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高考文科數(shù)學(xué) 題型秘籍【37】合情推理與演繹推理解析版

上傳人:仙*** 文檔編號:43075809 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):13 大?。?53.50KB
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1、 專題三十七 合情推理與演繹推理 【高頻考點解讀】 1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.  2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運用它們進行一些簡單推理.  3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 【熱點題型】 題型一 合情推理 例1、平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1;外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論;已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則=(  ) A.    B.    C.    D. 【提分秘籍】 1.合

2、情推理是合乎情理的推理,它包括歸納推理和類比推理,它們都是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納、類比,然后提出猜想的推理. 2.在進行類比推理時,要盡量從本質(zhì)上去類比,不要被表面現(xiàn)象所迷惑,否則只抓住一點表面現(xiàn)象甚至假象就去類比,就會犯機械類比的錯誤. 3. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類 (1)數(shù)的歸納包括數(shù)學(xué)歸納和式子歸納,解決此類問題時,需要細心觀察,尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系,同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等. (2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納. 【舉一反三】 用火柴棒擺“金魚”,如圖所示: 按照上面的

3、規(guī)律,第n條“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為________. 答案:6n+2 【熱點題型】 題型二 演繹推理 例2、已知函數(shù)f(x)=-(a>0且a≠1). (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱; (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 【提分秘籍】 1.在數(shù)學(xué)中,通常由已知條件歸納出一個結(jié)論,或運用類比推理給出某個結(jié)論,再運用演繹推理進行嚴格證明.也就是說,合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證,而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的.在前提和推理形式都正確的情況下,通過演繹推理所推出的結(jié)論一定是正確的. 2. 演繹推理是

4、由一般到特殊的推理,常用的一般模式為三段論,演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系,解題時要找準(zhǔn)正確的大前提,一般地,若大前提不明確時,可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提. 【舉一反三】 “因為指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y=x是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以y=x是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯誤是(  ) A.大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯 B.小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯 C.推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯 D.大前提和小前提錯都導(dǎo)致結(jié)論錯 【熱點題型】 題型三 類比推理 例3、 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),則am+n=.類比等差數(shù)列

5、{an}的上述結(jié)論,對于等比數(shù)列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),則可以得到bm+n=________. 【提分秘籍】 類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法 (1)類比定義:在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時,可以借助原定義來求解. (2)類比性質(zhì):從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手,提出類比推理型問題,求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別,深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵; (3)類比方法:有一些處理問題的方法具有類比性,我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中,注意知識的遷移. 【舉一反

6、三】 在等比數(shù)列{an}中,若r, s,t是互不相等的正整數(shù),則有等式aaa=1成立.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,在等差數(shù)列{bn}中,若r,s,t是互不相等的正整數(shù),則有等式________成立. 【熱點題型】 題型四 情推理與證明的交匯創(chuàng)新問題 例4、某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù): ①sin213+cos217-sin 13cos 17; ②sin215+cos215-sin 15cos 15; ③sin218+cos212-sin 18cos 12; ④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48; ⑤s

7、in2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 【提分秘籍】 1.解決本題的關(guān)鍵 (1)正確應(yīng)用三角恒等變換,用一個式子把常數(shù)求出來. (2)通過觀察各個等式的特點,找出共性,利用歸納推理正確得出一個三角恒等式,并給出正確的證明. 2. 合情推理與證明的交匯問題是近年來高考命題的又一創(chuàng)新點,三角恒等式的推理與證明相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中,解決此類問題首先要通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性,然后把這種相似性推廣到一個明確表達的一般命題,最后進行證

8、明檢驗. 【舉一反三】 已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點,點P是橢圓上任意一點,當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線-=1寫出具有類似特征的性質(zhì),并加以證明. 【高考風(fēng)向標(biāo)】 1.(20xx福建卷) 已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個正確,則100a+10b+c等于________. 2.(20xx全國新課標(biāo)卷Ⅰ) 甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市.乙說:我

9、沒去過C城市.丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為________. 3.(20xx陜西卷) 已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f20xx(x)的表達式為________.               4.(20xx湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中,若點P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為N,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖1-3中△ABC是格點三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4. 圖1-3 (1

10、)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是________; (2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù),若某格點多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=________(用數(shù)值作答). 5.(20xx山東卷)定義“正對數(shù)”:ln+x=現(xiàn)有四個命題: ①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a; ②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln a+ln+b; ③若a>0,b>0,則ln+≥ln+a-ln+b; ④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命題有________.(寫出所有真命題的編號)

11、 6.(20xx陜西卷)觀察下列等式 (1+1)=21 (2+1)(2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 …… 照此規(guī)律,第n個等式可為______________. 【隨堂鞏固】 1.通過圓與球的類比,由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中,以正方形的面積為最大,最大值為2R2”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為(  ) A.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為2R2 B.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為3R3 C.半徑為R的球的內(nèi)接六面體中,以正方體的體積為最大,最大值為 D.半徑為R的球的內(nèi)接六面

12、體中,以正方體的體積為最大,最大值為 2.如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6,那么稱a為“好數(shù)”(如:6,24,2 013等均為“好數(shù)”),將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2 013,則n=(  ) A.50           B.51 C.52 D.53 3.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin (x2+1)是奇函數(shù),以上推理(  ) A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 4.當(dāng)x∈(0,+∞)時可得到不等式x+≥2,x+=++2≥3,由此可以推廣為x+≥n+1,取

13、值p等于(  ) A.nn B.n2 C.n D.n+1 5.設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=;類比這個結(jié)論可知:四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球的半徑為R,四面體S-ABC的體積為V,則R=(  ) A. B. C. D. 6.給出下列三個類比結(jié)論: ①(ab)n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+

14、b)2類比,則有(a+b)2=a2+2ab+b2. 其中結(jié)論正確的個數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)學(xué)2,3出現(xiàn)在第2行;數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行,依次類推,則(1)按網(wǎng)絡(luò)運作順序第n行第1個數(shù)字(如第2行第1個數(shù)字為2,第3行第1個數(shù)字為4,…)是________;(2)第63行從左至右的第3個數(shù)字應(yīng)是________. 8.定義映射f:A→B,其中A={(m,n)}|m,n∈R},B=R,已知對所有的有序正整數(shù)對(m,n)滿足下述

15、條件: ①f(m,1)=1;②若n>m,f(m,n)=0;③f(m+1,n)=n[f(m,n)+f(m,n-1)],則f(2,2)=________,f(n,2)=________. 9.平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì),例如在三角形中:(1)三角形兩邊之和大于第三邊;(2)三角形的面積S=底高;(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的;…… 請類比上述性質(zhì),寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論. 10.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,猜想這個數(shù)列的通項公式,這個猜想正確嗎?請說明理由. 11.集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的: ①函數(shù)f(x)的定義域是[0,+∞); ②函數(shù)f(x)的值域是[-2,4); ③函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù). 試分別探究下列問題: (1)判斷函數(shù)f1(x)=-2(x≥0)及f2(x)=4-6x(x≥0)是否屬于集合A,并簡要說明理由; (2)對于(1)中你認為屬于集合A的函數(shù)f(x),不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否對于任意的x≥0恒成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

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