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高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【29】等差數(shù)列解析版

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1、專題二十九專題二十九 等差數(shù)列等差數(shù)列【高頻考點(diǎn)解讀】【高頻考點(diǎn)解讀】1.理解等差數(shù)列的概念2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型一題型一等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及前等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式例 1、已知an為等差數(shù)列,其前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 a36,S312,則公差 d 等于()A1B.53C2D3【提分秘籍】【提分秘籍】1概念中的“同一個(gè)常數(shù)”十分重要如果一個(gè)數(shù)列,從第 2 項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差,盡管等于常數(shù),但不是同一個(gè)

2、常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列2由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形可知,已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)就可以確定等差數(shù)列中的任何一項(xiàng)3等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式分析兩個(gè)公式可得,它們的共同點(diǎn)是需要知道 a1和 n,不同點(diǎn)是公式 Snna1an2還需要知道 an,公式 Snna1nn12d 還需要知道 d,解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式:當(dāng)已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí),用前一個(gè)公式較為簡便;當(dāng)已知首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)時(shí),用后一個(gè)公式較好【舉一反三】【舉一反三】等差數(shù)列an的前 7 項(xiàng)和等于前 2 項(xiàng)和,若 a11,aka40,則 k_.【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型二題型二等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)例 2、 已知等差

3、數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 若 a43a8a12120, 則 2a11a14S15()A384B382C380D352【提分秘籍】【提分秘籍】1等差數(shù)列an中,若 mpq,則 amapaq,不一定成立,只有當(dāng) a1d 時(shí)才成立2運(yùn)算性質(zhì)求解基本運(yùn)算,可減少運(yùn)算量、但要注意判斷項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系3.利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決基本量的運(yùn)算體現(xiàn)了整體求值思想的應(yīng)用,應(yīng)用時(shí)常將 aman2amn2與 amanapaq相結(jié)合考查【舉一反三】【舉一反三】已知等差數(shù)列 an滿足 a23,SnSn351(n3),Sn100,則 n 的值為()A8B9C10D11【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型三題型三等差數(shù)列的判定

4、等差數(shù)列的判定例 3、已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且滿足 a112,an2SnSn1(n2)(1)求證:數(shù)列1Sn是等差數(shù)列;(2)求 Sn和 an.【提分秘籍】【提分秘籍】 等差數(shù)列的判定方法等差數(shù)列的判定方法(1)定義法:對(duì)于 n2 的任意自然數(shù),驗(yàn)證 anan1為同一常數(shù);(2)等差中項(xiàng)法:驗(yàn)證 2an1anan2(n3,nN*)成立;(3)通項(xiàng)公式法:驗(yàn)證 anpnq;(4)前 n 項(xiàng)和公式法:驗(yàn)證 SnAn2Bn.注意:在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法,而通項(xiàng)公式法和前 n 項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷【舉一反三】【舉一反三】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式 anp

5、n2qn(p、qR,且 p、q 為常數(shù))(1)當(dāng) p 和 q 滿足什么條件時(shí),數(shù)列an是等差數(shù)列;(2)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù) p 和 q,數(shù)列an1an是等差數(shù)列an1an是等差數(shù)列【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型四題型四等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算例 4、(1)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 Sm12,Sm0,Sm13,則 m()A3B4C5D6(2)在等差數(shù)列an中,a22,a34,則 a10()A12B14C16D18【提分秘籍】【提分秘籍】1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1(n1)d 及前 n 項(xiàng)和公式 Snna1an2na1nn12d,共涉及五個(gè)量 a1,an,d,n,Sn,知

6、其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問題2數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而 a1和 d 是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知和未知是常用方法【舉一反三】【舉一反三】在數(shù)列an中,若 a12,且對(duì)任意的 nN*有 2an112an,則數(shù)列an前 10 項(xiàng)的和為()A5B10C.52D.54【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型五題型五等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和最值問題項(xiàng)和最值問題例 5、已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a1a3a5105,a2a4a699,an的前 n 項(xiàng)和為Sn,則使得 Sn達(dá)到最大的 n 是()A18B19C20D21【提分秘籍】【提分秘籍】與等

7、差數(shù)列前 n 項(xiàng)和有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn);主要命題角度有:(1)前 n 項(xiàng)和的最大值;(2)前 n 項(xiàng)和的最小值;(3)與前 n 項(xiàng)和有關(guān)的最值問題1.解決等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最大值的方法(1)將 Sn表示為 n 的二次函數(shù),注意 nN*.(2)利用通項(xiàng)不等式組 Sn最大an0,an10.2.等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最小值an0,an10.【舉一反三】【舉一反三】在首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列an中,若 a10a11a120,則當(dāng)前 n 項(xiàng)和 Sn取最小值時(shí),n等于()A10B10 或 11C11D9 或 10【高考風(fēng)向標(biāo)】【高考風(fēng)向標(biāo)】1 (20 xx重慶卷)在等差數(shù)列an中,a12,a3a510,

8、則 a7()A5B8C10D142 (20 xx天津卷)設(shè)an是首項(xiàng)為 a1,公差為1 的等差數(shù)列,Sn為其前 n 項(xiàng)和若 S1,S2,S4成等比數(shù)列,則 a1()A2B2C.12D123 (20 xx北京卷)已知an是等差數(shù)列,滿足 a13,a412,數(shù)列bn滿足 b14,b420,且bnan為等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和4 (20 xx福建卷)在等比數(shù)列an中,a23,a581.(1)求 an;(2)設(shè) bnlog3an,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.5 (20 xx湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足:a12,且 a1,a2,a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)

9、列an的通項(xiàng)公式(2)記 Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,是否存在正整數(shù) n,使得 Sn60n800?若存在,求 n的最小值;若不存在,說明理由6 (20 xx湖南卷)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn2n2,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) bn2an(1)nan,求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和7 (20 xx江西卷)在等差數(shù)列an中,a17,公差為 d,前 n 項(xiàng)和為 Sn,當(dāng)且僅當(dāng) n8時(shí) Sn取得最大值,則 d 的取值范圍為_【答案】1,78【解析】 由題可知 a80 且 a90 且 78d0,所以1d0.證明:d1,d2,dn1是等比數(shù)列;(3)設(shè) d1,d2,dn1是公差大于

10、 0 的等差數(shù)列,且 d10,證明:a1,a2,an1是等差數(shù)列20 (20 xx全國卷)等差數(shù)列an中,a74,a192a9.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) bn1nan,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.21 (20 xx福建卷)已知等差數(shù)列an的公差 d1,前 n 項(xiàng)和為 Sn.(1)若 1,a1,a3成等比數(shù)列,求 a1;(2)若 S5a1a9,求 a1的取值范圍22 (20 xx新課標(biāo)全國卷 已知等差數(shù)列an的公差不為零,a125,且 a1,a11,a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求 a1a4a7a3n2.23 (20 xx山東卷)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,

11、且 S44S2,a2n2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足b1a1b2a2bnan112n,nN*,求bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.24 (20 xx陜西卷)設(shè) Sn表示數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和(1)若an是等差數(shù)列,推導(dǎo) Sn的計(jì)算公式;(2)若 a11,q0,且對(duì)所有正整數(shù) n,有 Sn1qn1q.判斷an是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論25 (20 xx四川卷)在等比數(shù)列an中,a2a12,且 2a2為 3a1和 a3的等差中項(xiàng),求數(shù)列an的首項(xiàng)、公比及前 n 項(xiàng)和26 (20 xx新課標(biāo)全國卷 已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足 S30,S55.(1)求an的通項(xiàng)公

12、式;(2)求數(shù)列1a2n1a2n1的前 n 項(xiàng)和27 (20 xx浙江卷)在公差為 d 的等差數(shù)列an中,已知 a110,且 a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求 d,an;(2)若 d0,求|a1|a2|a3|an|.28 (20 xx重慶卷)設(shè)數(shù)列an滿足:a11,an13an,nN.(1)求an的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 Sn;(2)已知bn是等差數(shù)列,Tn為其前 n 項(xiàng)和,且 b1a2,b3a1a2a3,求 T20.29 (20 xx重慶卷)若 2,a,b,c,9 成等差數(shù)列,則 ca_【答案】72【解析】 設(shè)公差為 d,則 d925174,所以 ca2d72.【隨堂鞏固】【隨堂鞏固

13、】1若數(shù)列an的首項(xiàng) a11,且 anan12(n2),則 a7()A13B14C15D172已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,a415,S555,則數(shù)列an的公差是()A.14B4C4D33 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,a2a86,則 S9()A.272B27C54D1084已知an為等差數(shù)列,其公差為2,且 a7是 a3與 a9的等比中項(xiàng),Sn為an的前 n 項(xiàng)和,nN*,則 S10的值為()A110B90C90D110答案:D5一個(gè)首項(xiàng)為 23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列,如果前 6 項(xiàng)均為正數(shù),第 7 項(xiàng)起為負(fù)數(shù),則它的公差為()A2 B3C4D66把 70 個(gè)面包分五份給 5

14、個(gè)人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的16是較小的兩份之和,則最小的一份為()A2B8C14D207等差數(shù)列an中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且 a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913則 a4的值為()A18B15C12D208 在 6 月 11 日成功發(fā)射了“神舟十號(hào)”, 假設(shè)運(yùn)載火箭在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為 2 km,以后每秒鐘通過的路程都增加 2 km,在到達(dá)離地面 240 km 的高度時(shí),火箭與飛船分離,則這一過程需要的時(shí)間大約是()A10 秒鐘B13 秒鐘C15 秒鐘D20

15、秒鐘9 一個(gè)等差數(shù)列的前 20 項(xiàng)和為 420, 前 20 項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為 1110,則此數(shù)列的公差為_10已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 a3a4a512,則 S7的值為_11等差數(shù)列an前 9 項(xiàng)的和等于前 4 項(xiàng)的和若 a11,aka40,則 k_.12已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且 a3a95,bn2an,則 b52b7的最小值為_13已知等差數(shù)列an中,a512,a2018.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列|an|的前 n 項(xiàng)和 Sn.14已知 a2、a5是方程 x212x270 的兩根,數(shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn,且 Tn112bn(nN*)(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式;(2)記 cnanbn,求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 Sn.

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