精品資料 第六節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法 考點(diǎn)一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 　 [例1]　用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． [自主解答]?、佼?dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝＝， 左邊＝右邊，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立． 即＋＋…＋＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由①②可得對(duì)任意n∈N*，等式成立． 【方法規(guī)律】 [來源:] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的方法 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少． (2)由n＝k時(shí)命題成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程． 求證：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n135…(2n－1)(n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝2，右邊＝211＝2，∴等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k135…(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋2)(k＋3)…2k(2k＋1)(2k＋2) ＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝22k135…(2k－1)(2k＋1) ＝2k＋1135…(2k－1)(2k＋1)． 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N*，原等式成立． [來源:] 考點(diǎn)二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 　 [例2]　已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an<an＋1. [自主解答]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)閍2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a2＝，即a1<a2成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，0≤ak<ak＋1， 所以a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1<ak＋2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，an<an＋1也成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知an<an＋1對(duì)任何n∈N*都成立． 【互動(dòng)探究】 把題設(shè)條件中的“an≥0”改為“當(dāng)n≥2時(shí)，an<－1”，其余條件不變，求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an＋1<an. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)閍2是a＋a2－1＝0的負(fù)根，所以a2＝，即a1>a2成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，ak＋1<ak， 因?yàn)閍－a＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1<ak≤0，所以a－a>0， 又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，所以ak＋2－ak＋1<0，所以ak＋2<ak＋1， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由(1)(2)可知，對(duì)任意n∈N*時(shí)，an＋1<an.　　　　 【方法規(guī)律】 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．[來源:] (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明． 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，證明：對(duì)任意 的n∈N*，不等式…>成立． 解：(1)由題意，Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)． 由于b>0且b≠1，所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列． 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，故＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)證明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為…>. ①當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝，右式＝，左式>右式，所以結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即…>，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， …>＝，要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立， 只需證≥，即證≥， 由均值不等式＝≥成立，故≥成立， 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由①②可知n∈N*時(shí)，不等式…>成立． 考點(diǎn)三 “歸納—猜想—證明”問題 　 [例3]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；[來源:] (2)證明通項(xiàng)公式的正確性． [自主解答]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0)． 當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2 a2－2＝0.∴a2＝－(a2>0)． 同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)． (2)①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立， 即ak＝－.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式并整理得a＋2ak＋1－2＝0， 解得：ak＋1＝－(an>0)．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，通項(xiàng)公式也成立． 由①和②，可知對(duì)所有n∈N*，an＝－都成立． 【方法規(guī)律】 歸納—猜想—證明類問題的解題步驟 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性． (2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題． (2014金華模擬)已知數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥(an＋1)2－1，試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 解：∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增． 于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進(jìn)而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即ak≥2k－1. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②知，對(duì)任意n∈N*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n，∴≤， ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n<1. ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————[來源:] 1種方法——尋找遞推關(guān)系的方法 　(1)在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾項(xiàng)，并爭取正確寫出來，這樣對(duì)發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的． (2)探求數(shù)列通項(xiàng)公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個(gè)位置． (3)在書寫f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)都要分析清楚． 3個(gè)注意點(diǎn)——運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的三個(gè)問題 (1)第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． (2)由假設(shè)n＝k成立證n＝k＋1時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用n＝k成立的結(jié)論． (3)要注意n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)．