精編北師大版數(shù)學(xué)資料 例談定積分的兩種非常規(guī)用法 定積分是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，它不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)注入了新鮮血液，還給學(xué)生提供了數(shù)學(xué)建模的新思路、“用數(shù)學(xué)”的新意識，通常利用定積分可以求平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體體積、變速直線運動的路程及變力作功等。另外，利用定積分也能求物體所受的力、證明不等式。 一、求物體所受的力 例1.矩形閘門寬a米，高h(yuǎn)米垂直放在水中，上沿與水面平齊，則該閘門所受水的壓力F等于 （ ） 其中水的密度為kg/m3，g單位是m/s2， A. B. C. D. 解析：建立如圖所示坐標(biāo)系.取x為積分變量，x∈[0，h]， （h，） x x+dx O y x 任取子區(qū)間[x，x+dx][0，h]，∵閘門所受水的壓力F=ps， 其中p為壓強，s為受力面積，又p=gx，（x為水的深度.）， ∴相應(yīng)一薄層水對閘門的壓力近似為： dF= pds=gxds=gx·a dx， 于是整個閘門所受水的壓力F為：F==， 故選A. 點評：閘門所受水的壓強p是關(guān)于水深x的函數(shù),隨著x的變化而變化；且閘門的受力面積s也是關(guān)于水深x的函數(shù).所以可用分割、近似代替、求和、取極限的方法,即用定積分的定義來求該閘門所受水的壓力F. 例2. 矩形閘門上沿與水面平齊，且垂直放在水中，過此閘門的中心作水平線將矩形閘門分為面積相等的上下兩部分，設(shè)上部所受水的壓力為F1，下部所受水的壓力為F2，則等于 （ ） A. B. C. D. 與矩形的具體尺寸有關(guān) 解析：由例1知F1 =，F(xiàn)2=， ∴==. 故選B. 二、利用積分證明不等式 例3.求證16＜＜17. 證明：可以考慮函數(shù)f（x）=在區(qū)間[k-1，k]（k=2，3，…，80）上的定積分. 由＜，得=1+＜1+ =1+=1+2（）≈16.9＜17. 同理，由＞，有＞ ==2（）=16. 綜上所述，即證得16＜＜17.