《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第1講2極坐標(biāo)系【教學(xué)參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第1講2極坐標(biāo)系【教學(xué)參考】（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 二極坐標(biāo)系 課標(biāo)解讀 1.理解極坐標(biāo)系的概念． 2．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別． 3．掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 1．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫

2、做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． 2．點與極坐標(biāo)的關(guān)系 一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點，特別地，極點O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)． 如果規(guī)定ρ>0，0≤θ<2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用惟一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點也是惟一確定的． 圖1－2－1 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 (1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩

3、種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖1－2－1所示． (2)互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表： 點M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 1．極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 【提示】　極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可．但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系，用來研究平面內(nèi)點與距離等有關(guān)問題． 2．由極坐標(biāo)的意義

4、可判斷平面上點的極坐標(biāo)惟一嗎？ 【提示】　平面上點的極坐標(biāo)不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的點(除去極點)與極坐標(biāo)(ρ，θ)可建立一一對應(yīng)關(guān)系． 3．聯(lián)系點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶是什么？ 【提示】　任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關(guān)系式是聯(lián)系點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶． 事實上，若ρ>0，則sin θ＝，cos θ＝， 所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0). 確定極坐標(biāo)系中點的坐標(biāo) 　設(shè)點A(2，)，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關(guān)于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標(biāo)(限定ρ

5、>0，－π<θ≤π)． 【思路探究】　欲寫出點的極坐標(biāo)，首先應(yīng)確定ρ和θ的值． 【自主解答】　如圖所示，關(guān)于極軸的對稱點為B(2，－)． 關(guān)于直線l的對稱點為C(2，π)． 關(guān)于極點O的對稱點為D(2，－π)． 四個點A，B，C，D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上． 1．點的極坐標(biāo)不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，則除極點外，點的極坐標(biāo)是惟一確定的． 2．寫點的極坐標(biāo)要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后，不能顛倒順序． 　(2013漯河質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中與點A(3，－)關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標(biāo)是(　　) A．(3，π)　　　　　　B．(3，)

6、 C．(3，π) D．(3，π) 【解析】　與點A(3，－)關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標(biāo)可以表示為(3,2kπ＋)(k∈Z)． 【答案】　B 將點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 　寫出下列各點的直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點在第幾象限． (1)(2，)；(2)(2，π)；(3)(2，－)；(4)(2，－2)． 【思路探究】　點的極坐標(biāo)(ρ，θ)―→―→點的直角坐標(biāo)(x，y)―→判定點所在象限． 【自主解答】　(1)由題意知x＝2cos＝2(－)＝－1，y＝2sin＝2(－)＝－. ∴點(2，)的直角坐標(biāo)為(－1，－)，是第三象限內(nèi)的點． (2)x＝2cos π＝－1，y＝2si

7、n π＝， ∴點(2，π)的直角坐標(biāo)為(－1，)，是第二象限內(nèi)的點． (3)x＝2cos(－)＝1，y＝2sin(－)＝－， ∴點(2，－)的直角坐標(biāo)為(1，－)，是第四象限內(nèi)的點． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2. ∴點(2，－2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限內(nèi)的點． 1．點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個前提條件：①極點與直角坐標(biāo)系的原點重合；②極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；③兩種坐標(biāo)系的長度單位相同． 2．將點的極坐標(biāo)(ρ，θ)化為點的直角坐標(biāo)(x，y)時，運用到求角θ的正弦值和余

8、弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關(guān)鍵． 　分別把下列點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： (1)(2，)；(2)(3，)；(3)(π，π)． 【解】　(1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝， y＝ρsin θ＝2sin＝1. ∴點的極坐標(biāo)(2，)化為直角坐標(biāo)為(，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cos＝0， y＝ρsin θ＝3sin＝3. ∴點的極坐標(biāo)(3，)化為直角坐標(biāo)為(0,3)． (3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0. ∴點的極坐標(biāo)(π，π)化為直角坐標(biāo)為(－π，0). 將點的直角坐標(biāo)化為極

9、坐標(biāo) 　分別把下列點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(，－)；(3)(，)． 【思路探究】　利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，但求角θ時，要注意點所在的象限． 【自主解答】　(1)∵ρ＝＝＝4， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(－2,2)在第二象限， ∴θ＝. ∴點的直角坐標(biāo)(－2,2)化為極坐標(biāo)為(4，π)． (2)∵ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(，－)在第四象限， ∴θ＝. ∴點的直角坐標(biāo)(，－)化為極坐標(biāo)為(2，)． (3)∵ρ＝＝＝，tan θ＝＝1，θ

10、∈[0,2π)． 由于點(，)在第一象限， ∴θ＝. ∴點的直角坐標(biāo)(，)化為極坐標(biāo)為(，)． 1．將直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)進(jìn)行求解，先求極徑，再求極角． 2．在[0,2π)范圍內(nèi)，由tan θ＝(x≠0)求θ時，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號特征判斷出點所在的象限．如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ(k∈Z)即可． 　(1)例3中，如果限定ρ>0，θ∈R，分別求各點的極坐標(biāo)； (2)如果點的直角坐標(biāo)(x，y)滿足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情況下轉(zhuǎn)化為點的極坐標(biāo)時，試探究θ的

11、取值范圍． 【解】　(1)根據(jù)與角α終邊相同的角為α＋2kπ(k∈Z)知，點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0，θ∈R)分別如下： (－2,2)的極坐標(biāo)為(4，＋2kπ)(k∈Z)． (，－)的極坐標(biāo)為(2，π＋2kπ)(k∈Z)，(，)的極坐標(biāo)為(，＋2kπ)(k∈Z)． (2)由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0. 所以(x，y)可能在第二象限或第四象限． 把直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R時，θ的取值范圍為(＋2kπ，π＋2kπ)∪(＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈Z). 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 　在極坐標(biāo)系中，如果A(2，)，B(2，)為等邊

12、三角形ABC的兩個頂點，求頂點C的極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π)． 【思路探究】　解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點C的直角坐標(biāo)，進(jìn)而求出點C的極坐標(biāo)． 【自主解答】　對于點A(2，)有ρ＝2，θ＝， ∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，則A(，)． 對于B(2，π)有ρ＝2，θ＝π， ∴x＝2cosπ＝－，y＝2sinπ＝－. ∴B(－，－)． 設(shè)C點的坐標(biāo)為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4. ∴有 解之得或 ∴C點的坐標(biāo)為(，－)或(－，)． ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1， ∴θ＝

13、π或θ＝π. 故點C的極坐標(biāo)為(2，π)或(2，π)． 1．本例綜合考查了點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì)．結(jié)合幾何圖形可知，點C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵． 2．若設(shè)出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，請讀者完成． 　本例中，如果點的極坐標(biāo)仍為A(2，)，B(2，)，且△ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點C的極坐標(biāo)． 【解】　對于點A(2，)，直角坐標(biāo)為(，)，點B(2，)的直角坐標(biāo)為(－，－)， 設(shè)點C的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|， ∴＝0， 即(x－，y－)(x＋

14、，y＋)＝0， ∴x2＋y2＝4.　① 又|A|2＝|B|2，于是(x－)2＋(y－)2 ＝(x＋)2＋(y＋)2， ∴y＝－x，代入①，得x2＝2，解得x＝. ∴或 ∴點C的直角坐標(biāo)為(，－)或(－，)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或， ∴點C的極坐標(biāo)為(2，)或(2，)． (教材第12頁習(xí)題1.2，第5題) 已知點的直角坐標(biāo)分別為(3，)，(0，－)，(，0)，(－2，－2)，求它們的極坐標(biāo)． 　(2013大連質(zhì)檢)已知點P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當(dāng)ρ>0，θ∈[0,2π)時，點P的極坐標(biāo)為________． 【命題意圖】　主要考查

15、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化． 【解析】　∵點P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2. ∴x＝－2，且y＝－2. ∴ρ＝＝2， 又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)． ∴θ＝π. 因此點P的極坐標(biāo)為(2，π)． 【答案】　(2，π) 1．極坐標(biāo)系中，點M(1,0)關(guān)于極點的對稱點為(　　) A．(1,0)　　　　　　B．(－1，π) C．(1，π) D．(1,2π) 【解析】　∵(ρ，θ)關(guān)于極點的對稱點為(ρ，π＋θ)， ∴M(1,0)關(guān)于極點的對稱點為(1，π)． 【答案】　C 2．點A的極坐標(biāo)是(2，)，則點A的直角坐標(biāo)為(　　) A．(－1，

16、－) B．(－，1) C．(－，－1) D．(，－1) 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝－， y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1. 【答案】　C 3．點M的直角坐標(biāo)為(0，)，則點M的極坐標(biāo)可以為(　　) A．(，0) B．(0，) C．(，) D．(，－) 【解析】　∵ρ＝＝，且θ＝， ∴M的極坐標(biāo)為(，)． 【答案】　C 4．將極軸Ox繞極點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點M，使|OM|＝2，則ρ>0，θ∈[0,2π)時點M的極坐標(biāo)為________，它關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)為________(ρ>0，θ∈[0,2π))． 【解析】　ρ＝|

17、OM|＝2，與OP終邊相同的角為－＋2kπ(k∈Z)． ∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝，∴M(2，)， ∴M關(guān)于極軸的對稱點為(2，)． 【答案】　(2，)　(2，) (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列各點中與(2，)不表示極坐標(biāo)系中同一個點的是(　　) A．(2，－π)　　　　　　B．(2，π) C．(2，π) D．(2，π) 【解析】　與極坐標(biāo)(2，)相同的點可以表示為(2，＋2kπ)(k∈Z)，只有(2，π)不適合． 【答案】　C 2．將點的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(　　) A．(π，0) B．(π，2π)

18、 C．(－π，0) D．(－2π，0) 【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0， 所以點的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(π，0)． 【答案】　A 3．在極坐標(biāo)系中，已知A(2，)、B(6，－)，則OA、OB的夾角為(　　) A. B．0 C. D. 【解析】　如圖所示，夾角為. 【答案】　C 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的直角坐標(biāo)為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點P的極坐標(biāo)可以是(　　) A．(2，－) B．(2，) C．(1，－) D．(2，－) 【解析】　極徑ρ＝＝2，極角θ滿足t

19、an θ＝＝－， ∵點(1，－)在第四象限，所以θ＝－. 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．平面直角坐標(biāo)系中，若點P(3，)經(jīng)過伸縮變換后的點為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點到極軸所在直線的距離等于________． 【解析】　∵點P(3，)經(jīng)過伸縮變換后的點為Q(6，)，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點到極軸所在直線的距離等于6|sin |＝3. 【答案】　3 6．極坐標(biāo)系中，點A的極坐標(biāo)是(3，)，則 (1)點A關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)是________； (2)點A關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)是________； (3)點A關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的

20、對稱點的極坐標(biāo)是________．(本題中規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π)) 【解析】　點A(3，)關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)為(3，)；點A關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)為(3，)；點A關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)為(3，)． 【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知點P的直角坐標(biāo)按伸縮變換變換為點P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π時，求點P的極坐標(biāo)． 【解】　設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得解得 ∴點P的直角坐標(biāo)為(3，－)， ρ＝＝2，tan θ＝， ∵0≤θ<2π，點P在第四象限， ∴θ

21、＝， ∴點P的極坐標(biāo)為(2，)． 8．(1)已知點的極坐標(biāo)分別為A(3，－)，B(2，)，C(，π)，D(－4，)，求它們的直角坐標(biāo)． (2)已知點的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B(0，－)，C(－2，－2)，求它們的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)． 【解】　(1)根據(jù)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A(，－)，B(－1，)，C(－，0)，D(0，－4) (2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A(2，)，B(，)，C(4，)． 9．在極坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的極坐標(biāo)分別為A(2，)，B(2，π)，C(2，)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)求△ABC的面積

22、． 【解】　(1)如圖所示，由A(2，)，B(2，π)，C(2，)得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝. ∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴AB＝BC＝CA， 故△ABC為等邊三角形． (2)由上述可知， AC＝2OAsin＝22＝2. ∴S△ABC＝(2)2＝3(面積單位)． 教師備選 10．某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖： 用點O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別表示校門，器材室，操場，公寓，教學(xué)樓，圖書館，車庫，花園，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出除點B外各點的極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點為(0,0))． 【解】　以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1 m)，建立極坐標(biāo)系， 由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m， 所以各點的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300，0)，C(600，)，D(300，)，E(300，)，F(xiàn)(300，π)，G(150，π)． 最新精品資料