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1、 精品資料 第3講 拋物線 一、填空題 1．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a＝________. 解析　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，由條件得2＝－，a＝－. 答案　－ 2．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)向拋物線 的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為________． 解析 由題不妨設(shè)A在第一象限，聯(lián)立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－1，所以AP＝10，QB＝2，PQ＝8，故S梯形APQB＝(AP＋QB)·P

2、Q＝48. 答案 48 3．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則弦 AB的中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離等于________． 解析 直線4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－)，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點(diǎn).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，則弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，所以弦AB的中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離是＋＝. 答案 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)E(m,0)(m≠0)的直線交拋物線于點(diǎn) M、N，交y軸于點(diǎn)P，若＝λ，＝μ，則λ＋μ＝________.

3、 解析 由題意知，λ＋μ為定值，因此可以取E，此時(shí)將直線MN化為特殊直線y＝x－，此時(shí)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，則由得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p，x1x2＝.由＝λ，＝μ得x1＝λ，x2＝μ，則λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋ ＝＝＝－1. 答案 －1 5．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線C上的點(diǎn)A作 準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF(其中O 為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3∶1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________． 解析 如圖所示，由題意，可得OF＝1，由拋物線的定義， 得AF＝AM，[來源:] ∵△AMF與△

4、AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3∶1， ∴ ＝ ＝3， ∴AF＝AM＝3，設(shè)A， ∴＋1＝3，解得y0＝±2. ∴＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，±2)． 答案 (2，±2) 6．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若＋ ＋＝0，則||＋||＋||＝________. 解析 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)． 由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6. 答案 6[來源:數(shù)理化網(wǎng)]

5、7．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A(0,2)，連接FA交拋 物線于點(diǎn)B，過B作l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p的值為________． 解析 由拋物線定義可知BM＝BF，又由平面幾何知識(shí)得BM＝BA，所以點(diǎn)B為AF的中點(diǎn)，又B在拋物線上，所以12＝2p×，即p2＝2，又p>0，故p＝. 答案 8. 如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________． 解析　作AM，BN垂直于準(zhǔn)線，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為E，設(shè)|B

6、F|＝t，則|BC|＝2t. 則可得＝，即＝， 解得t＝1.又＝，即＝， ∴P＝.∴拋物線方程為y2＝3x. 答案　y2＝3x 9．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P，過F作x軸的垂線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，有下列四個(gè)命題： ①△PMN必為直角三角形；②△PMN不一定為直角三角形；③直線PM必與拋物線相切；④直線PM不一定與拋物線相切．其中正確的命題是________(填序號)． 解析　因?yàn)镻F＝MF＝NF，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，從而可知∠MPN＝90°，故①正確，②錯(cuò)誤：令直線PM的方程為y＝x＋，代入拋物線方程可得y

7、2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直線PM與拋物線相切，故③正確，④錯(cuò)誤． 答案?、佗? 10．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且AK＝AF，則△AFK的面積為________． 解析　如圖，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B(l為準(zhǔn)線)，則由拋物線的定義，得AB＝AF.因?yàn)锳K＝AF，所以AK＝AB，所以∠AKF＝∠AKB＝45°，設(shè)A(2t2,4t)，由K(－2,0)，得＝1，得t＝1，所以S△AKF＝×4×4＝8. 答案　8 二、解答題 11．如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓T過點(diǎn)M(2,1)，離心率為；拋

8、物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸且過點(diǎn)M. (1)當(dāng)直線l0經(jīng)過橢圓T的左焦點(diǎn)且平行于OM時(shí)，求直線l0的方程； (2)若斜率為－的直線l不過點(diǎn)M，與拋物線C交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形． 解　(1)由e＝＝，可設(shè)橢圓T方程為＋＝1， 將M(2,1)代入可得b2＝2，∴橢圓T的方程為＋＝1. 因此左焦點(diǎn)為(－，0)，斜率kl0＝kOM＝， ∴直線l0的方程為y＝(x＋)，即y＝x＋. (2)拋物線C的方程為y2＝x. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1＝，k2＝， kAB＝＝＝－，∴y1＋

9、y2＝－2. k1＋k2＝＋＝＋ ＝＝0， ∴直線MA，MB與x軸總圍成等腰三角形． 12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，過拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且AC與BD交于點(diǎn)M，直線AD與BC交于點(diǎn)N. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求證：MN⊥x軸； (3)若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F(1,0)，求證：直線AB過定點(diǎn)． 解　(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)， 由題意，得＝1，即p＝2.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2

10、，y2)，且y1>0，y2>0. 由y2＝4x(y>0)，得y＝2，∴y′＝. ∴切線AC的方程為y－y1＝(x－x1)， 即y－y1＝(x－x1)． 整理，得yy1＝2(x＋x1)， ① 且C點(diǎn)坐標(biāo)為(－x1,0)． 同理得切線BD的方程為yy2＝2(x＋x2)， ② 且D點(diǎn)坐標(biāo)為(－x2,0)． 由①②消去y，得xM＝. 又直線AD的方程為y＝(x＋x2)， ③ 直線BC的方程為y＝(x＋x1)． ④ 由③④消去y，得xN＝. ∴xM＝xN，即MN⊥x軸． (3)由題意，設(shè)M(

11、1，y0)，代入(2)中的①②， 得y0y1＝2(1＋x1)，y0y2＝2(1＋x2)， ∴A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程y0y＝2(1＋x)． ∴直線AB的方程為y0y＝2(1＋x)． 故直線AB過定點(diǎn)(－1,0). 13．設(shè)M、N為拋物線C：y＝x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，且l1與l2相交于點(diǎn)P，若AB＝1. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)求證：△MNP的面積為一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值． 解 (1)設(shè)M(m，m2)，N(n，n2)，則依題意知，切線l1，l2的方程分別為y＝2mx－m2，y

12、＝2 x－n2， 則A，B，設(shè)P(x，y)，由， 得，① 因?yàn)锳B＝1，所以|n－m|＝2， 即(m＋n)2－4mn＝4，將①代入上式得：y＝x2－1， ∴點(diǎn)P的軌跡方程為y＝x2－1. (2)證明：設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋b(b>0)． 聯(lián)立方程，消去y得x2－kx－b＝0，所以m＋n＝k，mn＝－b，② 點(diǎn)P到直線MN的距離[來源:] d＝， MN＝|m－n|， ∴S△MNP＝d·MN＝·|m－n| ＝·(m－n)2·|m－n|＝2. 即△MNP的面積為定值2. 14．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)

13、，B(x2，y2)(x1>x2，y1>0，y2<0)在拋 物線上，且存在實(shí)數(shù)λ，使＋λ＝0，||＝. (1)求直線AB的方程； (2)求△AOB的外接圓的方程． 解 (1)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1. ∵＋λ＝0，∴A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 由拋物線的定義，得||＝x1＋x2＋2. 設(shè)直線AB：y＝k(x－1)，而k＝，x1>x2，y1>0，y2<0，∴k>0. 由得 k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. ∴ ||＝x1＋x2＋2＝＋2＝. ∴k2＝. 從而k＝，故直線AB的方程為y＝(x－1)， 即4x－3y－4＝0. (2)由 求得A(4,4)，B. 設(shè)△AOB的外接圓方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則 解得 故△AOB的外接圓的方程為 x2＋y2－x－y＝0.