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1、 精品資料 中檔題目強化練——立體幾何 A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、填空題 1.已知直線l1，l2與平面α，則下列結論中正確的是________.(填序號) ①若l1?α，l2∩α＝A，則l1，l2為異面直線； ②若l1∥l2，l1∥α，則l2∥α； ③若l1⊥l2，l1⊥α，則l2∥α； ④若l1⊥α，l2⊥α，則l1∥l2. 答案?、? 解析　對于①，當A∈l1時，結論不成立；對于②③，當l2?α時，結論不成立. 2.設α、β、γ是三個互不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是__

2、______.(填序號) ①若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ； ②若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n； ③若α⊥β，m⊥α，則m∥β； ④若α∥β，m?β，m∥α，則m∥β. 答案?、? 解析　對于①，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，①錯；對于②，若m∥α，n∥β，α⊥β，則m，n可以平行，可以相交，也可以異面，②錯；對于③，若α⊥β，m⊥α，則m可以在平面β內，③錯；易知④正確. 3.設α、β、γ為平面，l、m、n為直線，則下列是m⊥β的一個充分條件為________.(填序號) ①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l； ②n⊥α，n⊥β，m⊥α； ③α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥

3、γ； ④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α. 答案?、? 解析　如圖1知①錯；如圖2知②錯；如圖3在正方體中，兩側面α與β相交于l，都與底面γ垂直，γ內的直線m⊥α，但m與β不垂直，故④錯； 由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，則m⊥β，故②正確. 4.如圖，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，E、 F分別是AB1、BC1的中點，則下列結論不成立的是________. ①EF與BB1垂直； ②EF與BD垂直； ③EF與CD異面； ④EF與A1C1異面. 答案　④ 解析　連結B1C，AC，則B1C交BC1于F， 且F為B1C的中點， 又E為AB1

4、的中點，所以EF綊AC， 而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC， 所以B1B⊥EF，①正確； 又AC⊥BD，所以EF⊥BD，②正確； 顯然EF與CD異面，③正確；由EF綊AC，AC∥A1C1， 得EF∥A1C1.故不成立的為④. 5.底面直徑和母線長相等的圓柱稱為等邊圓柱.已知一等邊圓柱的底面半徑為2，則其體積為________. 答案　16π 解析　由題意，圓柱的高為4，則V＝π224＝16π. 6.三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC的體積等于________. 答案　 解析　∵PA⊥底面ABC， ∴

5、PA為三棱錐P－ABC的高，且PA＝3. ∵底面ABC為正三角形且邊長為2，∴底面面積為22sin 60＝，∴VP－ABC＝3＝. 7.已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，點E、F分別是棱PC、PD的中點，則 ①棱AB與PD所在直線垂直； ②平面PBC與平面ABCD垂直； ③△PCD的面積大于△PAB的面積； ④直線AE與直線BF是異面直線. 以上結論正確的是________.(寫出所有正確結論的編號) 答案?、佗? 解析　由條件可得AB⊥平面PAD， ∴AB⊥PD，故①正確； 若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC， 得PB⊥平面ABCD，

6、從而PA∥PB，這是不可能的，故②錯； S△PCD＝CDPD，S△PAB＝ABPA， 由AB＝CD，PD>PA知③正確； 由E、F分別是棱PC、PD的中點， 可得EF∥CD，又AB∥CD， ∴EF∥AB，故AE與BF共面，④錯. 8.三棱錐S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90，△ABC是斜邊AB＝a的等腰直角三角形，則以下結論中： ①異面直線SB與AC所成的角為90； ②直線SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④點C到平面SAB的距離是a. 其中正確結論的序號是________. 答案?、佗冖邰? 解析　由題意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面A

7、BC，平面SBC⊥平面SAC，①②③ 正確；取AB的中點E，連結CE，(如圖)可證得CE⊥平面SAB，故 CE的長度即為C到平面SAB的距離a，④正確. 二、解答題 9.如圖，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB ＝2. (1)求證：DB⊥平面B1BCC1； (2)設E是DC上一點，試確定E的位置，使得D1E∥平面A1BD， 并說明理由. (1)證明　在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，BD＝， 又∵BC＝，CD＝2， ∴∠DBC＝90，即BD⊥BC. 又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B， ∴BD⊥平面B1BCC

8、1. (2)解　DC的中點即為E點， 連結D1E，BE，∵DE∥AB，DE＝AB， ∴四邊形ABED是平行四邊形. ∴AD綊BE. 又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1， ∴四邊形A1D1EB是平行四邊形. ∴D1E∥A1B. ∵D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD， ∴D1E∥平面A1BD. 10.在正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中點分別是E， F，G，H，如圖所示. (1)求證：AD′∥平面EFG； (2)求證：A′C⊥平面EFG； (3)判斷點A，D′，H，F(xiàn)是否共面？并說明理由. (1)證明　連結BC′. 在

9、正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′， AB∥C′D′， 所以四邊形ABC′D′是平行四邊形， 所以AD′∥BC′. 因為F，G分別是BB′，B′C′的中點， 所以FG∥BC′，所以FG∥AD′. 因為EF，AD′是異面直線， 所以AD′?平面EFG. 因為FG?平面EFG，所以AD′∥平面EFG. (2)證明　連結B′C. 在正方體ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′， BC′?平面BCC′B′， 所以A′B′⊥BC′. 在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′， 因為A′B′?平面A′B′C，B′C?平面A′B′C，A′B′∩B′

10、C＝B′， 所以BC′⊥平面A′B′C. 因為A′C?平面A′B′C，所以BC′⊥A′C. 因為FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可證A′C⊥EF. 因為EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EF∩FG＝F， 所以A′C⊥平面EFG. (3)解　點A，D′，H，F(xiàn)不共面.理由如下： 假設A，D′，H，F(xiàn)共面，連結C′F，AF，HF. 由(1)知，AD′∥BC′， 因為BC′?平面BCC′B′，AD′?平面BCC′B′. 所以AD′∥平面BCC′B′. 因為C′∈D′H， 所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F. 因為AD′?平面AD′HF，所以AD′∥C′F.

11、 所以C′F∥BC′，而C′F與BC′相交，矛盾. 所以點A，D′，H，F(xiàn)不共面. B組　專項能力提升 (時間：40分鐘) 1.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題： ①α∥β?l⊥m；?、讦痢挺?l∥m； ③l∥m?α⊥β；?、躭⊥m?α∥β. 其中正確的命題有________. 答案　①③ 解析?、僦?，??l⊥m，故①正確； ②中，l與m相交、平行、異面均有可能，故②錯； ③中，??α⊥β，故③正確； ④中，α與β也有可能相交，故④錯誤. 2.如圖所示，是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F 分別為PA、PD的中點.在此幾何體中，給出

12、下面四個結論： ①直線BE與直線CF異面； ②直線BE與直線AF異面； ③直線EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確的有________. 答案?、冖? 解析　對于①，因為E、F分別是PA、PD的中點， 所以EF∥AD.又因為AD∥BC， 所以EF∥BC.所以BE與CF共面.故①不正確. 對于②，因為BE是平面APD的斜線，AF是平面APD內與BE不相交的直線，所以BE與AF不共面.故②正確. 對于③，由①，知EF∥BC，所以EF∥平面PBC.故③正確. 對于④，條件不足，無法判斷兩平面垂直. 3.有一個內接于球的四棱錐P－ABCD，若PA⊥底面ABC

13、D，∠BCD＝，∠ABC≠，BC＝3，CD＝4，PA＝5，則該球的表面積為________. 答案　50π 解析　由∠BCD＝90知BD為底面ABCD外接圓的直徑，則2r＝＝5. 又∠DAB＝90?PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD. 從而把PA，AB，AD看作長方體的三條棱，設外接球半徑為R，則(2R)2＝52＋(2r)2＝52＋52， ∴4R2＝50，∴S球＝4πR2＝50π. 4.將一個真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”.給出下列四個命題： ①垂直于同一平面的兩直線平行； ②垂直于同一平面的兩平面平行； ③平行于同

14、一直線的兩直線平行； ④平行于同一平面的兩直線平行. 其中是“可換命題”的是________.(填命題的序號) 答案　①③ 解析　由線面垂直的性質定理可知①是真命題，且垂直于同一直線的兩平面平行也是真命題，故①是“可換命題”；因為垂直于同一平面的兩平面可能平行或相交，所以②是假命題，不是“可換命題”；由公理4可知③是真命題，且平行于同一平面的兩平面平行也是真命題，故③是“可換命題”；因為平行于同一平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故④是假命題，故④不是“可換命題”. 5.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90，BC＝CD＝， AD＝BD，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)D⊥底

15、面ABCD，且有EC＝FD＝2. (1)求證：AD⊥BF； (2)若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點N， 試求二面角B－MF－C的余弦值. (1)證明　∵BC⊥DC，且BC＝CD＝， ∴BD＝2且∠CBD＝∠BDC＝45. 又AB∥DC，可知∠DBA＝∠CDB＝45. ∵AD＝BD， ∴△ADB是等腰三角形，且∠DAB＝∠DBA＝45. ∴∠ADB＝90，即AD⊥DB. ∵FD⊥底面ABCD于D，AD?平面ABCD， ∴AD⊥DF. 又DF∩DB＝D1，∴AD⊥平面BDF， ∵BF?平面DBF，∴AD⊥BF. (2)解　以點C為原點，直線CD、C

16、B、CE方向為x，y，z軸建系. 則D(，0,0)，B(0，，0)，F(xiàn)(，0,2)，A(2，，0)， ∵N恰好為BF的中點， ∴N(，，1). 設M(0,0，z0)，∴＝(，，1－z0). 由解得z0＝1. 故M為線段CE的中點. 設平面BMF的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 且＝(，－，2)，＝(0，－，1)， 由可得取x1＝－1， 則得n1＝(－1,1，). ∵平面MFC的一個法向量為n2＝(0,1,0)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝. 故所求二面角B－MF－C的余弦值為. 6.(2013遼寧)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C，∠BAC＝90，AB＝A

17、C ＝，AA′＝1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點. (1)證明：MN∥平面A′ACC′； (2)求三棱錐A′－MNC的體積. (錐體體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高) (1)證明　方法一　連結AB′，AC′，如圖， 由已知∠BAC＝90，AB＝AC， 三棱柱ABC－A′B′C為直三棱柱， 所以M為AB′的中點. 又因為N為B′C′的中點，所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′. 方法二　取A′B′的中點P，連結MP，NP，AB′，如圖， 因為M，N分別為AB′與B′C′的中點， 所以MP∥AA′，PN∥A′C′. 所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′. 又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′. 而MN?平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′. (2)解　方法一　連結BN，如圖所示， 由題意知A′N⊥B′C′， 平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′， 所以A′N⊥平面NBC. 又A′N＝B′C′＝1， 故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝. 方法二　VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.