（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 (本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是(　　) ①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊． A．①③　　　　　　　　　　 B．② C．②④ D．①②④ 解析：　由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面；對(duì)于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直． 答案：　A 2．已知直線a∥直線b，b⊥平面α，則(　　) A．a(chǎn)∥α B．a(chǎn)?α C．a(chǎn)⊥α D．a(chǎn)是α的斜線 解析：　 答案：　C 3.如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 解析：　連接AC，因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交． 答案：　C 4.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，則直線BA1與平面DD1B1B所成的角是(　　) A．90 B．60 C．45 D．30 解析：　如圖取B1D1的中點(diǎn)O1，連A1O1，易證A 1O1⊥平面DD1B1B.連接O1B，則O1B為A1B在平面DD1B1B內(nèi)的射影，∴∠A1BO1為所求的線面角，在Rt△A1O1B中，sin∠A1BO1＝＝，∴∠A1BO1＝30. 答案：　D 二、填空題(每小題5分，共15分) 5．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形一定是________． 解析：　 如圖，PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC， ∴BD⊥AC，平行四邊形ABCD為菱形． 答案：　菱形 6．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是________． 解析：　tan∠PCA＝＝＝， ∴∠PCA＝30. 答案：　30 7．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝________. 解析：　 如圖所示，在Rt△ABC中， CD＝AB. ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10.∴CD＝5. ∵EC⊥平面ABC，CD?平面ABC， ∴EC⊥CD. ∴ED＝＝＝13. 答案：　13 三、解答題(每小題10分，共20分) 8.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC.若點(diǎn)O為△ABC的外心，求證：PO⊥平面ABC. 證明：　如圖所示，分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，連接OD，OE，PD，PE. ∵O為△ABC的外心， ∴OD⊥AB，OE⊥BC. ∵PA＝PB，D是AB的中點(diǎn)， ∴AB⊥PD.而OD∩PD＝D， ∴AB⊥平面POD. 又∵PO?平面POD，∴AB⊥PO. 同理，BC⊥PO. ∵AB∩BC＝B，∴PO⊥平面ABC. 9．如圖所示，直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，AC，BC與α所成的角分別為30，45，CD是直角三角形斜邊AB上的高，求CD與平面α所成的角． 解析：　設(shè)C在平面α內(nèi)的射影為H，連接DH，AH，BH，如圖所示，則易知∠CDH是CD與平面α所成的角． 設(shè)CH＝m，則在Rt△CAH中，由∠CAH＝30可得CA＝2m. 又在Rt△CBH中，由∠CBH＝45可得CB＝m. 故在Rt△ABC中，由CA＝2m，CB＝m，可得斜邊上的高CD＝， 則sin∠CDH＝＝＝，即∠CDH＝60.故CD與平面α所成的角為60. 10.(2015唐山玉田縣林南倉(cāng)中學(xué)高二期末)如圖，四面體ABCD的各棱長(zhǎng)均相等，AD⊥平面α于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C、D均在平面α外，且在平面α的同一側(cè)，線段BC的中點(diǎn)為E，則直線AE與平面α所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　 如圖，設(shè)四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a， 則△ABC為邊長(zhǎng)為a的正三角形， 又E為BC邊的中點(diǎn)， 所以AE⊥BC，則AE＝a. 取AD的中點(diǎn)M，連接BM、CM， 則BM⊥AD，CM⊥AD， 又BM∩CM＝M， 所以AD⊥平面BCM， 故平面BCM∥平面α， 所以平面BCM到平面α的距離為， 所以E到平面α的距離為. 則直線AE與平面α所成角的正弦值sin α＝＝＝，故選A. 答案：　A 11.(2015廣東河源高二期中)如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，給出下列結(jié)論：①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABD所成的角等于SC與平面ABD所成的角；④AC⊥SO.正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析：　連接SO，如圖所示， 因?yàn)樗睦忮FS－ABCD的底面為正方形，所以AC⊥BD. 因?yàn)镾D⊥底面ABCD， 所以SD⊥AC， 因?yàn)镾D∩BD＝D， 所以AC⊥平面SBD， 因?yàn)镾B?平面SBD，所以AC⊥SB，則①正確； 因?yàn)锳B∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD， 所以AB∥平面SCD，則②正確； 因?yàn)镾D⊥底面ABCD， 所以∠SAD和∠SCD分別是SA與平面ABD所成的角、SC與平面ABD所成的角， 因?yàn)锳D＝CD，SD＝SD， 所以∠SAD＝∠SCD，則③正確； 因?yàn)锳C⊥平面SBD，SO?平面SBD， 所以AC⊥SO，則④正確． 答案：?、佗冖邰? 12．(2015北京市房山區(qū)高二期中)如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證： (1)FD∥平面ABC； (2)AF⊥平面EDB. 證明：　(1)因?yàn)镕是BE的中點(diǎn)，取BA的中點(diǎn)M， 連接FM，MC， 則FM∥EA，F(xiàn)M＝EA＝a， 因?yàn)镋A、CD都垂直于平面ABC， 所以CD∥EA，所以CD∥FM， 又CD＝a＝FM， 所以四邊形FMCD是平行四邊形， 所以FD∥MC， FD?平面ABC，MC?平面ABC， 所以FD∥平面ABC. (2)因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，△ABC是正三角形， 所以CM⊥AB. 又EA垂直于平面ABC，所以CM⊥AE， 又AE∩AB＝A，所以CM⊥平面EAB， 因?yàn)锳F?平面EAB， 所以CM⊥AF，又CM∥FD，從而FD⊥AF， 因?yàn)镕是BE的中點(diǎn)，EA＝AB， 所以AF⊥EB. EB，F(xiàn)D是平面EDB內(nèi)兩條相交直線， 所以AF⊥平面EDB. 13．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120，G為線段PC上的點(diǎn)． (1)證明：BD⊥平面APC； (2)若G為PC的中點(diǎn)，求DG與平面APC所成的角的正切值； (3)若G滿足PC⊥平面BGD，求的值． 解析：　(1)證明：設(shè)點(diǎn)O為AC，BD的交點(diǎn)． 由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線． 所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，BD⊥AC. 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PA⊥BD.PA∩AC＝A. 所以BD⊥平面APC. (2)連接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面APC所成的角． 由題意得OG＝PA＝. 在△ABC中， AC＝ ＝2， 所以O(shè)C＝AC＝. 在直角△OCD中，OD＝＝2. 在直角△OGD中，tan∠OGD＝＝. 所以DG與平面APC所成的角的正切值為. (3)因?yàn)镻C⊥平面BGD，OG?平面BGD， 所以PC⊥OG. 在直角△PAC中，得PC＝. 所以GC＝＝. 從而PG＝， 所以＝.