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1、
專題四十 空間幾何體的表面積和體積
【高頻考點(diǎn)解讀】
了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.
【熱點(diǎn)題型】
題型一 幾何體的表面積
例1、(高考重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A.180 B.200 C.220 D.240
【提分秘籍】
求幾何體的表面積的方法
(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題,即空間圖形平面化,這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn).
(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體,先求這些柱、錐、臺體的表面積,再通過求和
2、或作差求得幾何體的表面積.
【舉一反三】
四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是點(diǎn)A,其三視圖如圖所示,則四棱錐P-ABCD的表面積為________.
【熱點(diǎn)題型】
題型二 幾何體的體積
例2、(1)(高考江蘇卷)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn).設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1∶V2=________.
(2)(高考遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是________.
【提分秘籍】
求幾何體體積的方法
(1)若所給定的
3、幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.
(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.
【舉一反三】
如圖是一個幾何體的三視圖.若它的體積是3,則a=________.
【熱點(diǎn)題型】
題型三 球的表面積與體積
例3、 (高考全國新課標(biāo)卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為________.
【提分秘籍】
4、 利用球半徑,截面圓半徑,球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.
【舉一反三】
平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為( )
A.π B.4π
C.4π D.6π
【熱點(diǎn)題型】
題型四 多面體與球有關(guān)的切、接問題
例4、如圖所示,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,將其沿對角線BD折成四面體ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一個球面上,則該球的體積為( )
A.π B.3π C.π D.2π
【提分
5、秘籍】
球與多面體的切接問題,要弄清位置關(guān)系,選擇最佳角度作出截面,以使空間問題能順利在平面內(nèi)解決.截面一定要經(jīng)過球心,所以球心位置的確定會成為解題的突破點(diǎn).特別是幾何體的外接球球心,它到幾何體各頂點(diǎn)的距離相等.
【舉一反三】
(高考天津卷)已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上.若球的體積為,則正方體的棱長為________.
【高考風(fēng)向標(biāo)】
1.(20xx湖南卷)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖12所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于( )
圖12
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(20xx陜西卷)將邊長為1的正方形以其一邊
6、所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是( )
A.4π B.3π C.2π D.π
3.(20xx全國卷)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為( )
A. B.16π
C.9π D.
4.(20xx陜西卷)四面體ABCD及其三視圖如圖14所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體的棱AB,BD,DC,CA于點(diǎn)E,F(xiàn), G,H.
圖14
(1)求四面體ABCD的體積;
(2)證明:四邊形EFGH是矩形.
5.(20xx天津卷) 已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上,若球的體積為,則正方體的棱長
7、為________.
6.(20xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為________.
7.(20xx湖北卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)
8.(20xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則
8、球O的表面積為________.
【隨堂鞏固】
1.一個空間幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示,則這個空間幾何體的表面積是( )
A. B.+6
C.11π D.+3
2.已知正三棱錐P-ABC的主視圖和俯視圖如圖所示,則此三棱錐的外接球的表面積為( )
A.4π B.12π
C. D.
3.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.32 B.18
C.16 D.10
4. SC為球O的直徑,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=2,∠ASC=∠BSC=,若棱錐A-SBC的體積為,則球O的體積
9、為( )
A. B. C.27π D.4π
5.已知正三棱柱內(nèi)接于一個半徑為2的球,則正三棱柱的側(cè)面積取得最大值時,其底面邊長為( )
A. B. C. D.
6.一個幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的表面積為________m2.
7.將邊長為a的正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐,得到圖2所示的幾何體,則該幾何體的體積為________.
8.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,該三棱錐的外接球的半徑為2,則該三棱錐的體積為________.
9.一個幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個長為,寬為1的矩形,俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形.
(1)求該幾何體的體積V;
(2)求該幾何體的表面積S.
S=2(11+1+12)=6+2.
10.正三棱錐的高為1,底面邊長為2,內(nèi)有一個球與四個面都相切,求棱錐的表面積和球的半徑.
11.如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.
(1)求證:BC⊥平面ACD;
(2)求幾何體D-ABC的體積.