精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 二極坐標(biāo)系 課標(biāo)解讀 1.理解極坐標(biāo)系的概念． 2．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別． 3．掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 1．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)． 2．點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系 一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個(gè)點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)． 如果規(guī)定ρ>0，0≤θ<2π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用惟一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點(diǎn)也是惟一確定的． 圖1－2－1 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 (1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，如圖1－2－1所示． (2)互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表： 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 1．極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 【提示】　極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可．但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系，用來(lái)研究平面內(nèi)點(diǎn)與距離等有關(guān)問(wèn)題． 2．由極坐標(biāo)的意義可判斷平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)惟一嗎？ 【提示】　平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))與極坐標(biāo)(ρ，θ)可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． 3．聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶是什么？ 【提示】　任意角的三角函數(shù)的定義及其基本關(guān)系式是聯(lián)系點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶． 事實(shí)上，若ρ>0，則sin θ＝，cos θ＝， 所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0). 確定極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo) 　設(shè)點(diǎn)A(2，)，直線l為過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸，直線l，極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0，－π<θ≤π)． 【思路探究】　欲寫出點(diǎn)的極坐標(biāo)，首先應(yīng)確定ρ和θ的值． 【自主解答】　如圖所示，關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(2，－)． 關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C(2，π)． 關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D(2，－π)． 四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D都在以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上． 1．點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是惟一確定的． 2．寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后，不能顛倒順序． 　(2013漯河質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)A(3，－)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是(　　) A．(3，π)　　　　　　B．(3，) C．(3，π) D．(3，π) 【解析】　與點(diǎn)A(3，－)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(3,2kπ＋)(k∈Z)． 【答案】　B 將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 　寫出下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限． (1)(2，)；(2)(2，π)；(3)(2，－)；(4)(2，－2)． 【思路探究】　點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)―→―→點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)―→判定點(diǎn)所在象限． 【自主解答】　(1)由題意知x＝2cos＝2(－)＝－1，y＝2sin＝2(－)＝－. ∴點(diǎn)(2，)的直角坐標(biāo)為(－1，－)，是第三象限內(nèi)的點(diǎn)． (2)x＝2cos π＝－1，y＝2sin π＝， ∴點(diǎn)(2，π)的直角坐標(biāo)為(－1，)，是第二象限內(nèi)的點(diǎn)． (3)x＝2cos(－)＝1，y＝2sin(－)＝－， ∴點(diǎn)(2，－)的直角坐標(biāo)為(1，－)，是第四象限內(nèi)的點(diǎn)． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2. ∴點(diǎn)(2，－2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限內(nèi)的點(diǎn)． 1．點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個(gè)前提條件：①極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；②極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；③兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同． 2．將點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ，θ)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)時(shí)，運(yùn)用到求角θ的正弦值和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵． 　分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： (1)(2，)；(2)(3，)；(3)(π，π)． 【解】　(1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝， y＝ρsin θ＝2sin＝1. ∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(2，)化為直角坐標(biāo)為(，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cos＝0， y＝ρsin θ＝3sin＝3. ∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(3，)化為直角坐標(biāo)為(0,3)． (3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0. ∴點(diǎn)的極坐標(biāo)(π，π)化為直角坐標(biāo)為(－π，0). 將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo) 　分別把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(，－)；(3)(，)． 【思路探究】　利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，但求角θ時(shí)，要注意點(diǎn)所在的象限． 【自主解答】　(1)∵ρ＝＝＝4， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(diǎn)(－2,2)在第二象限， ∴θ＝. ∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(－2,2)化為極坐標(biāo)為(4，π)． (2)∵ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(diǎn)(，－)在第四象限， ∴θ＝. ∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(，－)化為極坐標(biāo)為(2，)． (3)∵ρ＝＝＝，tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)． 由于點(diǎn)(，)在第一象限， ∴θ＝. ∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)(，)化為極坐標(biāo)為(，)． 1．將直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)進(jìn)行求解，先求極徑，再求極角． 2．在[0,2π)范圍內(nèi)，由tan θ＝(x≠0)求θ時(shí)，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷出點(diǎn)所在的象限．如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ(k∈Z)即可． 　(1)例3中，如果限定ρ>0，θ∈R，分別求各點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)如果點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)滿足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情況下轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí)，試探究θ的取值范圍． 【解】　(1)根據(jù)與角α終邊相同的角為α＋2kπ(k∈Z)知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0，θ∈R)分別如下： (－2,2)的極坐標(biāo)為(4，＋2kπ)(k∈Z)． (，－)的極坐標(biāo)為(2，π＋2kπ)(k∈Z)，(，)的極坐標(biāo)為(，＋2kπ)(k∈Z)． (2)由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0. 所以(x，y)可能在第二象限或第四象限． 把直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R時(shí)，θ的取值范圍為(＋2kπ，π＋2kπ)∪(＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈Z). 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 　在極坐標(biāo)系中，如果A(2，)，B(2，)為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π)． 【思路探究】　解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點(diǎn)C的直角坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的極坐標(biāo)． 【自主解答】　對(duì)于點(diǎn)A(2，)有ρ＝2，θ＝， ∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，則A(，)． 對(duì)于B(2，π)有ρ＝2，θ＝π， ∴x＝2cosπ＝－，y＝2sinπ＝－. ∴B(－，－)． 設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4. ∴有 解之得或 ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)或(－，)． ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1， ∴θ＝π或θ＝π. 故點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2，π)或(2，π)． 1．本例綜合考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì)．結(jié)合幾何圖形可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵． 2．若設(shè)出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，請(qǐng)讀者完成． 　本例中，如果點(diǎn)的極坐標(biāo)仍為A(2，)，B(2，)，且△ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)． 【解】　對(duì)于點(diǎn)A(2，)，直角坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B(2，)的直角坐標(biāo)為(－，－)， 設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|， ∴＝0， 即(x－，y－)(x＋，y＋)＝0， ∴x2＋y2＝4.　① 又|A|2＝|B|2，于是(x－)2＋(y－)2 ＝(x＋)2＋(y＋)2， ∴y＝－x，代入①，得x2＝2，解得x＝. ∴或 ∴點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(，－)或(－，)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或， ∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2，)或(2，)． (教材第12頁(yè)習(xí)題1.2，第5題) 已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(3，)，(0，－)，(，0)，(－2，－2)，求它們的極坐標(biāo)． 　(2013大連質(zhì)檢)已知點(diǎn)P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當(dāng)ρ>0，θ∈[0,2π)時(shí)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【命題意圖】　主要考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化． 【解析】　∵點(diǎn)P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2. ∴x＝－2，且y＝－2. ∴ρ＝＝2， 又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)． ∴θ＝π. 因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，π)． 【答案】　(2，π) 1．極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(　　) A．(1,0)　　　　　　B．(－1，π) C．(1，π) D．(1,2π) 【解析】　∵(ρ，θ)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(ρ，π＋θ)， ∴M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(1，π)． 【答案】　C 2．點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2，)，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(　　) A．(－1，－) B．(－，1) C．(－，－1) D．(，－1) 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝－， y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1. 【答案】　C 3．點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0，)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)可以為(　　) A．(，0) B．(0，) C．(，) D．(，－) 【解析】　∵ρ＝＝，且θ＝， ∴M的極坐標(biāo)為(，)． 【答案】　C 4．將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點(diǎn)M，使|OM|＝2，則ρ>0，θ∈[0,2π)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為_(kāi)_______，它關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______(ρ>0，θ∈[0,2π))． 【解析】　ρ＝|OM|＝2，與OP終邊相同的角為－＋2kπ(k∈Z)． ∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝，∴M(2，)， ∴M關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，)． 【答案】　(2，)　(2，) (時(shí)間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列各點(diǎn)中與(2，)不表示極坐標(biāo)系中同一個(gè)點(diǎn)的是(　　) A．(2，－π)　　　　　　B．(2，π) C．(2，π) D．(2，π) 【解析】　與極坐標(biāo)(2，)相同的點(diǎn)可以表示為(2，＋2kπ)(k∈Z)，只有(2，π)不適合． 【答案】　C 2．將點(diǎn)的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(　　) A．(π，0) B．(π，2π) C．(－π，0) D．(－2π，0) 【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0， 所以點(diǎn)的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(π，0)． 【答案】　A 3．在極坐標(biāo)系中，已知A(2，)、B(6，－)，則OA、OB的夾角為(　　) A. B．0 C. D. 【解析】　如圖所示，夾角為. 【答案】　C 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)．若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是(　　) A．(2，－) B．(2，) C．(1，－) D．(2，－) 【解析】　極徑ρ＝＝2，極角θ滿足tan θ＝＝－， ∵點(diǎn)(1，－)在第四象限，所以θ＝－. 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(3，)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于________． 【解析】　∵點(diǎn)P(3，)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)為Q(6，)，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于6|sin |＝3. 【答案】　3 6．極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(3，)，則 (1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________； (2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________； (3)點(diǎn)A關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________．(本題中規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π)) 【解析】　點(diǎn)A(3，)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3，)；點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3，)；點(diǎn)A關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3，)． 【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)按伸縮變換變換為點(diǎn)P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π時(shí)，求點(diǎn)P的極坐標(biāo)． 【解】　設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得解得 ∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3，－)， ρ＝＝2，tan θ＝， ∵0≤θ<2π，點(diǎn)P在第四象限， ∴θ＝， ∴點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)． 8．(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(3，－)，B(2，)，C(，π)，D(－4，)，求它們的直角坐標(biāo)． (2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B(0，－)，C(－2，－2)，求它們的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)． 【解】　(1)根據(jù)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A(，－)，B(－1，)，C(－，0)，D(0，－4) (2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A(2，)，B(，)，C(4，)． 9．在極坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(2，)，B(2，π)，C(2，)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)求△ABC的面積． 【解】　(1)如圖所示，由A(2，)，B(2，π)，C(2，)得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝. ∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴AB＝BC＝CA， 故△ABC為等邊三角形． (2)由上述可知， AC＝2OAsin＝22＝2. ∴S△ABC＝(2)2＝3(面積單位)． 教師備選 10．某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖： 用點(diǎn)O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別表示校門，器材室，操場(chǎng)，公寓，教學(xué)樓，圖書館，車庫(kù)，花園，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出除點(diǎn)B外各點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點(diǎn)為(0,0))． 【解】　以點(diǎn)O為極點(diǎn)，OA所在的射線為極軸Ox(單位長(zhǎng)度為1 m)，建立極坐標(biāo)系， 由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m， 所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300，0)，C(600，)，D(300，)，E(300，)，F(xiàn)(300，π)，G(150，π)． 最新精品資料