題型17 帶電粒子在交變電場和磁場中的運動 1 .如圖1所示，在xOy平面內(nèi)存在著垂直于幾何平面的磁場和平行于 y軸的電場，磁場和 電場隨時間的變化規(guī)律如圖 2甲、乙所示.以垂直于 xOy平面向里磁場的磁感應(yīng)強度為正， 以沿y軸正方向電場的電場強度為正. t=0時，帶負電粒子從原點 O以初速度vo沿y軸正 方向運動，t=5to時，粒子回到。點，vo、to、Bo已知，粒子的比荷 旦=三，不計粒子重力. m Boto (1)求粒子在勻強磁場中做圓周運動的周期； (2)求電場強度Eo的值； (3)保持磁場仍如圖2甲所示，將圖乙所示的電場換成圖丙所示的電場. t=o時刻，前述帶 負電粒子仍由。點以初速度vo沿y軸正方向運動，求粒子在 t=9to時的位置坐標. 2 .如圖3甲所示，在兩塊水平金屬極板間加有電壓 U構(gòu)成偏轉(zhuǎn)電場，一束比荷為m=1。6 C/kg 帶正電的粒子流(重力不計)，以速度vo=1。4 m/s沿水平方向從金屬極板正中間射入兩板. 粒 子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后進入一具有理想邊界的半圓形變化磁場區(qū)域， 。為圓心，區(qū)域直徑 AB長度 為L=1 m, AB與水平方向成45。角.區(qū)域內(nèi)有按如圖乙所示規(guī)律做周期性變化的磁場，已 知氏=0.5 T,磁場方向以垂直于紙面向外為正.粒子經(jīng)偏轉(zhuǎn)電場后，恰好從下極板邊緣 點與水平方向成45斜向下射入磁場.求: I + (1)兩金屬極板間的電壓 U是多大？ (2)若T0= 0.5 s,求t= 0 s時刻射入磁場的帶電粒子在磁場中運動的時間 t和離開磁場的位置. (3)要使所有帶電粒子通過 O點后的運動過程中不再從 AB兩點間越過，求出磁場的變化周 期To應(yīng)滿足的條件. 答案(1)100 V (2)2 兀X 10 6 s 射出點在 OB 間離。點* m (3)丁0<：x 10 5 s 3 .如圖4甲所示，寬度為d的豎直狹長區(qū)域內(nèi)(邊界為L1、L》，存在垂直紙面向里的勻強 磁場和豎直方向周期性變化的電場 (如圖乙所示)，電場強度的大小為 E。，E>0表示電場方向 豎直向上.t=0時，一帶正電、質(zhì)量為 m的微粒從左邊界上的 Ni點以水平速度v射入該區(qū) g.上述d、E0、m、v、g為已知量. 甲 乙 域，沿直線運動到 Q點后，做一次完整的圓周運動，再沿直線運動到右邊界上的 N2點.Q 為線段N1N2的中點，重力加速度為 (1)求微粒所帶電荷量 q和磁感應(yīng)強度B的大小; (2)求電場變化的周期 T; (3)改變寬度d,使微粒仍能按上述運動過程通過相應(yīng)寬度的區(qū)域，求 T的最小值. 答案（i）mg 2E0⑵導(dǎo)千⑶221V E0 V 2v g 2g 4.如圖5甲所示，豎直面的左側(cè)空間中存在豎直向上的勻強電場 (上、下及左側(cè)無邊界限 制).一個質(zhì)量為 m、電荷量為q、可視為質(zhì)點的帶正電小球，以水平初速度 Vo沿PQ向右 做直線運動.若小球剛經(jīng)過 D點時(t=0),在電場所在空間疊加如圖乙所示隨時間周期性變 化、垂直紙面向里的磁場，使得小球能沿 PQ連線左下方60角再次通過D點.已知D、Q 間的距離為(<3+1)L,重力加速度為 g, t0小于小球在磁場中做圓周運動的周期，忽略磁場 變化造成的影響.求： ft tj+to 3r,+/l13f|+2i!u5fl+2fll5G-i-3f0 t (1)電場強度E的大小; (2)to與ti的比值; (3)小球過D點后將做周期性運動.則當(dāng)小球運動的周期最大時，求出此時的磁感應(yīng)強度 的大小，并在圖甲中畫呼匕情形下小球運動一個周期的軌跡. 答案(1)mg/q (2)4-^3jt (3)mv/qL 9 題型17 帶電粒子在交變電場和磁場中的運動 1.如圖1所示，在xOy平面內(nèi)存在著垂直于幾何平面的磁場和平行于 y軸的電場，磁場和 電場隨時間的變化規(guī)律如圖 2甲、乙所示.以垂直于 xOy平面向里磁場的磁感應(yīng)強度為正， 以沿y軸正方向電場的電場強度為正. t=0時，帶負電粒子從原點 O以初速度vo沿y軸正 方向運動，t=5t0時，粒子回到。點，V。、t。、Bo已知，粒子的比荷 旦=~,不計粒子重力. m Boto 圖1 (1)求粒子在勻強磁場中做圓周運動的周期； (2)求電場強度Eo的值； (3)保持磁場仍如圖2甲所示，將圖乙所示的電場換成圖丙所示的電場. t=0時刻，前述帶 負電粒子仍由。點以初速度v0沿y軸正方向運動，求粒子在 t=9t0時的位置坐標. 答案⑴2 t0 (2)駟0 (3)(辿 —voto) 解析(1)粒子在磁場中運動時，qvoBo=mv0 2 <1 T=—— vo q _j m- Boto 得 T= 2to. (2)粒子在t = 5to時回到原點，軌跡如圖所示, 由牛頓第二定律qvBo=m" r 1 由幾何關(guān)系得：「2=2「1 得 V2= 2vo 由運動學(xué)公式： v2=vo+ato 由牛頓第二定律： Eoq= ma (3)to時刻粒子回到x軸，to?2to時間內(nèi)，粒子位移 c/ to 1 to 2 X1=2(vo-+ 2a(2)) 2to時刻，粒子速度為 vo 3to時刻，粒子以速度 vo到達y軸， 3to?4to時刻，粒子運動的位移 X2=2 vo 2a42 1 5to時刻粒子運動到點(2門，X2-X1) 根據(jù)粒子的周期性運動規(guī)律可知， t= 9to時刻的位置坐標為［2ri, 2(X2 —xi ］，代入數(shù)值為 2voto ( ,一 Voto). 兀 2.如圖3甲所示，在兩塊水平金屬極板間加有電壓u構(gòu)成偏轉(zhuǎn)電場，一束比荷為mm=106 c/kg 帶正電的粒子流(重力不計)，以速度V0=104 m/s沿水平方向從金屬極板正中間射入兩板. 粒 子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后進入一具有理想邊界的半圓形變化磁場區(qū)域， 。為圓心，區(qū)域直徑 AB長度 為L=1 m, AB與水平方向成45。角.區(qū)域內(nèi)有按如圖乙所示規(guī)律做周期性變化的磁場，已 知B=0.5 T,磁場方向以垂直于紙面向外為正.粒子經(jīng)偏轉(zhuǎn)電場后，恰好從下極板邊緣 O 點與水平方向成45斜向下射入磁場.求： I X 甲 乙 圖3 (1)兩金屬極板間的電壓 U是多大？ (2)若T0= 0.5 s,求t= 0 s時刻射入磁場的帶電粒子在磁場中運動的時間 t和離開磁場的位置. (3)要使所有帶電粒子通過 O點后的運動過程中不再從 AB兩點間越過，求出磁場的變化周 期T0應(yīng)滿足的條件. 答案(1)100 V (2)2 兀X 10 6 S 射出點在 OB 間離。點 m (3)To＜；乂 10 5 s 解析(1)粒子在電場中做類平拋運動，從 O點射出時速度v= V2V0 U 1 2 12 q2 =2m( . 2v0) — ?mv0 代入數(shù)據(jù)得U = 100 V. 2 2 71m mv （2）丁=訪 Bqv=v 2 兀x 106 s<T0 mv__2 L OB中穿出，粒子在磁場中運動時間 t=T=2TtX 10 6 s,射出點在 R_ Bq — 50 m<4 粒子在磁場中經(jīng)過半周從 2 OB間離。點茜m. (3)粒子運動周期 T= 醇=4兀>< 10 6 s, Bq AB間射出. 粒子在t=。、t=T0…時刻射入時，粒子最可能從 如圖，由幾何關(guān)系可得臨界時 5兀 0=不 要不從AB邊界射出，應(yīng)滿足 〈，］ 得 To＜：X 10 5 s. 3.如圖4甲所示，寬度為d的豎直狹長區(qū)域內(nèi) (邊界為Li、L2),存在垂直紙面向里的勻強 磁場和豎直方向周期性變化的電場(如圖乙所示 ),電場強度的大小為 E0, E>0表布電場方向 豎直向上.t=0時，一帶正電、質(zhì)量為 m的微粒從左邊界上的 Ni點以水平速度v射入該區(qū) g.上述d、E0、m、v、g為已知量. Hi 乙 域，沿直線運動到 Q點后，做一次完整的圓周運動，再沿直線運動到右邊界上的 心點.Q 為線段N1N2的中點，重力加速度為 (1)求微粒所帶電荷量 q和磁感應(yīng)強度B的大小; (2)求電場變化的周期 T; T的最小值. (3)改變寬度d,使微粒仍能按上述運動過程通過相應(yīng)寬度的區(qū)域, 答案⑴魯亨(晦+:⑶與廣 解析(1)根據(jù)題意，微粒做圓周運動，洛倫茲力完全提供向心力，重力與電場力平衡，則 mg= qEo ① 因為微粒水平向右做直線運動, 所以豎直方向合力為 0. 則 mg + qEo=qvB② 聯(lián)立①②解得：q = mg③ E0 b=2E.@ v (2)設(shè)微粒從Ni運動到Q的時間為ti,做圓周運動的周期為 t2, 則2= vti⑤ 2 v 、 qvB= m TTW R 2jR=vt2 ⑦ 聯(lián)立③④⑤⑥⑦解得ti =q，t2=(<D 2v g d w 電場變化的周期 T=ti+t2=2v+ ~g■.⑨ (3)若微粒能完成題述的運動過程，要求 d>2R⑩ 2 聯(lián)立③④⑥得R=V- 2g 設(shè)NiQ段直線運動的最短時間 timin , 由⑤⑩得, t1min 2g 因t2不變, T的最小值 Tmin = timin + t2 = (2 計 1 V 2g 4.如圖5甲所示，豎直面的左側(cè)空間中存在豎直向上的勻強電場 (上、下及左側(cè)無邊界限 制).一個質(zhì)量為 m、電荷量為q、可視為質(zhì)點的帶正電小球，以水平初速度 vo沿PQ向右 做直線運動.若小球剛經(jīng)過 D點時(t=0),在電場所在空間疊加如圖乙所示隨時間周期性變 化、垂直紙面向里的磁場，使得小球能沿 PQ連線左下方60角再次通過D點.已知D、Q 間的距離為(<3+i)L,重力加速度為 g, t0小于小球在磁場中做圓周運動的周期，忽略磁場 變化造成的影響.求: 且 tj+to 3r,+/u 3^+2^5^+2^1-1-3^ r (i)電場強度E的大小; (2)to與ti的比值； (3)小球過D點后將做周期性運動.則當(dāng)小球運動的周期最大時, 求出此時的磁感應(yīng)強度 Bo 的大小，并在圖甲中畫出此情形下小球運動一個周期的軌跡. 答案(1)mg/q (2)4乒(3)mvo/qL軌跡見解析 9 mg=qE 解析(1)小球在電場中做勻速直線運動，根據(jù)二力平衡，有 得=%. r. (2)小球能再次通過 D點，其運動軌跡如圖所示，設(shè)圓弧半徑為 x= Voti ① 由幾何關(guān)系得x=tanr行② 設(shè)小球做圓周運動的周期為 T,則 24小 T= 一③ V0 to= |t ④ 3 由①②③④式得4^71. ti 9 z \Q I (3)當(dāng)小球運動的周期最大時，其運動軌跡應(yīng)與 MN相切，如圖所示. 由幾何關(guān)系，有 R+& = (書+1)L ⑤ 由牛頓第二定律，有 2 亞不 qvo Bo = mR ⑥ 由⑤⑥式得Bo=邛 qL 小球運動一個周期的軌跡如圖所示.