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1、 精品資料 選修系列4 學(xué)案69　幾何證明選講 (一)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；3.理解直角三角形射影定理． 自主梳理 1．平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等． 2．平行線分線段成比例定理 兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段__________． 推論1　平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或_______

2、_______)，所得的對(duì)應(yīng)線段________． 推論2　平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊________的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)________． 推論3　三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例． 3．相似三角形的判定 判定定理1　對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)________的兩個(gè)三角形相似． 判定定理2　對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且_____

3、_相等的兩個(gè)三角形相似． 判定定理3　對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似． 4．相似三角形的性質(zhì) (1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比； (2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比； (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方． 5．直角三角形射影定理 直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在________________與斜邊的________，斜邊上的高的________等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積． 自我檢測(cè) 1．如果梯形的中位線的長(zhǎng)

4、為6 cm，上底長(zhǎng)為4 cm，那么下底長(zhǎng)為_(kāi)_______cm. 2．如圖，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是(填序號(hào))________． ①＝；②＝；③＝；④＝. 3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝2，BD＝3，則AC＝________. 　　 　　　第3題圖　　　　　　　第4題圖 4．如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，則BD＝________cm. 5．(2011·陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90

5、6;，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 探究點(diǎn)一　確定線段的n等分點(diǎn) 例1　已知線段PQ，在線段PQ上求作一點(diǎn)D，使PD∶DQ＝2∶1. 變式遷移1　已知△ABC，D在AC上，AD∶DC＝2∶1，能否在AB上找到一點(diǎn)E，使得線段EC的中點(diǎn)在BD上． 探究點(diǎn)二　平行線分線段成比例定理的應(yīng)用 例2　在△ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BD＝CE，DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：＝. 變式遷移2 如圖，已知AB∥CD∥E

6、F，AB＝a，CD＝b(0<a<b)，AE∶EC＝m∶n(0<m<n)，求EF. 探究點(diǎn)三　相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用 例3　如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，過(guò)D與BC平行的直線交AB于點(diǎn)E，∠ACE＝∠ABC，求證：AB·CE＝AC·DE. 變式遷移3 如圖，已知?ABCD中，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG分別交BD和BC于E、F兩點(diǎn)，證明AF·AD＝AG·BF. 1．用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用

7、平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件．特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)邊． 2．利用平行線等分線段定理將某線段任意等分，需要過(guò)線段的一個(gè)端點(diǎn)作輔助線，在作圖時(shí)要注意保留作圖痕跡． 3．在證明兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式相等時(shí)，需要找第三個(gè)比例式與它們都相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換及等比定理，由相等的傳遞性得出結(jié)論． 4．判定兩個(gè)三角形相似，根據(jù)題設(shè)條件選擇使用三角形相似的判定定理． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．如圖所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正確的有_____

8、___(填序號(hào))． (1)＝；(2)＝；(3)＝；(4)＝. 2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE∥BC交AC于E.已知＝，則＝__________________________________________________________________. 3．如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則＋＝________. 4．在直角三角形中，斜邊上的高為6，斜邊上的高把斜邊分成兩部分，這兩部分的比為3∶2，則斜邊上的中線的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 5．(2010·蘇州模擬)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于

9、點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，則EF＝________. 6．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC的長(zhǎng)為4，則EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，則DE＝________. 8．如圖所示，BD、CE是△ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn)，則＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°

10、，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，交AD于F，求證：＝. 10．(14分)如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，BM、CM的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于F、E. 求證：EF∥BC. 11．(14分)(2010·蘇州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點(diǎn)，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)M，N，R，S和P， 求證：PM·PN＝PR·PS. 學(xué)

11、案69　幾何證明選講 (一)相似三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 答案 自主梳理 2．成比例　兩邊的延長(zhǎng)線　成比例　相交　成比例　3.相等　夾角　5.斜邊上的射影　乘積　平方 自我檢測(cè) 1．8 2．③ 3． 解析　由射影定理：CD2＝AD·BD. ∴AD＝，∴AC＝＝＝. 4． 解析　∵＝＝，∴BD＝cm. 5．4 解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD2＝AD2－AC2＝128， ∴CD＝8. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D， ∴△ABE∽△ADC，∴＝， ∴BE＝＝＝4. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　利用平行線等分線段定理可

12、對(duì)線段任意等分，其作圖步驟為：首先作出輔助射線，然后在射線上依次截取任意相同長(zhǎng)度的n條線段，最后過(guò)輔助線上的各等分點(diǎn)作平行線，確定所求線段的n等分點(diǎn)． 解　在線段PQ上求作點(diǎn)D，使PD∶DQ＝2∶1，就是要作出線段PQ上靠近Q點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，通過(guò)線段PQ的一個(gè)端點(diǎn)作輔助射線，并取線段的三等分點(diǎn)，利用平行線等分線段定理確定D點(diǎn)的位置． 作法：①作射線PN. ②在射線PN上截取PB＝2a，BC＝a. ③連結(jié)CQ. ④過(guò)點(diǎn)B作CQ的平行線，交PQ于D. ∴點(diǎn)D即為所求的點(diǎn)． 變式遷移1　 解　假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交BD于點(diǎn)F，則F為EC的中點(diǎn)，作EG∥AC交BD于G.

13、 ∵EG∥AC，EF＝FC， ∴△EGF≌△CDF，且EG＝DC， ∴EG綊AD，△BEG∽△BAD， ∴＝＝，∴E為AB的中點(diǎn)． ∴當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EC的中點(diǎn)在BD上． 例2　解題導(dǎo)引　證明線段成比例問(wèn)題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法． 證明　作EG∥AB交BC于G，如圖所示， ∵△CEG∽△CAB， ∴＝，即＝＝， 又∵＝，∴＝. 變式遷移2 解　如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH∥EC，分別交BA，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，由EF∥AB∥CD及FH∥EC，知AG＝CH＝EF，F(xiàn)G＝AE，F(xiàn)H＝EC.從而FG∶FH

14、＝AE∶EC＝m∶n. 由BG∥DH，知BG∶DH＝FG∶FH＝m∶n. 設(shè)EF＝x，則得(x＋a)∶(x＋b)＝m∶n. 解得x＝， 即EF＝. 例3　解題導(dǎo)引　有關(guān)兩線段的比值的問(wèn)題，除了應(yīng)用平行線分線段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解．解題中要注意觀察圖形特點(diǎn)，巧添輔助線，對(duì)解題可起到事半功倍的效果． 證明　方法一　∵AB∥CD， ∴＝，即＝. ① ∵DE∥BC， ∴＝，即＝. ② 由①②得＝， ③ ∵∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC， ∴△EFC∽△ECD. ∴＝. ④ 由③④得＝， 即AB·CE

15、＝AC·DE. 方法二　∵AB∥CD，DE∥BC， ∴BEDC是平行四邊形． ∴DE＝BC. ∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC， ∴△AEC∽△ACB. ∴＝. ∴＝，即AB·CE＝AC·DE. 變式遷移3 證明　因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形， 所以AB∥DC，AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. 從而有＝，即AF·AD＝AG·BF. 課后練習(xí)區(qū) 1．(4) 解析　由平行線分線段成比例定理可知(4)正確． 2． 解析　由＝知，＝，＝， 故＝. 3．1

16、 解析　∵EF∥BC，∴＝， 又∵FG∥AD，∴＝， ∴＋＝＋＝＝1. 4． 解析　設(shè)斜邊上的兩段的長(zhǎng)分別為3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t·2t，解得t＝(t>0，舍去負(fù)根)，所以斜邊的長(zhǎng)為5，故斜邊上的中線的長(zhǎng)為. 5．15 解析　∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝， ∵OE∥AD，∴＝＝， ∴OE＝AD＝×12＝， 同理可求得OF＝BC＝×20＝， ∴EF＝OE＋OF＝15. 6．2 解析　連結(jié)DE，因?yàn)锳D⊥BC，所以△ADB是直角三角形，則DE＝AB＝BE＝DC.又因?yàn)镈G⊥CE于G，所以DG平分CE，故E

17、G＝2. 7．6 解析　設(shè)DE＝x，∵DE∥AC， ∴＝，解得BE＝. ∴＝＝＝. 又∵AD平分∠BAC，∴＝＝＝， 解得x＝6. 8． 解析　連結(jié)DE，延長(zhǎng)QP交AB于N， 則 得PQ＝BC. 9．證明　由三角形的內(nèi)角平分線定理得， 在△ABD中，＝， ①　　　 在△ABC中，＝， ② (4分) 在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC， 即＝. ③ (8分) 由①③得：＝， ④ (12分) 由②④得：＝. (14分) 10．證明　延長(zhǎng)AD至G，使DG＝MD，連結(jié)BG、CG. ∵BD＝DC，MD＝DG， ∴四邊形BGCM為平行四邊形． (4分) ∴EC∥BG，F(xiàn)B∥CG， ∴＝，＝， ∴＝， (12分) ∴EF∥BC. (14分) 11．證明　∵BO∥PM， ∴＝， (4分) ∵DO∥PS， ∴＝，∴＝. (6分) 即＝， 由BO∥PR　得＝. (10分) 由DO∥PN得＝. (12分) ∴＝，即＝， ∴＝. ∴PM·PN＝PR·PS. (14分)