精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44:第1講2極坐標(biāo)系【教學(xué)參考】
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二極坐標(biāo)系
課標(biāo)解讀
1.理解極坐標(biāo)系的概念.
2.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別.
3.掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.
1.極坐標(biāo)系的概念
(1)極坐標(biāo)系的建立:在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.
(2)極坐標(biāo):設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為ρ;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為M(ρ,θ).一般地,不作特殊說(shuō)明時(shí),我們認(rèn)為ρ≥0,θ可取任意實(shí)數(shù).
2.點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系
一般地,極坐標(biāo)(ρ,θ)與(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一個(gè)點(diǎn),特別地,極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,θ)(θ∈R).
如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用惟一的極坐標(biāo)(ρ,θ)表示;同時(shí),極坐標(biāo)(ρ,θ)表示的點(diǎn)也是惟一確定的.
圖1-2-1
3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,如圖1-2-1所示.
(2)互化公式:設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:
點(diǎn)M
直角坐標(biāo)(x,y)
極坐標(biāo)(ρ,θ)
互化公式
ρ2=x2+y2
tan θ=(x≠0)
1.極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系?
【提示】 極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系,用來(lái)研究平面內(nèi)點(diǎn)與距離等有關(guān)問(wèn)題.
2.由極坐標(biāo)的意義可判斷平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)惟一嗎?
【提示】 平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的.如果限定ρ>0,θ∈[0,2π),平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))與極坐標(biāo)(ρ,θ)可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3.聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶是什么?
【提示】 任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關(guān)系式是聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶.
事實(shí)上,若ρ>0,則sin θ=,cos θ=,
所以x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0).
確定極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)
設(shè)點(diǎn)A(2,),直線l為過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線,分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸,直線l,極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0,-π<θ≤π).
【思路探究】 欲寫出點(diǎn)的極坐標(biāo),首先應(yīng)確定ρ和θ的值.
【自主解答】 如圖所示,關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(2,-).
關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C(2,π).
關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D(2,-π).
四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D都在以極點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上.
1.點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,則除極點(diǎn)外,點(diǎn)的極坐標(biāo)是惟一確定的.
2.寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序:極徑ρ在前,極角θ在后,不能顛倒順序.
(2013漯河質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)A(3,-)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是( )
A.(3,π) B.(3,)
C.(3,π) D.(3,π)
【解析】 與點(diǎn)A(3,-)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(3,2kπ+)(k∈Z).
【答案】 B
將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)
寫出下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo),并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限.
(1)(2,);(2)(2,π);(3)(2,-);(4)(2,-2).
【思路探究】 點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)―→―→點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)―→判定點(diǎn)所在象限.
【自主解答】 (1)由題意知x=2cos=2(-)=-1,y=2sin=2(-)=-.
∴點(diǎn)(2,)的直角坐標(biāo)為(-1,-),是第三象限內(nèi)的點(diǎn).
(2)x=2cos π=-1,y=2sin π=,
∴點(diǎn)(2,π)的直角坐標(biāo)為(-1,),是第二象限內(nèi)的點(diǎn).
(3)x=2cos(-)=1,y=2sin(-)=-,
∴點(diǎn)(2,-)的直角坐標(biāo)為(1,-),是第四象限內(nèi)的點(diǎn).
(4)x=2cos (-2)=2cos 2,y=2sin(-2)=-2sin 2.
∴點(diǎn)(2,-2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2,-2sin 2),是第三象限內(nèi)的點(diǎn).
1.點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個(gè)前提條件:①極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;②極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;③兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同.
2.將點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)時(shí),運(yùn)用到求角θ的正弦值和余弦值,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值,靈活運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵.
分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo):
(1)(2,);(2)(3,);(3)(π,π).
【解】 (1)∵x=ρcos θ=2cos=,
y=ρsin θ=2sin=1.
∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(2,)化為直角坐標(biāo)為(,1).
(2)∵x=ρcos θ=3cos=0,
y=ρsin θ=3sin=3.
∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(3,)化為直角坐標(biāo)為(0,3).
(3)∵x=ρcos θ=πcos π=-π,
y=ρsin θ=πsin π=0.
∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(π,π)化為直角坐標(biāo)為(-π,0).
將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)
分別把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)(-2,2);(2)(,-);(3)(,).
【思路探究】 利用公式ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0),但求角θ時(shí),要注意點(diǎn)所在的象限.
【自主解答】 (1)∵ρ===4,
tan θ==-,θ∈[0,2π),
由于點(diǎn)(-2,2)在第二象限,
∴θ=.
∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(-2,2)化為極坐標(biāo)為(4,π).
(2)∵ρ===2,
tan θ==-,θ∈[0,2π),
由于點(diǎn)(,-)在第四象限,
∴θ=.
∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(,-)化為極坐標(biāo)為(2,).
(3)∵ρ===,tan θ==1,θ∈[0,2π).
由于點(diǎn)(,)在第一象限,
∴θ=.
∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(,)化為極坐標(biāo)為(,).
1.將直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ),主要利用公式ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0)進(jìn)行求解,先求極徑,再求極角.
2.在[0,2π)范圍內(nèi),由tan θ=(x≠0)求θ時(shí),要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷出點(diǎn)所在的象限.如果允許θ∈R,再根據(jù)終邊相同的角的意義,表示為θ+2kπ(k∈Z)即可.
(1)例3中,如果限定ρ>0,θ∈R,分別求各點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)如果點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)滿足xy<0,那么在限定ρ>0,θ∈R的情況下轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí),試探究θ的取值范圍.
【解】 (1)根據(jù)與角α終邊相同的角為α+2kπ(k∈Z)知,點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0,θ∈R)分別如下:
(-2,2)的極坐標(biāo)為(4,+2kπ)(k∈Z).
(,-)的極坐標(biāo)為(2,π+2kπ)(k∈Z),(,)的極坐標(biāo)為(,+2kπ)(k∈Z).
(2)由xy<0得x<0,y>0或x>0,y<0.
所以(x,y)可能在第二象限或第四象限.
把直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ),ρ>0,θ∈R時(shí),θ的取值范圍為(+2kπ,π+2kπ)∪(+2kπ,2π+2kπ)(k∈Z).
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用
在極坐標(biāo)系中,如果A(2,),B(2,)為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn),求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π).
【思路探究】 解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點(diǎn)C的直角坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)C的極坐標(biāo).
【自主解答】 對(duì)于點(diǎn)A(2,)有ρ=2,θ=,
∴x=2cos=,y=2sin=,則A(,).
對(duì)于B(2,π)有ρ=2,θ=π,
∴x=2cosπ=-,y=2sinπ=-.
∴B(-,-).
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由于△ABC為等邊三角形,
故|AB|=|BC|=|AC|=4.
∴有
解之得或
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(,-)或(-,).
∴ρ==2,tan θ==-1,
∴θ=π或θ=π.
故點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,π)或(2,π).
1.本例綜合考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知,點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩解,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵.
2.若設(shè)出C(ρ,θ),利用余弦定理亦可求解,請(qǐng)讀者完成.
本例中,如果點(diǎn)的極坐標(biāo)仍為A(2,),B(2,),且△ABC為等腰直角三角形,如何求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo).
【解】 對(duì)于點(diǎn)A(2,),直角坐標(biāo)為(,),點(diǎn)B(2,)的直角坐標(biāo)為(-,-),
設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x,y),由題意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,
∴=0,
即(x-,y-)(x+,y+)=0,
∴x2+y2=4. ①
又|A|2=|B|2,于是(x-)2+(y-)2
=(x+)2+(y+)2,
∴y=-x,代入①,得x2=2,解得x=.
∴或
∴點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(,-)或(-,),
∴ρ==2,tan θ=-1,θ=或,
∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,)或(2,).
(教材第12頁(yè)習(xí)題1.2,第5題)
已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(3,),(0,-),(,0),(-2,-2),求它們的極坐標(biāo).
(2013大連質(zhì)檢)已知點(diǎn)P在第三象限角的平分線上,且到橫軸的距離為2,則當(dāng)ρ>0,θ∈[0,2π)時(shí),點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_(kāi)_______.
【命題意圖】 主要考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化.
【解析】 ∵點(diǎn)P(x,y)在第三象限角的平分線上,且到橫軸的距離為2.
∴x=-2,且y=-2.
∴ρ==2,
又tan θ==1,且θ∈[0,2π).
∴θ=π.
因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,π).
【答案】 (2,π)
1.極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為( )
A.(1,0) B.(-1,π)
C.(1,π) D.(1,2π)
【解析】 ∵(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(ρ,π+θ),
∴M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,π).
【答案】 C
2.點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,),則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為( )
A.(-1,-) B.(-,1)
C.(-,-1) D.(,-1)
【解析】 x=ρcos θ=2cosπ=-,
y=ρsin θ=2sinπ=-1.
【答案】 C
3.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,),則點(diǎn)M的極坐標(biāo)可以為( )
A.(,0) B.(0,)
C.(,) D.(,-)
【解析】 ∵ρ==,且θ=,
∴M的極坐標(biāo)為(,).
【答案】 C
4.將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到射線OP,在OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2,則ρ>0,θ∈[0,2π)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為_(kāi)_______,它關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______(ρ>0,θ∈[0,2π)).
【解析】 ρ=|OM|=2,與OP終邊相同的角為-+2kπ(k∈Z).
∵θ∈[0,2π),∴k=1,θ=,∴M(2,),
∴M關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2,).
【答案】 (2,) (2,)
(時(shí)間40分鐘,滿分60分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.下列各點(diǎn)中與(2,)不表示極坐標(biāo)系中同一個(gè)點(diǎn)的是( )
A.(2,-π) B.(2,π)
C.(2,π) D.(2,π)
【解析】 與極坐標(biāo)(2,)相同的點(diǎn)可以表示為(2,+2kπ)(k∈Z),只有(2,π)不適合.
【答案】 C
2.將點(diǎn)的極坐標(biāo)(π,-2π)化為直角坐標(biāo)為( )
A.(π,0) B.(π,2π)
C.(-π,0) D.(-2π,0)
【解析】 x=πcos(-2π)=π,y=πsin(-2π)=0,
所以點(diǎn)的極坐標(biāo)(π,-2π)化為直角坐標(biāo)為(π,0).
【答案】 A
3.在極坐標(biāo)系中,已知A(2,)、B(6,-),則OA、OB的夾角為( )
A. B.0
C. D.
【解析】 如圖所示,夾角為.
【答案】 C
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-).若以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是( )
A.(2,-) B.(2,)
C.(1,-) D.(2,-)
【解析】 極徑ρ==2,極角θ滿足tan θ==-,
∵點(diǎn)(1,-)在第四象限,所以θ=-.
【答案】 A
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(3,)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)為Q,則極坐標(biāo)系中,極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于________.
【解析】 ∵點(diǎn)P(3,)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)為Q(6,),則極坐標(biāo)系中,極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于6|sin |=3.
【答案】 3
6.極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(3,),則
(1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________;
(2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________;
(3)點(diǎn)A關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________.(本題中規(guī)定ρ>0,θ∈[0,2π))
【解析】 點(diǎn)A(3,)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,);點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,);點(diǎn)A關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,).
【答案】 (1)(3,) (2)(3,) (3)(3,)
三、解答題(每小題10分,共30分)
7.已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)按伸縮變換變換為點(diǎn)P′(6,-3),限定ρ>0,0≤θ<2π時(shí),求點(diǎn)P的極坐標(biāo).
【解】 設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),由題意得解得
∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3,-),
ρ==2,tan θ=,
∵0≤θ<2π,點(diǎn)P在第四象限,
∴θ=,
∴點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,).
8.(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(3,-),B(2,),C(,π),D(-4,),求它們的直角坐標(biāo).
(2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,),B(0,-),C(-2,-2),求它們的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π).
【解】 (1)根據(jù)x=ρcos θ,y=ρsin θ,得A(,-),B(-1,),C(-,0),D(0,-4)
(2)根據(jù)ρ2=x2+y2,tan θ=得A(2,),B(,),C(4,).
9.在極坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(2,),B(2,π),C(2,).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)求△ABC的面積.
【解】 (1)如圖所示,由A(2,),B(2,π),C(2,)得|OA|=|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠AOC=.
∴△AOB≌△BOC≌△AOC,
∴AB=BC=CA,
故△ABC為等邊三角形.
(2)由上述可知,
AC=2OAsin=22=2.
∴S△ABC=(2)2=3(面積單位).
教師備選
10.某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖:
用點(diǎn)O,A,B,C,D,E,F(xiàn),G分別表示校門,器材室,操場(chǎng),公寓,教學(xué)樓,圖書館,車庫(kù),花園,其中|AB|=|BC|,|OC|=600 m.建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,寫出除點(diǎn)B外各點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點(diǎn)為(0,0)).
【解】 以點(diǎn)O為極點(diǎn),OA所在的射線為極軸Ox(單位長(zhǎng)度為1 m),建立極坐標(biāo)系,
由|OC|=600 m,∠AOC=,∠OAC=,得|AC|=300 m,|OA|=300 m,又|AB|=|BC|,所以|AB|=150 m.
同理,得|OE|=2|OG|=300 m,
所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為O(0,0),A(300,0),C(600,),D(300,),E(300,),F(xiàn)(300,π),G(150,π).
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