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1、 精品資料 學(xué)案41　空間的垂直關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題． 自主梳理 1．直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法． ②利用判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條________直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面． ③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也________這個(gè)平面． (2)直線和平面垂直的性質(zhì)

2、①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)________直線． ②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線________． ③垂直于同一直線的兩個(gè)平面________． 2．直線與平面所成的角 平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的________所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角． 一條直線垂直于平面，說它們所成的角為________；直線l∥α或l?α，說它們所成的角是______角． 3．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法． ②利用判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的____________，那么這兩個(gè)平面互相垂直． (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 如果兩個(gè)平面互

3、相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們________的直線垂直于另一個(gè)平面． 4．二面角的平面角 以二面角的棱上的任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作________棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角． 自我檢測 1．(2010·浙江改編)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是________(填序號)． ①若l⊥m，m?α，則l⊥α； ②若l⊥α，l∥m，則m⊥α； ③若l∥α，m?α，則l∥m； ④若l∥α，m∥α，則l∥m. 2．對于不重合的兩個(gè)平面α與β，給定下列條件： ①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α

4、，β都平行于γ； ③存在直線l?α，直線m?β，使得l∥m； ④存在異面直線l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β. 其中，可以判定α與β平行的條件有________個(gè)． 3．(2009·四川卷改編)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的序號是________． ①PB⊥AD； ②平面PAB⊥平面PBC； ③直線BC∥平面PAE； ④直線PD與平面ABC所成的角為45°. 4．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足____

5、____時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 5．(2011·大綱全國，16)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 探究點(diǎn)一　線面垂直的判定與性質(zhì) 例1　Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)． (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC.求證：BD⊥平面SAC. 變式遷移1　四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面A

6、BCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB. 證明：SA⊥BC. 探究點(diǎn)二　面面垂直的判定與性質(zhì) 例2　如圖所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證：平面O1DC⊥平面ABCD. 變式遷移2　(2011·江蘇)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)． 求證：(1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.

7、 探究點(diǎn)三　直線與平面、平面與平面所成的角 例3　(2009·湖北)如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE＝λa(0<λ≤2)． (1)求證：對任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE； (2)設(shè)二面角C—AE—D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值． 變式遷移3　(2009·北京)如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點(diǎn)D、E分別

8、在棱PB、PC上，且DE∥BC. (1)求證：BC⊥ 平面PAC. (2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成角的正弦值． (3)是否存在點(diǎn)E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說明理由． 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例　(14分)已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的菱形，又PD⊥底面ABCD， 點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn). (1)證明：DN∥平面PMB； (2)證明：平面PMB⊥平面PAD. 【答題模板】 證明　(1)取PB中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ、NQ，因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，所以QN∥BC∥M

9、D，且QN＝MD，故四邊形QNDM是平行四邊形， 于是DN∥MQ.[4分] 又∵M(jìn)Q?平面PMB，DN?平面PMB ∴DN∥平面PMB.[7分] (2)∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，∴PD⊥MB.[9分] 又因?yàn)榈酌鍭BCD是∠A＝60°的菱形，且M為AD中點(diǎn)，所以MB⊥AD. 又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD.[12分] 又∵M(jìn)B?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[14分] 【突破思維障礙】 1．立體幾何中平行與垂直的證明充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖． 2．在解決線面、面面平行或垂直的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到

10、“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線”到“線面”，再到“面面”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”． 1．證明線面垂直的方法：(1)定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α；(2)判定定理1：?l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；(4)面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β；(5)面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 2．證明線線垂直的方法：(1)定義：兩條直線的夾角為90°；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；(4)線面垂直的性質(zhì)：

11、a⊥α，b∥α?a⊥b. 3．證明面面垂直的方法：(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·揚(yáng)州月考)已知直線a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________條件． 2．已知兩個(gè)不同的平面α、β和兩條不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命題： ①若m∥n，m⊥α，則n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，則m∥n. 其中正確命題是________(填序號)．

12、 3．設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，給出以下說法： ①在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直； ②過直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直； ③與直線m垂直的直線不可能與平面α平行； ④與直線m平行的平面不可能與平面α垂直． 其中錯(cuò)誤的是________． 4．(2009·江蘇)設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β； ②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行； ③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直； ④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直． 上面命題

13、中，真命題的序號是__________(寫出所有真命題的序號)． 5．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為____________________________________________________________． 6．(2011·福建)三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC的體積為________． 7．如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長是1，過A點(diǎn)作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，有下列三個(gè)命題： ①

14、點(diǎn)H是△A1BD的中心； ②AH垂直于平面CB1D1； ③AC1與B1C所成的角是90°. 其中正確命題的序號是____________． 8．正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為________． 二、解答題(共42分) 9．(12分)(2011·安徽)如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形． (1)證明直線BC∥EF； (2)求棱錐F－OBED的體積．

15、 10．(14分)(2009·天津)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD＝CD＝1，DB＝2. (1)證明PA∥平面BDE； (2)證明AC⊥平面PBD； (3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值． 11．(16分) 如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4. (1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明平面MBD⊥平面PAD. (2)求四棱錐P—AB

16、CD的體積． 學(xué)案41　空間的垂直關(guān)系 答案 自主梳理 1．(1)②相交?、鄞怪薄?2)①任意?、谄叫小、燮叫? 2．射影　直角　0°　3.(1)②一條垂線　(2)交線　4.垂直于 自我檢測 1．②　2.2　3.④　4.DM⊥PC(或BM⊥PC等) 5. 解析　方法一　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，面AEF的法向量為n2＝(x，y，z)．設(shè)正方體的棱長為1， ∵A(1,0,0)，E(1,1，)，F(xiàn)(0,1，)， ∴＝(0,1，)，＝(－1,0，)， 則取x＝1，則y＝－

17、1，z＝3. 故n2＝(1，－1,3)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝， ∴面AEF與面ABC所成的二面角的平面角α滿足cos α＝，sin α＝，∴tan α＝. 方法二　如圖，設(shè)正方體的棱長為3，則由題意知CF＝2，BE＝1，分別延長FE、CB交于點(diǎn)M，連結(jié)AM，作BN⊥AM于點(diǎn)N，連結(jié)EN. ∵EB⊥平面ABM，AM?平面ABM， ∴EB⊥AM. 又BN⊥AM，EB∩BN＝B， ∴AM⊥平面BEN，∴AM⊥EN. ∴∠BNE即為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角． ∵BE∥CF，∴＝，即＝， ∴MB＝3，∴AM＝＝3. 由AM·BN＝BM·

18、;AB得 BN＝＝＝. 又EB⊥平面ABM，∴EB⊥BN， ∴tan∠BNE＝＝＝. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　線面垂直的判定方法是：證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．即從“線線垂直”到“線面垂直”． 證明　 (1)取AB中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)， 故DE∥BC，且DE⊥AB， ∵SA＝SB， ∴△SAB為等腰三角形， ∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E， ∴AB⊥面SDE.而SD?面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC. 又∵AC∩AB＝A，∴SD

19、⊥平面ABC. (2)若AB＝BC，則BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD?面ABC， ∴SD⊥BD.又∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC. 變式遷移1　證明　作SO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO， 由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD. 因?yàn)镾A＝SB，所以AO＝BO. 又∠ABC＝45°，故△AOB為等腰直角三角形，且AO⊥BO， 又SO⊥BC，SO∩AO＝O， ∴BC⊥面SAO.又SA?面SAO，∴SA⊥BC. 例2　解題導(dǎo)引　證明面面垂直，可先證線面垂直，即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線，再證明這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)

20、平面內(nèi)的一條直線平行． 證明　如圖所示，連結(jié)AC，BD，A1C1，則O為AC，BD的交點(diǎn)，O1為A1C1，B1D1的交點(diǎn)． 由棱柱的性質(zhì)知： A1O1∥OC，且A1O1＝OC， ∴四邊形A1OCO1為平行四邊形， ∴A1O∥O1C， 又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD， 又O1C?平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD. 變式遷移2　 證明　(1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. (2)連結(jié)BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所

21、以△ABD為正三角形． 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 例3　解題導(dǎo)引　高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點(diǎn)之一．有時(shí)在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查． 根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)→認(rèn)(指)→求． (1)證明　如圖所示，連結(jié)BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD. ∵SD⊥平面ABCD， ∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴A

22、C⊥BE. (2)解　如圖所示，由SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴SD⊥CD. 又底面ABCD是正方形， ∴CD⊥AD.又SD∩AD＝D， ∴CD⊥平面SAD. 過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連結(jié)CF，則CF⊥AE，故∠CFD是二面角C—AE—D的平面角，即∠CFD＝θ. 在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa， ∴tan φ＝＝. 在Rt△ADE中，∵AD＝a＝CD，DE＝λa， ∴AE＝a， 從而DF＝＝. 在Rt△CDF中，tan θ＝＝， 由tan θ·tan φ＝1，得·＝1?＝2?λ2＝2.由λ∈(0,2]，

23、解得λ＝. 變式遷移3　(1)證明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC. (2)解　∵D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC，∴DE＝BC. 又由(1)知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E. ∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB. 又PA＝AB， ∴△ABP為等腰直角三角形． ∴AD＝AB. 在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB. ∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝. ∴AD與平面PAC所成角的正弦值為. (3)

24、解　∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC. 又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE. ∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°. ∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC. 這時(shí)，∠AEP＝90°， 故存在點(diǎn)E使得二面角A—DE—P是直二面角． 課后練習(xí)區(qū) 1．充要　2.①②③　3.①③④　4.①②　5. 6. 解析　∵PA⊥底面ABC， ∴PA為三棱錐P－ABC的高，且PA＝3. ∵底面ABC為正三角形且邊長為2，∴底面面積為×

25、;22×sin 60°＝，∴VP－ABC＝××3＝. 7．①②③　8.＋ 9. (1)證明　方法一　(綜合法)如圖所示，設(shè)G是線段DA延長線與線段EB延長線的交點(diǎn)．由于△OAB與△ODE都是正三角形，且OD＝2， 所以O(shè)B綊DE，(3分) OG＝OD＝2.(5分) 同理，設(shè)G′是線段DA延長線與線段FC延長線的交點(diǎn)，有OC綊DF，OG′＝OD＝2. 又由于G和G′都在線段DA的延長線上， 所以G與G′重合．(10分) 在△GED和△GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B、C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是△GEF的中位線，故B

26、C∥EF.(12分) 方法二　(向量法)過點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，從而FQ⊥QE，F(xiàn)Q⊥DQ.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(4分) 由條件知E(，0,0)，F(xiàn)(0,0，)，B(，－，0)，C(0，－，)，則＝(－，0，)，＝(－，0，)． 所以＝2，即BC∥EF.(7分) (2)由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△OBE＝，而△OED是邊長為2的正三角形，故S△OED＝. 所以S四邊形OBED＝S△OBE＋S△OED＝.(10分)

27、 過點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F－OBED的高，且FQ＝，所以VF－OBED＝FQ·S四邊形OBED＝.(12分) 10．(1)證明　 設(shè)AC∩BD＝H，連結(jié)EH.在△ADC中，因?yàn)锳D＝CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點(diǎn)，又由題設(shè)，知E為PC的中點(diǎn)，故EH∥PA.又EH?平面BDE，且PA?平面BDE， 所以PA∥平面BDE.(4分) (2)證明　因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D， 故AC⊥平面PBD.(8分) (3)解　由AC⊥平面P

28、BD可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以∠CBH為直線BC與平面PBD所成的角． 由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝，BH＝.在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝. 所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為. (14分) 11．(1)證明　在△ABD中，由于AD＝4， BD＝8，AB＝4， 所以AD2＋BD2＝AB2. 故AD⊥BD.(2分) 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD. 又BD?平面MBD， 故平面MBD⊥平面PAD.(6分) (2)解　過點(diǎn)P作PO⊥AD交AD于點(diǎn)O， 由于平面PAD⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD.(8分) 因此PO為四棱錐P—ABCD的高． 又△PAD是邊長為4的等邊三角形， 因此PO＝×4＝2.(10分) 在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC， 所以四邊形ABCD是梯形， 在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為＝， 此即為梯形ABCD的高， 所以四邊形ABCD的面積為S＝×＝24. 故VP—ABCD＝×24×2＝16.(16分)