、的交點為,其中為正實數(shù).
(Ⅰ)用表示;
(Ⅱ)若是數(shù)列的前項和,證明.
(Ⅲ)若記,證明數(shù)列成等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1);(2)證明略;(3)證明略,.
即,從而所以
【考點】本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識,以及推理論證、計算及解決問題的能力.
2.【2008四川,理20】(本小題滿分12分)
設數(shù)列的前項和為,已知
(Ⅰ)證明:當時,是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求的通項公式
【答案】:(Ⅰ)證明略;(Ⅱ).
【點評】:此題重點考察數(shù)列的遞推公式,利用遞推公式求數(shù)列的通項公式,同時考察分類討論思想;
【突破】:推移腳標兩式相減
5、是解決含有的遞推公式的重要手段,使其轉化為不含的遞推公式,從而針對性的解決;在由遞推公式求通項公式是重視首項是否可以吸收是易錯點,同時重視分類討論,做到條理清晰是關鍵.
3.【2009四川,理22】(本小題滿分14分)
設數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記.
(I)求數(shù)列的通項公式;
(II)記,設數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有;
(III)設數(shù)列的前項和為.已知正實數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值.
【答案】(I);(II)證明略;(III)的最小值為4.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知
一方面,已知恒成立,取n為大于1的奇數(shù)時,設
6、
則
<
當n為奇數(shù)時,設
則
<
對一切的正整數(shù)n,都有
綜上所述,正實數(shù)的最小值為4
【考點定位】本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想,以及推理論證、分析與解決問題的能力.
4.【2010四川,理21】(本小題滿分12分)
已知數(shù)列滿足,且對任意都有
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)設證明:是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設,求數(shù)列的前項和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明略;(Ⅲ).
【解析】(Ⅰ)由題意,令
再令
(Ⅱ)當時,由已知(以代替)可得
于是
即
所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列
(Ⅲ)由(Ⅰ)
7、、(Ⅱ)的解答可知
則
另由已知(令可得,
那么,
【考點】本題主要考查遞推型數(shù)列問題、等差數(shù)列的證明、錯位相減法求和問題,考查考生利用整體運算解決數(shù)列問題的能力.
5.【2011四川,理20】 (本小題共12分)
設為非零實數(shù),.
(I)寫出并判斷是否為等比數(shù)列.若是,給出證明;若不是,說明理由;
(II)設,求數(shù)列的前n項和.
【答案】(I) ,,;當時, 是以為首項,為公比的等比數(shù)列;當時, 不是等比數(shù)列;證明略;(II) .
6.【2012四川,理20】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項和為,且對一切正整數(shù)都成立。
8、(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)設,數(shù)列的前項和為,當為何值時,最大?并求出的最大值。
7.【2013四川,理16 】(本小題滿分12分)
在等差數(shù)列中,,且為和的等比中項,求數(shù)列的首項、公差及前項和.
【答案】首項為4 ,公差為0 ,或首項為1,公差為3;或.
【考點定位】本小題考查等差數(shù)列、等比中項等基礎知識,考查運算求解能力,考查分類與整合、化歸轉化等數(shù)學思想.將等差錯看為等比,將等比中項錯看為等差中項,誤將公差舍去.
8.【2014四川,理19】設等差數(shù)列的公差為,點在函數(shù)的圖象上().
(1)若,點在函數(shù)的圖象上,求數(shù)列的前項和;
(2)若,函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為,求數(shù)列的前 項和.
【答案】(1);(2).